熊萍萍,李軍,張倩,張雪純

(南京信息工程大學(xué) a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院;b.氣象災(zāi)害教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;c.氣候與環(huán)境變化國際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室;d.氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210044)

基于核與灰半徑序列的GM(1，N)預(yù)測模型及其在霧霾中的應(yīng)用

熊萍萍a,b,c,d,李軍a,張倩a,張雪純a

(南京信息工程大學(xué) a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院;b.氣象災(zāi)害教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;c.氣候與環(huán)境變化國際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室;d.氣象災(zāi)害預(yù)報預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210044)

既有的關(guān)于GM(1,N)模型的研究,都是建立在實(shí)數(shù)序列基礎(chǔ)上,文章將對GM(1,N)模型進(jìn)行拓廣,深入探討該模型在區(qū)間灰數(shù)序列情形下的建模機(jī)理和建模方法,提出了基于核與灰半徑的GM(1，N)模型。將以區(qū)間灰數(shù)序列的核序列和灰半徑序列為基礎(chǔ)建立GM(1，N)預(yù)測模型,進(jìn)而對區(qū)間灰數(shù)序列的核與灰半徑進(jìn)行模擬預(yù)測,根據(jù)核與灰半徑的計算公式推導(dǎo)出區(qū)間灰數(shù)的上界和下界,從而實(shí)現(xiàn)對區(qū)間灰數(shù)序列的模擬預(yù)測。最后,將文中提出的GM(1，N)模型應(yīng)用于對霾存在時的空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的預(yù)測研究中,模擬預(yù)測效果較好,從而驗(yàn)證了該模型的有效性和可行性。

灰色系統(tǒng)理論;GM(1，N)預(yù)測模型;區(qū)間灰數(shù);核與灰半徑

0 引言

鄧聚龍教授在20世紀(jì)80年代初提出的灰色系統(tǒng)理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于我們的社會、經(jīng)濟(jì)、科技等各個領(lǐng)域。灰色模型是灰色理論的重要內(nèi)容[1],如GM(1,1)模型,GM(1,N)模型等,其中GM表示Grey Model,即灰色模型,GM(1,1)表示一階微分方程、一個變量的灰色模型;GM(1,N)表示一階微分方程、N個變量的灰色模型。GM(1,N)模型是一階多變量灰色模型,該模型中包含一個系統(tǒng)行為變量和N-1個影響因子變量,該模型主要分析多個影響因子變量對系統(tǒng)行為變量的作用,在已知影響因子變量的變化趨勢的情形下,還可以對系統(tǒng)行為變量作預(yù)測[2]。一些學(xué)者利用GM(1,N)模型對實(shí)際問題進(jìn)行預(yù)測研究,如對東北地區(qū)糧食綜合生產(chǎn)能力進(jìn)行預(yù)測[3],對股票價格進(jìn)行預(yù)測[4],對廣東海洋經(jīng)濟(jì)進(jìn)行預(yù)測[5],GM(1,N)模型得到較廣泛的應(yīng)用。

目前,針對區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測模型主要集中于單變量GM(1,1)模型。通過區(qū)間灰數(shù)的核序列和灰度序列,運(yùn)用灰度不減公理對區(qū)間灰數(shù)的GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測[6];也有部分學(xué)者通過區(qū)間灰數(shù)的核序列和灰度序列以及區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算法則,對區(qū)間灰數(shù)的GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測[7];在區(qū)間灰數(shù)的核與灰半徑的基礎(chǔ)上,求得連續(xù)區(qū)間灰數(shù)的上界和下界,實(shí)現(xiàn)對連續(xù)區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測[8];也可以運(yùn)用灰數(shù)帶和灰數(shù)層對區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行預(yù)測[9]。楊錦偉研究了在不確定信息廣泛存在的正態(tài)分布背景下區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測問題[10]。曾波通過包絡(luò)線將振蕩序列拓展為具有明確上界與下界的區(qū)間灰數(shù)序列,對區(qū)間灰數(shù)振蕩序列進(jìn)行模擬與預(yù)測[11]。葉璟在充分挖掘和拓展“灰度不減”公理的基礎(chǔ)上,建立了區(qū)間灰數(shù)預(yù)測模型[12]。李曄從三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)序列中提取出核序列、“重心”點(diǎn)序列和精確度序列,在不破壞灰數(shù)整體性的前提下,構(gòu)建了三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測模型[13]。以上研究對區(qū)間灰數(shù)序列的灰色預(yù)測建模有一定的促進(jìn)作用,但主要集中于單變量灰色預(yù)測模型。

一些學(xué)者也對GM(1,N)模型進(jìn)行了研究,利用粒子群優(yōu)化算法求解灰色多變量GM(1,N|γ，τ)模型中的相關(guān)參數(shù),并對系統(tǒng)行為序列進(jìn)行預(yù)測[14];研究了基于Simpson公式的GM(1,N)建模的新算法[15]和廣義灰色多變量GM(1,N)模型及算法[16]。王正新先后探討了灰色多變量GM(1,N)冪模型及灰色時滯多變量GM(1,N)模型的建模機(jī)理[17,18]。然而,目前關(guān)于GM(1,N)模型的研究,都是建立在實(shí)數(shù)序列基礎(chǔ)上,本文將對GM(1,N)模型進(jìn)行拓廣,深入探討該模型在區(qū)間灰數(shù)序列情形下的建模機(jī)理和建模方法。首先求出系統(tǒng)行為變量序列和N-1個影響因子變量序列的核與灰半徑序列,其次對系統(tǒng)行為變量序列和N-1個影響因子變量序列的核序列建立GM(1,N)模型,并對系統(tǒng)行為變量序列和N-1個影響因子變量序列的灰半徑序列建立GM(1,N)模型,然后利用系統(tǒng)行為變量序列的核與灰半徑序列的模擬預(yù)測值,從而可以得到系統(tǒng)行為變量相應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)的上界與下界的模擬預(yù)測值,最后運(yùn)用文中所構(gòu)建的模型對空氣質(zhì)量指數(shù)序列進(jìn)行預(yù)測分析。

1 基本概念與公理

定義1:設(shè)灰數(shù)?∈[a,b],a

定義3:由區(qū)間灰數(shù)?k∈[ak,bk],k=1,2,3,…構(gòu)成的序列稱為區(qū)間灰數(shù)序列X(?);X(?)中所有的上界組成的序列,稱為X(?)的上界序列,記為Xb=(b1,b2,…,bn);X(?)中所有的下界組成的序列,稱為X(?)的下界序列,記為Xa=(a1,a2,…,an);X(?)中所有的核組成的序列,稱為X(?)的核序列,記為X?=(?1,?2,…,?n);X(?)中所有的灰半徑組成的序列,稱為X(?)的灰半徑序列,記為Xr=(r1,r2,…,rn)[9]。

2 基于區(qū)間灰數(shù)序列核與灰半徑的GM(1,N)模型

GM(1,N)模型是一階多變量灰色模型,該模型中包含N個變量,一個系統(tǒng)行為變量和N-1個影響因素變量。該模型主要分析多個影響因素變量對系統(tǒng)行為變量的作用,在已知影響因素變量的變化趨勢的情形下,可以對系統(tǒng)行為變量進(jìn)行預(yù)測。本節(jié)將主要介紹基于核序列以及灰半徑序列的GM(1,N)模的建模機(jī)理。

2.1 基于核序列的GM(1,N)模型*GM(1,N)模型的建模機(jī)理詳見編著“劉思峰，黨耀國，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[M].第5版.北京：科學(xué)出版社，2010”中的169-170頁

…

為GM(1,N)模型。

(1)白化方程

的解為:

的近似時間響應(yīng)式為:

?

(3)累減還原式為:

(4)GM(1,N)模型的差分模擬式為:

2.2 基于灰半徑序列的GM(1,N)模型

…

為GM(1,N)模型。

(1)白化方程

的解為:

的近似時間響應(yīng)式為:

(3)累減還原式為:

(k).

(4)GM(1,N)模型的差分模擬式為:

(k).

2.3 區(qū)間灰數(shù)上界和下界的推導(dǎo)

由命題(1)可以求得系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)序列區(qū)間灰數(shù)的預(yù)測值:

3 實(shí)例分析

3.1 霧霾的定義

本文依照大氣成分中的PM2.5的指標(biāo)進(jìn)行判定。當(dāng)PM2.5濃度大于 75 μg/m3時,判定為霾;當(dāng)PM2.5濃度小于等于75 μg/m3時,判定為非霾。相對濕度大于95%時,判定為霧。張建忠指出,通常將霧和霾同時存在且區(qū)域性能見度低于10 km的空氣普遍渾濁現(xiàn)象稱為“霧霾”天氣。本文將“霧和霾同時存在”定義為“霧霾混合”。

在本文中研究的時期為2016年3月2日到3日,PM2.5濃度大于75 μg/m3,相對濕度小于95%,被判定為霾。即對霾存在時的空氣質(zhì)量指數(shù)AQI進(jìn)行區(qū)間灰數(shù)預(yù)測。

3.2 GM(1，3)預(yù)測模型的構(gòu)建

影響空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的影響因素有很多,有PM2.5、PM10、SO2、CO、NO2、O3、風(fēng)向、風(fēng)速、氣溫、相對濕度、氣壓等。先對影響AQI的影響因素進(jìn)行多元回歸分析,采用2016年3月2日與3月3日每小時的數(shù)據(jù),共48組數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)來源于中國空氣質(zhì)量在線監(jiān)測分析平臺。運(yùn)用多元回歸分析中逐步回歸的方法,通過SPSS軟件得到如下結(jié)果為:空氣質(zhì)量指數(shù)AQI有2個主要的影響因素,即相對濕度和PM2.5。

本文中選取某個時辰之前的六個小時中AQI與2個影響因素的最大最小值,產(chǎn)生區(qū)間灰數(shù),求其核與灰半徑,并建立GM(1.3)模型。這次試驗(yàn)選取了2016年3月2日的數(shù)據(jù)進(jìn)行計算。數(shù)據(jù)來源于http:∥www.aqistudy.cn/historydata/。下面通過灰色系統(tǒng)建模軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)計算,設(shè)空氣質(zhì)量指數(shù)AQI為X0,PM2.5為X2,相對濕度為X2.

已知原始數(shù)據(jù)為:

將前7個區(qū)間灰數(shù)序列數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù),將第8個區(qū)間灰數(shù)作為預(yù)測數(shù)據(jù)。

表1 區(qū)間灰數(shù)序列

表2 AQI、PM2.5及相對濕度的核序列

3.2.1 AQI核序列的預(yù)測

步驟1:將原始數(shù)據(jù)通過計算,得到AQI、PM2.5及相對濕度的核序列,數(shù)據(jù)如表2。

步驟2:通過灰色系統(tǒng)理論建模軟件可以得到,參數(shù)估計值為:a=2.01,b1=2.67,b2=-0.05。由軟件可以得到,其平均相對誤差為4.55%。

步驟3:通過計算得到AQI對應(yīng)區(qū)間灰數(shù)序列的第8個區(qū)間灰數(shù)的核的預(yù)測值:

1 070.72-941=129.72，

3.2.2AQI灰半徑序列的預(yù)測

步驟1:將得到的原始數(shù)據(jù)通過計算,得到AQI、PM2.5及相對濕度的灰半徑序列,數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 AQI、PM2.5及相對濕度的灰半徑序列

步驟2:通過灰色系統(tǒng)理論建模軟件可以得到,參數(shù)估計值為:a=2.22,b1=2.61,b2=0.13。由軟件可以得到,其平均相對誤差為5.04%。

步驟3:通過計算得到AQI對應(yīng)區(qū)間灰數(shù)序列的第8個區(qū)間灰數(shù)的灰半徑的預(yù)測值:

3.2.3 AQI對應(yīng)區(qū)間灰數(shù)上界和下界的預(yù)測

根據(jù)核與灰半徑的定義,推導(dǎo)出區(qū)間灰數(shù)序列上界和下界。已知

當(dāng)k=7時,得到結(jié)果如下:

ak+1=123.99;bk+1=135.45，

即

從而可求得平均相對誤差為Δ=0.97%。

在對空氣質(zhì)量指數(shù)AQI、PM2.5及相對濕度的核與灰半徑分別建立的GM(1，3)模型中,得到核與灰半徑的預(yù)測誤差分別為0.98%和4.54%,對空氣質(zhì)量指數(shù)AQI對應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)上界和下界的預(yù)測結(jié)果的平均相對誤差為0.97%,預(yù)測效果較好。

3.3 方法比較

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的模型的有效性,下面討論當(dāng)不考慮PM2.5和相對濕度的影響,直接采用移動平均法以及文獻(xiàn)[9]中的預(yù)測方法對空氣質(zhì)量指數(shù)AQI進(jìn)行預(yù)測。

從而可求得平均相對誤差為Δ=2.37%。

?

從而可求得平均相對誤差為Δ=3.34%。

移動平均法、GM(1,1)預(yù)測模型(文獻(xiàn)[9])及本文提出的GM(1,3)預(yù)測模型對空氣質(zhì)量指數(shù)AQI對應(yīng)的區(qū)間灰數(shù)序列第8個區(qū)間灰數(shù)的上界和下界的預(yù)測結(jié)果見表4。

表4 三種預(yù)測結(jié)果的比較

通過與移動平均法和GM(1,1)預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較分析,可知利用本文的建模思想構(gòu)建的GM(1,3)預(yù)測模型的預(yù)測效果較好。這說明通過引入外部變量,將主要影響因素PM2.5和相對濕度引入空氣質(zhì)量指數(shù)AQI中,在一定程度上能更真實(shí)地反映系統(tǒng)行為變量即空氣質(zhì)量指數(shù)AQI的變化趨勢。

4 結(jié)論

本文在實(shí)數(shù)序列GM(1,N)模型的基礎(chǔ)上,建立了基于區(qū)間灰數(shù)序列的GM(1,N)預(yù)測模型。分別通過對區(qū)間灰數(shù)的核與灰半徑序列建立GM(1,N)模型,進(jìn)而得到區(qū)間灰數(shù)序列的上界和下界的模擬預(yù)測值。然后利用基于區(qū)間灰數(shù)序列的GM(1,3)預(yù)測模型對空氣質(zhì)量指數(shù)AQI在相對濕度和PM2.5濃度影響因素作用下進(jìn)行模擬預(yù)測,其結(jié)果表明該預(yù)測模型具有較高的預(yù)測精度,驗(yàn)證了文中所建模型的有效性和實(shí)用性。

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GM (1, N) Prediction Model Based on Kernel and grey radius Sequence and Its Application on fog and haze

XIONG Pingpinga,b,c,d,LI Juna,ZHANG Qiana,ZHANG Xuechuna

(a.College of Mathematics and Statistics; b.Key Laboratoryof Meteorological Disaster,Ministry of Education (KLME); c.Joint International Research Laboratory of Climate and Environment Change (ILCEC); d.CollaborativeInnovation on Forecast and Evaluation of Meteorological Disaster(CIC-FEMD)Nanjing University of Information Science and Technology,Nanjing 210044,China)

The existing GM(1,N) model research is about the real number sequence.The GM(1,N) model is extended to explore the modeling mechanism and modeling method in the case of interval gray number series, then the GM(1,N) model based on kernel and gray radius is proposed. The GM(1,N) prediction model is established based on the kernel sequence and the gray radius sequence of the interval gray number sequence,and simulate and predict the kernel and gray radius of the interval gray series. According to the formula of kernel and gray radius, the upper and lower bounds of interval gray numbers are deduced to realize the simulation and prediction of the interval gray number series. Finally, the GM(1,N) model proposed is applied to predict the air quality index AQI in the presence of haze. The simulation results show that the model is effective and feasible.

grey system theory;GM (1,N)prediction model;interval grey number;kernel and grey radius

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.017

2016-11-16；

2017-01-12

國家自然科學(xué)基金(71503103;41505118;71373131;71301060;71271226;71171116);江蘇省高校自然科學(xué)研究面上項(xiàng)目(15KJB120008);國家社科基金(15BTJ019);中國博士后基金面上項(xiàng)目(2016M601849);中國制造業(yè)發(fā)展研究院2014年度開放課題(SK20140090-13);南京信息工程大學(xué)2013年基金預(yù)研項(xiàng)目(2013x012);2015年度大學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新訓(xùn)練計劃項(xiàng)目(201510300009)

熊萍萍(1981-),女,湖北咸寧人,漢,副教授,南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)流動站博士后，研究方向:灰色系統(tǒng)建模。E-mail:xpp8125@163.com

N945.12

A

0253-2395(2017)02-0273-08