榮 娜，李澤滔，韓 松

（貴州大學(xué) 電氣工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

0 引言

隨著跨區(qū)域大容量交直流互聯(lián)系統(tǒng)的發(fā)展及間歇性、隨機性新能源的接入，其在提高電力系統(tǒng)運行經(jīng)濟性和優(yōu)化一次能源比例的同時，也使整個互聯(lián)系統(tǒng)的動態(tài)特性變得更為復(fù)雜［1-2］。發(fā)展廣域測量系統(tǒng)（WAMS）及態(tài)勢感知技術(shù)［3-4］的重要目標(biāo)之一就是提供這些復(fù)雜互聯(lián)系統(tǒng)機電振蕩行為的關(guān)鍵信息（主要包括模式信息、振蕩交互路徑以及對控制行為的響應(yīng)）［5-6］。而支撐上述目標(biāo)實現(xiàn)的基礎(chǔ)理論中，關(guān)于機電振蕩相對局域性量化指標(biāo)及其同調(diào)性估計、動態(tài)降階等值等問題還有待深入研究和探討。

現(xiàn)代電力系統(tǒng)的響應(yīng)往往呈現(xiàn)振蕩特征，廣義上而言，可以觀察到2類機電振蕩。第一類是全局振蕩或區(qū)間振蕩，可以定義為頻率低于1 Hz的低頻振蕩，往往涉及系統(tǒng)的一部分機組相對于另一部分機組的振蕩?？梢酝ㄟ^分析這些區(qū)間的振蕩模式獲得對整個電力系統(tǒng)動態(tài)特性較好的理解或認(rèn)知。第二類是局部振蕩，可以定義為頻率相對較高（一般處于0.5～2.0 Hz）的機電振蕩，往往涉及單臺機組相對于全網(wǎng)或一群相鄰的機組之間的振蕩。一般而言，專設(shè)于同步發(fā)電機轉(zhuǎn)子上的阻尼繞組可以很好地約束該機組的局部振蕩模式［7］。在許多案例中，這類振蕩的頻率等特征往往隱含了該振蕩模式的內(nèi)在特性［8］，但目前還沒有一個可靠的工具或定量的指標(biāo)去區(qū)分這些機電振蕩模式屬于區(qū)間模式還是局部模式。此外，傳統(tǒng)上認(rèn)為機電振蕩模式的頻率一般與參與該模式的機組數(shù)量負(fù)相關(guān)，但近期的研究顯示這種相關(guān)性有時并不明顯。

作為電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的重要組成部分，機電振蕩模式的局部與區(qū)間模式分類可通過相對規(guī)范的方式執(zhí)行和獲得。然而，對于大型互聯(lián)電網(wǎng)而言，卻很難區(qū)分出哪些是最全局或最局部的模式?；蛘哒f，僅僅從對參與機組的簡單觀察來獲得一個模式的局部性特征是不完整的。此外，從表面上看一個模式能量與其復(fù)平面上的特征根描述之間的內(nèi)在映射關(guān)系可以認(rèn)識到：模式的局域性與該模式的能量緊密相關(guān)。因此，有必要研究匯集模式能量信息的指標(biāo)設(shè)計方案，形成一個有效的局域性排序策略，發(fā)展新的發(fā)電機動態(tài)聚合與等值方法。同時，利用參與機組的排序變化或局域性指標(biāo)變化來反映系統(tǒng)動態(tài)性能的改變和趨勢預(yù)測［9］，這對大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)態(tài)勢感知技術(shù)的發(fā)展有支撐作用，值得深入研究。

為此，從依據(jù)系統(tǒng)規(guī)模靈活調(diào)整參數(shù)取值角度出發(fā)，以機電振蕩模式的參與因子構(gòu)建特征為基礎(chǔ)，本文提出了一種改進(jìn)的機電振蕩模式的相對局域性量化指標(biāo)及其求解方法。所提指標(biāo)具有根據(jù)模式的局域性對各機電振蕩模式展開聚類的能力，可為動態(tài)等值、同調(diào)分群、態(tài)勢感知等的發(fā)展提供參考。

1 模態(tài)分析理論回顧與模式屬性判定討論

1.1 電力系統(tǒng)模態(tài)分析回顧

對于一個運行平衡點的小擾動，多機電力系統(tǒng)可以線性化為一個狀態(tài)空間形式，即：

其中，x為系統(tǒng)狀態(tài)變量；A為系統(tǒng)狀態(tài)矩陣。矩陣A的維度由系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目決定。雖然相較于經(jīng)典模型，發(fā)電機詳細(xì)模型的引入會導(dǎo)致狀態(tài)變量數(shù)目增加，但對應(yīng)于發(fā)電機機電振蕩模式的狀態(tài)變量數(shù)目是保持不變的。由于關(guān)注的是機電振蕩模式，所以上述矩陣A可僅考慮發(fā)電機的2個機電狀態(tài)變量。對于一個帶有m個機電振蕩模式變量的系統(tǒng)而言，矩陣A（m×m階）的特征值分析將生成m個特征值λi以及對應(yīng)的右特征向量ui和左特征向量vi。對應(yīng)于第i個特征值或模式λi的歸一化特征向量存在如下關(guān)系式：

從物理意義上而言，右特征向量ui中元素uki反映了在狀態(tài)變量xk上觀察模式λi的相對幅值及相位，或者說表征了xk對λi的“可觀性”強弱；而左特征向量的元素vki則反映了xk對λi的“可控性”。這樣，一個特定的狀態(tài)變量與一個模式之間的耦合關(guān)系可通過這2個特征向量的乘積即參與因子pki來揭示，如式（3）所示［10］。

參與因子pki可以表征模式λi中狀態(tài)變量xk的參與程度，且 0≤pki≤1。顯然，pki滿足如式（4）所示的關(guān)系。

其中，N為系統(tǒng)機組數(shù)。

1.2 依靠頻率判斷振蕩模式區(qū)域或局部屬性的不足

傳統(tǒng)上認(rèn)為依據(jù)模式頻率可以判斷該模式的全局、區(qū)間或局部屬性。但以IEEE 50機145母線系統(tǒng)為例，其機電振蕩模式頻率與參與機組數(shù)量的分布關(guān)系并未呈現(xiàn)出嚴(yán)格的線性相關(guān)關(guān)系或聚類特性，如圖1所示。換而言之，傳統(tǒng)的頻率判斷標(biāo)準(zhǔn)是存在局限性的，不嚴(yán)格的。

圖1 IEEE 50機145母線系統(tǒng)機電振蕩模式頻率與參與機組數(shù)量的關(guān)系分布Fig.1 Distribution of relationship between frequency of electromechanical oscillation mode and quantity of participating units for IEEE 50-machine 145-bus system

2 模式局域性的量化與指標(biāo)改進(jìn)

2.1 模式局域性的量化

作為小信號穩(wěn)定分析的一部分，參與因子的計算有助于獲取該系統(tǒng)振蕩模式或特征值中與發(fā)電機相關(guān)的狀態(tài)變量信息。如果大量分散的發(fā)電機與一個機電振蕩模式相關(guān)，那么它可以確定為一個區(qū)間振蕩模式；而一個局部振蕩模式往往僅與一小部分機組相關(guān)。此外，也應(yīng)認(rèn)識到，在利用經(jīng)典模型建模的系統(tǒng)中，如果忽略線路電阻和發(fā)電機阻尼繞組，則發(fā)電機狀態(tài)變量的參與因子直接反映了該振蕩模式中對應(yīng)機組的模式能量［11-12］。對于一個振蕩模式而言，全部參與因子之和為1，各參與因子表明了該模式的整個能量中各臺機組的相對貢獻(xiàn)量。在歸一化的參與因子矩陣中，每一個數(shù)都是該模式的一臺機組對應(yīng)系數(shù)與所有機組中最大系數(shù)的比值。因此，對于一個模式而言，一個由全部歸一化的參與因子構(gòu)成的向量，可以作為表征該模式全部能量的指標(biāo)［13-14］?；蛘哒f，一個模式的能量與其復(fù)平面上的特征根描述之間的內(nèi)在映射關(guān)系說明模式的局域性與該模式的能量緊密相關(guān)。因此，一個能夠匯總模式能量信息的指標(biāo)可用于發(fā)展有效的局域性排序策略。

2.2 傳統(tǒng)的相對局域性指標(biāo)設(shè)計

對于一個N機電力系統(tǒng)而言，第i個機電振蕩模式的局域性指標(biāo)可由式（5）計算得到［15］。

其中，指數(shù)n的目的在于為Lidx，i提供聚類屬性。文獻(xiàn)［15］依據(jù)一個4機、6機以及10機系統(tǒng)的案例認(rèn)為，指數(shù)n取為N時聚類效果是最佳的，即n=N?？傮w而言，該局域性指標(biāo)Lidx的主要目的是根據(jù)各模式的相對局域性量化指標(biāo)對所有機電振蕩模式進(jìn)行排序，形成一個排序列表。顯然，位于列表底部的模式為區(qū)間模式，位于其頂部的模式則為局部模式。同時，根據(jù)Lidx的排序列表，各機電振蕩模式將顯現(xiàn)出自然的聚類特征。

2.3 改進(jìn)的相對局域性指標(biāo)

n的取值是上述指標(biāo)聚類特性的關(guān)鍵因素，簡單地以系統(tǒng)中機組數(shù)量N作為其取值，存在一些局限性，例如計算效率較低，忽視了大規(guī)模系統(tǒng)中很多機組對于部分機電振蕩模式的參與因子極小的問題。為提高傳統(tǒng)方法計算Lidx的效率，依據(jù)系統(tǒng)規(guī)模靈活調(diào)整或優(yōu)化指數(shù)n的取值，對Lidx的計算方法做出改進(jìn)，其計算流程如圖2所示。圖中，pmin2=0.0001；對于小系統(tǒng)而言，pmin1取為 0.1或0.2，r取為20%；對于大系統(tǒng)而言，pmin1取為0.01或0.05，r取為10%。

3 案例分析

3.1 案例1：IEEE 50機145母線系統(tǒng)

IEEE 50機145母線系統(tǒng)是用于穩(wěn)定性研究的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)，來源一個實際電力系統(tǒng)的近似模型［16-17］，其包括145條母線和453條線路或變壓器支路（52臺固定分接頭的變壓器）。其中連接在母線93、102、104、105、106、110 和 111 上的 7 臺發(fā)電機采用4階的詳細(xì)模型，為帶有電力系統(tǒng)穩(wěn)定器（PSS）的IEEE DC1型勵磁機，其余發(fā)電機采用2階經(jīng)典模型。負(fù)荷采用恒阻抗模型。該系統(tǒng)有60個負(fù)荷，總計2.83 GW、0.8 Gvar。該IEEE 50機系統(tǒng)顯示了寬泛的動態(tài)特性，在高負(fù)荷水平工況下，呈現(xiàn)出低頻機電振蕩。上述系統(tǒng)的基礎(chǔ)穩(wěn)態(tài)數(shù)據(jù)和動態(tài)數(shù)據(jù)可參見文獻(xiàn)［18］。本文涉及仿真及自定義計算程序利用了 MATLAB2013a 和 PST V3［18］。

圖2 所提改進(jìn)指標(biāo)Lidx的計算流程圖Fig.2 Flowchart of improved index Lidxcalculation

針對上述IEEE50機145母線標(biāo)準(zhǔn)算例，取pmin1=0.1、pmin2=0.0001、r=10%，由本文所提相對局域性指標(biāo)及傳統(tǒng)指標(biāo)的計算方法得出的結(jié)果如圖3所示。為進(jìn)一步展現(xiàn)各機電振蕩模式下參與機組數(shù)與相對局域性指標(biāo)Lidx的關(guān)系，對上述結(jié)果分別利用MATLAB函數(shù)進(jìn)行一次擬合，傳統(tǒng)指標(biāo)和本文所提指標(biāo)的擬合結(jié)果分別如圖3中虛線和實線所示。

圖3 所提指標(biāo)Lidx和傳統(tǒng)指標(biāo)的計算結(jié)果和擬合結(jié)果比較Fig.3 Comparison of calculative and fitting results between proposed index Lidxand traditional index

由圖3可以看出，圖中左上角三角形數(shù)據(jù)點以及圓形數(shù)據(jù)點的局域性指標(biāo)最小，約為15，表明該振蕩模式為局域性最低的模式。這與對應(yīng)的參與機組數(shù)量的計算結(jié)果（分別為50臺和46臺）所表明的模式局域性或區(qū)域性特征是一致的。同時，圖中右下角的三角形和圓形數(shù)據(jù)點的局域性指標(biāo)均約為48，參與機組數(shù)量均約為3臺，表明對應(yīng)振蕩模式為最局域的模式。綜上所述，這2種指標(biāo)計算方法均能夠量化機電振蕩模式的相對局域性。

觀察圖3中虛線和實線的左側(cè)部分，如局域性指標(biāo)小于30的曲線部分，發(fā)現(xiàn)本文所提指標(biāo)Lidx的計算結(jié)果與參與機組數(shù)量的線性關(guān)系相對于傳統(tǒng)指標(biāo)而言更好。同時，從擬合曲線以及各振蕩模式的數(shù)據(jù)點分布來看，相對傳統(tǒng)指標(biāo)，本文所提指標(biāo)的聚類特征也表現(xiàn)得較好。更為重要的是，本文所提指標(biāo)優(yōu)選的指數(shù)較小，意味著其計算步驟較少，計算速度更快，對于大規(guī)模電力系統(tǒng)的實用性更佳。

為進(jìn)一步表明所提改進(jìn)指標(biāo)的有效性和差異性，給出優(yōu)選指數(shù)nopt=46、pmin2=0.003時的計算結(jié)果中Lidx最低的機電振蕩模式4、1和12的歸一化參與因子分布，分別見圖4、5、6。

圖4 機電振蕩模式4的歸一化參與因子分布Fig.4 Distribution of normalized participation factor for electromechanical oscillation Mode 4

圖5 機電振蕩模式1的歸一化參與因子分布Fig.5 Distribution of normalized participation factor for electromechanical oscillation Mode 1

圖6 機電振蕩模式12的歸一化參與因子分布Fig.6 Distribution of normalized participation factor for electromechanical oscillation Mode 12

圖4從參與因子的角度呈現(xiàn)了一個局域性最低或區(qū)域性最強振蕩模式的歸一化參與因子分布。該模式共有46臺機組參與，強相關(guān)機組為36號和3號機組，其參與因子分布圖的多峰特征符合Lidx最小的計算結(jié)果，充分表明了圖3中左上角數(shù)據(jù)點的機電振蕩模式相對局域性的量化結(jié)果是正確的。同時也再次說明本文所提改進(jìn)指標(biāo)與傳統(tǒng)指標(biāo)相比在量化效果上更有效。

由圖5可見，利用前述優(yōu)選指數(shù)，機電振蕩模式1共有37臺機組參與，強相關(guān)機組為43、44、45號機組。由圖6可見，機電振蕩模式12有33臺機組參與，強相關(guān)機組為12、3號機組。對照圖3中Lidx較小的模式數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，圖5、圖6所得結(jié)果也與圖3的結(jié)果是吻合的，說明適當(dāng)降低指數(shù)nopt并未影響該指標(biāo)的有效性。

3.2 案例2：Kundur 4機11母線系統(tǒng)

為進(jìn)一步分析系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)以及運行工況變化下本文所提指標(biāo)的適應(yīng)性，選取一個較為簡單典型和容易調(diào)整的Kundur 4機11母線系統(tǒng)開展了研究。1號和2號發(fā)電機的型號相同，位于送端；3號和4號發(fā)電機的型號相同，位于受端。不同調(diào)整組合方式下的Lidx計算結(jié)果如表1所示，表中輸送功率是指區(qū)間聯(lián)絡(luò)線的輸送功率；H1—H4分別代表1—4號發(fā)電機的轉(zhuǎn)動慣量。

表1 不同系統(tǒng)參數(shù)和工況下所提指標(biāo)Lidx的計算結(jié)果Table 1 Calculative results of index Lidxfor different system parameters and working conditions

由表1可得出以下2點發(fā)現(xiàn)和推論。

a.通過調(diào)整發(fā)電機與負(fù)荷的有功功率和無功功率使得聯(lián)絡(luò)線輸送功率變化（分別為400 MW、0 MW和200 MW），借助本文所提方法獲得的各機電振蕩模式的Lidx分別為：模式1的數(shù)值區(qū)間變化很小，為0.05～0.23，呈現(xiàn)典型的區(qū)間振蕩屬性；而模式2、模式3的數(shù)值區(qū)間變化也很小，分別為2.03～2.09和2.05～2.14，呈現(xiàn)典型的局域振蕩屬性?？梢姡煌\行工況下，指標(biāo)Lidx能夠有效地量化振蕩模式的局域性，準(zhǔn)確地反映機電振蕩區(qū)域?qū)傩浴?/p>

b.通過增加送端1、2號機組的轉(zhuǎn)動慣量H1和H2（分別同時增加為 8s、48s、100s），同時減少 3、4 號機組的轉(zhuǎn)動慣量H3和H4（分別同時減少為2s、1s、1s）。此時，模式1的指標(biāo)Lidx發(fā)生了顯著變化，由基礎(chǔ)工況的0.23分別增加為0.77、3.53和3.74，呈現(xiàn)出由區(qū)域性振蕩屬性向局域性振蕩變化的現(xiàn)象；模式2的指標(biāo)Lidx發(fā)生了一定變化，由基礎(chǔ)工況的2.09分別減少為2.00、1.19和1.94，呈現(xiàn)出一定區(qū)域性弱化特征；模式3的指標(biāo)Lidx基本保持不變，均約為2.03，維持局域性特征。可見，發(fā)電機或等值機的轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生變化時，指標(biāo)Lidx能有效地量化和識別機電振蕩模式局域性特征的變化，這對于大規(guī)?；ヂ?lián)系統(tǒng)的態(tài)勢感知有一定的支撐作用。

此外，為豐富實驗樣本，表1也給出了聯(lián)絡(luò)線輸送功率為0 MW時不同轉(zhuǎn)動慣量案例的計算結(jié)果。

綜合來看，利用局域性指標(biāo)Lidx區(qū)分機電振蕩模式屬性具有較好的適應(yīng)性。

4 結(jié)論

機電振蕩模式的局域性量化指標(biāo)可為大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)態(tài)勢感知理論中同調(diào)性估計、動態(tài)降階等值等技術(shù)提供一種新的思路。為此，借助MATLAB環(huán)境下的PST V3仿真工具，開展了局域性量化指標(biāo)及其改進(jìn)方法的研究工作，得到以下結(jié)論和認(rèn)識。

a.指出了傳統(tǒng)電力系統(tǒng)動態(tài)特性分析或小信號分析中，依靠機電振蕩模式頻率判斷其區(qū)域或局部屬性的不足，進(jìn)而討論了振蕩模式相對局域性的量化方法。

b.從結(jié)合系統(tǒng)規(guī)模靈活調(diào)整或優(yōu)化指數(shù)n的取值出發(fā)，利用參與因子閾值區(qū)間，提出了一種改進(jìn)的機電振蕩模式的局域性指標(biāo)。借助IEEE 50機系統(tǒng)，表明所提指標(biāo)相較于傳統(tǒng)指標(biāo)，具有計算速度快、精度要求可調(diào)整的優(yōu)點。

c.從運行方式調(diào)整、轉(zhuǎn)動慣量變化等角度，借助2區(qū)4機系統(tǒng)進(jìn)一步驗證和分析了所提指標(biāo)實現(xiàn)機電振蕩模式局域性屬性聚類的有效性和適應(yīng)性。

d.下一步將通過時域信號分析獲取振蕩模式能量，進(jìn)而估計得到參與因子，探索實現(xiàn)相對局域性指標(biāo)Lidx的實時跟蹤，為大規(guī)?；ヂ?lián)電網(wǎng)態(tài)勢感知的理論發(fā)展提供參考。

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