程玲

已知命題A：p或q恒成立；命題B：“p恒成立”或“q恒成立”。請(qǐng)問(wèn)，命題A與命題B互為充要條件嗎？

那么，取C=（-∞，1）。令p=（-∞，0]，q=[0，+∞），則C？哿p∪q成立。但C？哿p不成立，且C？哿q不成立，所以A與B不等價(jià)。

那么，如何解決“或的恒成立問(wèn)題”呢？請(qǐng)看下面例題。

例1 若|ax3-lnx|≥1對(duì)？坌x∈（0，1]都成立，則求a的取值范圍。

解法一（將絕對(duì)值看成一個(gè)函數(shù)的整體進(jìn)行研究）：

令φ（x）=ax3-lnx，

①當(dāng)a≤0時(shí)，φ（x）在（0，1]上單調(diào)，φ（x）=

+∞，φ（1）=a<0，所以φ（x）的值域?yàn)椋篬a，+∞），因?yàn)閍≤0，所以|φ（x）|的值域?yàn)閇0，+∞）；所以不成立。

②當(dāng)a>0時(shí)，φ，（x）=3ax2-=（x3-），所以φ（x）在0，上單調(diào)遞減，在，∞上單調(diào)遞增。因?yàn)棣眨?）≥1，所以a≥1，所以<1，所以φ（x）在0，上單調(diào)遞減，在，1上單調(diào)遞增。所以φ（x）min=φ，依題意，φ≥1，所以a≥。

綜上：a≥。

解法二（求命題的否定所對(duì)應(yīng)的集合，再求該集合的補(bǔ)集）：

命題“|ax3-lnx|≥1對(duì)？坌x∈（0，1]都成立”的否定是“|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解”。

|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解？圯-1

令t（x）=，x∈（0，1]。

t′（x）==>0，所以t（x）=在（0，1]上單調(diào)遞增，又∵t（x）=-∞，所以t（x）無(wú)最小值。所以a∈R；

令m（x）=，m′（x）==，

所以m（x）在（0，e-）上單調(diào)遞增，在（e-，1）上單調(diào)遞減。

所以m（x）max=m（e-）=，所以a<。

因?yàn)閨ax3-lnx|<1在（0，1]上有解時(shí)，a<；

所以|ax3-lnx|≥1對(duì)？坌x∈（0，1]都成立時(shí)，a≥。

例2 x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1，2]上恒成立，則求a的取值范圍。

解（除了例1的兩種解法，還可以根據(jù)“題情”特題特解）：

令f（x）==x++|x2-5x|，則x2+25+

|x3-5x2|≥ax在[1，2]上恒成立等價(jià)于求a≤f（x）min。

令g（x）=x+，x∈[1，2]，t（x）=|x2-5x|，x∈[1，2]。

則f（x）=x++|x2-5x|=g（x）+t（x），x∈[1，2]，

易知g（x）min=g（5）=10；t（x）min=t（5）=0，所以f（x）min=f（5）=10。

練習(xí)：x+|x-2a|>1的解集為R，求a的取值范圍。

答案：a的取值范圍是（，+∞）。

總結(jié)：“或的恒成立”的解決通法為求命題的否定命題所對(duì)應(yīng)的集合，再求該幾何的補(bǔ)集。但是該方法在實(shí)際解決問(wèn)題的過(guò)程中有時(shí)候會(huì)過(guò)于麻煩，所以還需要像例2這樣特題特解。

（作者單位：湖北省襄陽(yáng)五中）