王 芮，王 杰，彌 瀟

（上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240）

0 引言

電力系統(tǒng)本身是一個(gè)非線性的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)，存在著諸多的隨機(jī)擾動(dòng)現(xiàn)象，如負(fù)荷的隨機(jī)波動(dòng)、原動(dòng)機(jī)扭矩的隨機(jī)振動(dòng)、互聯(lián)電網(wǎng)聯(lián)絡(luò)線上功率的隨機(jī)變化等。此外，隨著當(dāng)代電網(wǎng)技術(shù)的不斷發(fā)展，電動(dòng)汽車［1］不斷推廣，大量風(fēng)力、太陽能等可再生能源發(fā)電并入電網(wǎng)，這些都給原有的電力系統(tǒng)帶來更多的隨機(jī)干擾［2-7］。隨著隨機(jī)擾動(dòng)的不斷增多，傳統(tǒng)的確定型穩(wěn)定性分析方法急需得到改善，因此如何在隨機(jī)擾動(dòng)下進(jìn)行非線性電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析顯得尤為重要。相較于傳統(tǒng)的確定型方法，本文在多機(jī)系統(tǒng)原有微分方程中加入了隨機(jī)外部激勵(lì)，采用合理的近似假設(shè)并將理論與實(shí)際相結(jié)合，全面地分析了多機(jī)系統(tǒng)在受到隨機(jī)小擾動(dòng)后的穩(wěn)定情況，拓寬了隨機(jī)微分方程在多機(jī)系統(tǒng)功角及角速度穩(wěn)定分析中的應(yīng)用。

電力系統(tǒng)中的隨機(jī)擾動(dòng)一般分為三大類：初值的隨機(jī)性、系統(tǒng)參數(shù)的隨機(jī)性和外部激勵(lì)的隨機(jī)性，前兩者在動(dòng)態(tài)分析的過程中都是確定的常數(shù)，而第三類則是時(shí)變的。在現(xiàn)有的研究中，前2類隨機(jī)擾動(dòng)大都可通過概率的方法得到解決；而關(guān)于外部激勵(lì)的隨機(jī)性分析，目前的研究資料還較少。文獻(xiàn)［8］基于單機(jī)無窮大系統(tǒng)的簡單線性化模型進(jìn)行了高斯（Gauss）隨機(jī)小激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究；文獻(xiàn)［9］通過引入隨機(jī)微分方程，建立了系統(tǒng)的非線性模型，對(duì)單機(jī)無窮大系統(tǒng)進(jìn)行了Gauss白噪聲小擾動(dòng)下的隨機(jī)穩(wěn)定性分析。本文在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析研究多機(jī)系統(tǒng)在隨機(jī)小擾動(dòng)下的功角、角速度穩(wěn)定性。

本文采用的模型是在確定型非線性模型的基礎(chǔ)上加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)后確立的模型，隨機(jī)激勵(lì)可以理解為可再生能源發(fā)電或電動(dòng)汽車等負(fù)荷產(chǎn)生的隨機(jī)功率波動(dòng)，因?yàn)樵谳^短的時(shí)間內(nèi)隨機(jī)激勵(lì)一般圍繞某一均值波動(dòng)，故這些波動(dòng)在一般情況下可近似假設(shè)為Gauss 過程［8，10-11］。本文利用伊藤（Ito^）隨機(jī)微分方程的相關(guān)性質(zhì)證明了Gauss隨機(jī)小擾動(dòng)下多機(jī)系統(tǒng)功角和角速度的均值穩(wěn)定性和均方穩(wěn)定性，分別對(duì)4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在Gauss隨機(jī)小擾動(dòng)下進(jìn)行了仿真分析，并將理論證明與仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了本文理論分析方法的合理性。

1 隨機(jī)微分方程

1.1 隨機(jī)過程

隨機(jī)過程［12］主要有獨(dú)立增量過程、Gauss過程和維納（Wiener）過程等。

對(duì)隨機(jī)過程｛X（t），t∈T｝（T=［0，∞）為時(shí)間段），若對(duì)任意 n 個(gè) ti（i=1，2，…，n；ti∈T）且 t1＜t2＜…＜tn，隨機(jī)過程的增量 X（t2） -X（t1）、X（t3）-X（t2）、…、X（tn）-X（tn-1）相互獨(dú)立，則稱 X（t）為獨(dú)立增量過程，若增量的概率分布只依賴于時(shí)間差，則稱該隨機(jī)過程X（t）為齊次獨(dú)立增量過程。

若隨機(jī)過程｛X（t），t∈T｝滿足：①對(duì)于?t＞0，有X（t）～N（0，σ2）；②若隨機(jī)過程中?t1、t2＞0 且 t1≠t2，X（t1）與 X（t2）相互獨(dú)立，則稱隨機(jī)過程 X（t）為 Gauss過程。若σ2=1，則稱該隨機(jī)過程X（t）為標(biāo)準(zhǔn)Gauss過程。

若隨機(jī)過程｛X（t），t∈T ｝滿足：①X（0）=0；②X（t）是一個(gè)齊次獨(dú)立增量過程，且 ΔXn=X（tn+1）-X（tn），ΔXn～N（0，Δtn）；③對(duì)?t＞0，X（t）～N（0，σ2t），則稱隨機(jī)過程X（t）為Wiener過程。若σ2=1，則稱該隨機(jī)過程X（t）為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程。Wiener過程的形式導(dǎo)數(shù)具有Gauss過程的性質(zhì)，因此該形式導(dǎo)數(shù)可寫為：

其中，W（t）為 Gauss過程；B（t）為 Wiener過程。

1.2 It微分方程

It微分方程［13-14］是一類在控制論、濾波和通信理論中有著重要作用的隨機(jī)微分方程，其表述為：

其中，X（t）= ［X1（t），X2（t），…，Xn（t）］T為 n 維向量隨機(jī)狀態(tài)變量，t∈［t0，T］；X（t0）=X0；W（t）為 m 維向量隨機(jī)過程，其分量為Gauss過程；X0與W（t）獨(dú)立。式（1）所示隨機(jī)微分方程的積分形式為：

可求精確解析解的It隨機(jī)微分方程主要有2類：一類是線性It隨機(jī)微分方程；另一類是可用Ito^微分公式化為線性It隨機(jī)微分方程的非線性Ito^隨機(jī)微分方程，并且主要是標(biāo)量It隨機(jī)微分方程。文獻(xiàn)［15］中給出了一些隨機(jī)微分方程的精確解析解。而實(shí)際應(yīng)用中比較復(fù)雜的隨機(jī)微分方程通常采用數(shù)值解法，EM（Euler-Maruyama）數(shù)值解法是求解隨機(jī)微分方程的主要方法之一，它通過對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行最簡單的時(shí)間離散化近似來求解，當(dāng)收斂要求較高時(shí)，可采用Taylor近似或Runge-Kutta近似，具體解法參見文獻(xiàn)［9］。

2 多機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)微分方程模型的建立

對(duì)于多機(jī)系統(tǒng)而言，在確定性的情況下，若發(fā)電機(jī)采用經(jīng)典二階模型，負(fù)荷采用恒阻抗模型，則第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程［16-17］為：

或?qū)懗桑?/p>

其中，Mi為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的慣性常數(shù)；δi為功角；ωi為角速度；ω0為初始角速度；t為時(shí)間；Di為阻尼系數(shù)；Pei為電磁功率；Pmi為機(jī)械功率；E′i為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的暫態(tài)電動(dòng)勢；n為系統(tǒng)中發(fā)電機(jī)的總臺(tái)數(shù)；δij0為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)與第j臺(tái)發(fā)電機(jī)的功角初值之差；Gii為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的自電導(dǎo)；Yij為第i臺(tái)與第j臺(tái)發(fā)電機(jī)間的互導(dǎo)納；αij為第i臺(tái)與第j臺(tái)發(fā)電機(jī)間阻抗角的余角。

式（4）加上隨機(jī)激勵(lì)（隨機(jī)激勵(lì)視為Gauss過程）σiW（t）后，第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)椋?/p>

其中，W（t）為標(biāo)準(zhǔn) Gauss過程；σi為隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)度，且存在標(biāo)量ε＞0，滿足。

對(duì)式（5）進(jìn)行變形，可得：

因此可得：

對(duì)各發(fā)電機(jī)的功角、角速度進(jìn)行變換，即令：

其中，δi0為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的功角初值。則式（8）變?yōu)椋?/p>

3 多機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)小擾動(dòng)穩(wěn)定性分析

本文多機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性分析基于以下近似假設(shè)：發(fā)電機(jī)采用經(jīng)典二階模型；負(fù)荷采用恒阻抗模型；隨機(jī)激勵(lì)視為Gauss過程。下面以4機(jī)系統(tǒng)為例，具體證明多機(jī)系統(tǒng)在Gauss小干擾下的隨機(jī)穩(wěn)定性，本文選用的隨機(jī)穩(wěn)定性分析方法為均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定，其定義如下。

均值穩(wěn)定：如果隨機(jī)微分方程的解X（t）滿足表示均值），C＞0，則系統(tǒng)是均值穩(wěn)定的。均方穩(wěn)定：如果隨機(jī)微分方程的解X（t）滿足，C＞0，則系統(tǒng)是均方穩(wěn)定的。

選取各發(fā)電機(jī)的功角和角速度作為狀態(tài)變量，建立4機(jī)系統(tǒng)的代數(shù)-微分方程，即將式（13）寫成向量形式，得：

其中，矩陣A為系統(tǒng)在平衡點(diǎn)一階線性化后所得的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣；A1—4為 A 的第1—4 列；A5—8為 A的第5—8 列；i=1，2，3，4。

對(duì)于 h（X（t）），有：

因而可得4），一般系統(tǒng)在受到小擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近波動(dòng)，即可近似認(rèn)為相對(duì)變化量很小，而且根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)可知一般都小于1，因而在分析時(shí)忽略h（X（t））的影響，這會(huì)使得理論分析與實(shí)際結(jié)果存在一定的偏差，具體的偏差將在算例分析中結(jié)合實(shí)際系統(tǒng)數(shù)據(jù)進(jìn)行具體說明。忽略h（X（t））的影響后，即將式（14）近似為：

根據(jù)It隨機(jī)積分可得，式（15）的解為：

首先證明上述4機(jī)系統(tǒng)的均值穩(wěn)定性。由期望與方差的關(guān)系，可知：

因而有：

根據(jù)以下 It隨機(jī)積分的性質(zhì)［13］，即：

根據(jù)向量2范數(shù)的定義以及常數(shù)的期望是其自身的性質(zhì)，可得：

因此，E［XT（t）X（t）］可簡化為：

由矩陣的性質(zhì)［9］可以知道，‖eA‖≤Ceλ。其中，A為 n×n 階矩陣；C 為大于 0 的常數(shù)；λ=max｛Re（λ1），Re（λ2），…，Re（λn）｝，λi為矩陣 A 的特征值，Re（λi）為λi的實(shí)部。

對(duì)于‖eAtX0‖2，有：

其中，N和C1均為大于0的常數(shù)。

其中，N2=‖Q‖2。

綜上所述，可得：

電力系統(tǒng)若要穩(wěn)定運(yùn)行，首要條件是其線性化后所得的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的所有特征值的實(shí)部均小于 0。若 λ＜0，則可得。

所以，有：

因此，該系統(tǒng)在隨機(jī)小擾動(dòng)下是均值穩(wěn)定的。

下面仍以上述4機(jī)系統(tǒng)為例證明其均方穩(wěn)定性。

由矩陣2范數(shù)的定義可知，矩陣A的2范數(shù)就是A的轉(zhuǎn)置矩陣與矩陣A相乘所得矩陣的最大特征值模的平方根，即：

其中，ρ［X（t）XT（t）］為矩陣 X（t）XT（t）最大特征值的模。

X（t）為列向量，即 rank［X（t）XT（t）］=1，所以矩陣 X（t）XT（t）的特征值為 n-1 個(gè) 0 和 tr［X（t）XT（t）］，由于 tr［X（t）XT（t）］=XT（t）X（t），因而 ρ［（X（t）XT（t）］=tr［X（t）XT（t）］=XT（t）X（t），則：

所以，有：

由上述證明可知C為大于的一個(gè)常數(shù)，因此該系統(tǒng)在Gauss隨機(jī)小擾動(dòng)下也是均方穩(wěn)定的。在實(shí)際應(yīng)用中，理論所得C應(yīng)與實(shí)際系統(tǒng)穩(wěn)定界限進(jìn)行對(duì)比，即系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行要求功角不能超過90°且頻率變化不超過±0.2 Hz，若C小于實(shí)際穩(wěn)定要求確定的實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)在Gauss隨機(jī)小擾動(dòng)下是嚴(yán)格均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的。

上述的多機(jī)系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定性分析均是以4機(jī)系統(tǒng)為例，給出了相應(yīng)的證明過程，若改成其他n機(jī)系統(tǒng)，分析方法與其類似。不過隨著發(fā)電機(jī)臺(tái)數(shù)的增多、系統(tǒng)的擴(kuò)大，獲取全系統(tǒng)代數(shù)-微分方程也將變得更困難，這時(shí)則需要對(duì)系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行進(jìn)一步簡化，再進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

4 算例分析

4.1 4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

仿真分析4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在隨機(jī)小擾動(dòng)下的響應(yīng)過程，選取4號(hào)發(fā)電機(jī)的端電壓作為參考電壓，仿真時(shí)間為 10 s，任意選取一組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度［σ1，σ2，σ3，σ4］=［0.01，0.015，0.02，0.025］（強(qiáng)度 σi為標(biāo)幺值，基值為第i臺(tái)發(fā)電機(jī)的額定容量，由于發(fā)電機(jī)額定容量不一樣，因此即使隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度標(biāo)幺值相同，其有名值也存在差異），各發(fā)電機(jī)功角及角速度響應(yīng)曲線分別如圖1、2所示。通過仿真圖可以看出，此時(shí)功角圍繞平衡點(diǎn)波動(dòng)的幅度不超過3°，角速度圍繞平衡點(diǎn)波動(dòng)的幅度不超過0.4 rad/s，此時(shí)的系統(tǒng)在Gauss隨機(jī)小擾動(dòng)下是均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的。

圖1 各臺(tái)發(fā)電機(jī)的功角變化曲線Fig.1 Power-angle curves of different generators

圖2 各臺(tái)發(fā)電機(jī)的角速度變化曲線Fig.2 Angular-speed curves of different generators

根據(jù)上述理論分析，將4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的參數(shù)代入求解，系統(tǒng)參數(shù)為：M1=13 s，M2=13 s，M3=12.5 s，M4=12.5 s，D1=0.2，D2=0.25，D3=0.3，D4=0.35，其余數(shù)據(jù)參見文獻(xiàn)［16］，通過計(jì)算（所有計(jì)算都采用標(biāo)幺值）可得該系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A特征值的最大實(shí)部為λ=-0.00879，C1=1.6150，取≤0.025，N2=8.6434×10-6，C=1.2824×10-3，從仿真結(jié)果中可得 E［XT（t）X（t）］＜1.3713×10-3，由理論結(jié)果與仿真結(jié)果的對(duì)比可看出兩者所得界限極為接近，雖然理論證明過程中未計(jì)及h（X（t））的影響，但由于證明過程中應(yīng)用了不等式放大關(guān)系，使得最終理論所得界限與仿真結(jié)果相差不大，因此若理論所得界限在實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定界限內(nèi)，則該系統(tǒng)在隨機(jī)小擾動(dòng)下是均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的。

4.2 16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

仿真分析16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在隨機(jī)小擾動(dòng)下的響應(yīng)過程，本文選取14號(hào)發(fā)電機(jī)的端電壓作為參考電壓，仿真時(shí)間為5 s，觀察各發(fā)電機(jī)的功角及角速度的響應(yīng)軌跡，該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及系統(tǒng)參數(shù)參照文獻(xiàn)［18］。

任取一組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度σ1=0.02、σ2=σ3=…=σ10=0.01、σ11=σ12=…=σ15=0.005、σ16=0.003，對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行仿真，各發(fā)電機(jī)角速度曲線和功角曲線分別如圖3、圖4所示。通過仿真圖可以看出，雖然系統(tǒng)受到隨機(jī)小擾動(dòng)，但是由于發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子具有慣性，所以各臺(tái)發(fā)電機(jī)的功角和角速度曲線呈現(xiàn)圍繞平衡點(diǎn)上下波動(dòng)的特性，功角圍繞平衡點(diǎn)波動(dòng)的幅度不超過0.5°，角速度圍繞平衡點(diǎn)波動(dòng)的幅度不超過0.04 rad/s，此時(shí)的系統(tǒng)是均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的。改變隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度，經(jīng)過多次仿真觀察，該系統(tǒng)在隨機(jī)小擾動(dòng)下都是均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的，驗(yàn)證了第3節(jié)的理論證明。

以1號(hào)發(fā)電機(jī)的功角及角速度曲線為例說明不同隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度對(duì)電力系統(tǒng)的影響。設(shè)第1組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度［σi］1為 σ1=0.02、σ2=σ3=…=σ10=0.01、σ11=σ12=…=σ15=0.005、σ16=0.003；第2組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度［σi］2為 σ1=0.03，其余與第1組相同。1號(hào)發(fā)電機(jī)在2組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度下的響應(yīng)曲線分別如圖3（a）、4（a）和圖5 所示。由仿真結(jié)果可知，當(dāng)僅增加某一隨機(jī)激勵(lì)的強(qiáng)度而其他隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度保持不變時(shí)，發(fā)電機(jī)功角曲線和角速度曲線的波動(dòng)幅度隨之增大，但整個(gè)系統(tǒng)仍保持均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定。

減少隨機(jī)激勵(lì)的數(shù)目，即設(shè)第3組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度［σi］3為 σ1=0.02，其余隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度均為 0，仿真曲線如圖6所示。由仿真結(jié)果可知，雖然外部隨機(jī)擾動(dòng)的數(shù)量減少了，但功角圍繞平衡點(diǎn)波動(dòng)的幅度卻稍有增大，這是由于擾動(dòng)的隨機(jī)性，這種隨機(jī)性導(dǎo)致小擾動(dòng)間會(huì)存在抵消作用，因此隨著擾動(dòng)數(shù)量的增加，其對(duì)系統(tǒng)總的影響卻不一定會(huì)增強(qiáng)。

圖3 各臺(tái)發(fā)電機(jī)的角速度變化曲線Fig.3 Angular-speed curves of different generators

圖4 各臺(tái)發(fā)電機(jī)的功角變化曲線Fig.4 Power-angle curves of different generators

圖5 1號(hào)發(fā)電機(jī)在第2組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度下的角速度、功角變化曲線Fig.5 Angular-speed and power-angle curves of Generator 1 for second random excitation

圖6 1號(hào)發(fā)電機(jī)在第3組隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度下的角速度、功角變化曲線Fig.6 Angular-speed and power-angle curves of Generator 1 for third random excitation

5 結(jié)論

本文采用加入隨機(jī)干擾項(xiàng)后的非線性微分方程作為系統(tǒng)模型，在Gauss小擾動(dòng)下進(jìn)行了近似假設(shè)，利用Ito^隨機(jī)微分方程的相關(guān)理論分析證明了在隨機(jī)激勵(lì)強(qiáng)度滿足一定的條件下（‖σ‖≤ε），若多機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征值實(shí)部均小于0，則多機(jī)系統(tǒng)是均值穩(wěn)定和均方穩(wěn)定的，即各發(fā)電機(jī)功角和角速度圍繞原平衡點(diǎn)上下波動(dòng)，波動(dòng)幅度有限，不會(huì)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象，即不會(huì)產(chǎn)生新的穩(wěn)定問題。利用Simulink分別對(duì)4機(jī)11節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和16機(jī)68節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果與理論證明相一致。

本文作為起步性研究，在理論證明中進(jìn)行了合理近似和不等式放大關(guān)系，這些造成了理論與仿真結(jié)果之間存在一定的差異，但不影響系統(tǒng)隨機(jī)小干擾穩(wěn)定判斷。進(jìn)一步研究的重點(diǎn)是如何采用其他穩(wěn)定分析方法對(duì)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下進(jìn)行更準(zhǔn)確的穩(wěn)定界限推導(dǎo)以及如何分析系統(tǒng)在隨機(jī)大擾動(dòng)下的穩(wěn)定情況。

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