郭壯志 ，陳 濤 ，洪俊杰 ，毛曉明 ，陳璟華

（1.河南工程學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 451191；2.廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

配電網(wǎng)故障區(qū)段定位對(duì)于提高配電網(wǎng)自愈性和運(yùn)行可靠性具有重要作用。隨著配電網(wǎng)自動(dòng)化終端設(shè)備的廣泛應(yīng)用，基于設(shè)備過電流信息的故障區(qū)段間接定位方法因原理簡(jiǎn)單、實(shí)現(xiàn)便捷而成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，該類算法主要分為2類：統(tǒng)一矩陣算法［1-5］和人工智能算法［6-13］。其中，統(tǒng)一矩陣算法直接利用線路元件兩端狀態(tài)監(jiān)控信息構(gòu)建故障辨識(shí)矩陣，具有建模直接、定位高效等優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于運(yùn)行信息畸變下的故障定位問題，容易出現(xiàn)錯(cuò)判或漏判。雖然一些學(xué)者已提出具有容錯(cuò)性能的統(tǒng)一矩陣算法，但通用性不強(qiáng)［4-5］?；谌斯ぶ悄芩惴ǖ呐潆娋W(wǎng)故障區(qū)段定位方法因具有高的容錯(cuò)性能且原理簡(jiǎn)單，近年來被大量研究，取得了豐碩的成果，眾多新型的群體智能算法如遺傳算法GA（Genetic Algorithm）、蟻群算法、仿電磁學(xué)算法、免疫算法、蝙蝠算法、和聲算法等被應(yīng)用于該領(lǐng)域。

基于群體智能算法的配電網(wǎng)故障區(qū)段定位方法的基本思想是：基于逼近理論和最小故障診斷集概念，構(gòu)建故障定位離散優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，利用群體智能算法找出最能解釋所有自動(dòng)化設(shè)備上傳故障電流報(bào)警信息的饋線短路故障區(qū)段。理論研究表明：該類方法只需對(duì)設(shè)備進(jìn)行0-1編碼，利用優(yōu)化目標(biāo)來描述故障設(shè)備的過電流信息逼近關(guān)系，具有建模原理簡(jiǎn)單、程序?qū)崿F(xiàn)容易的優(yōu)點(diǎn)，采用逼近思想使得所建故障定位模型不僅具有強(qiáng)通用性，且進(jìn)行故障區(qū)段辨識(shí)時(shí)具有高容錯(cuò)性，并可直接采用新型高效的群體智能算法進(jìn)行優(yōu)化決策。

文獻(xiàn)［6-8］提出基于遺傳算法的配電網(wǎng)故障定位逼近建模理論與決策算法。但文獻(xiàn)［6］因模型對(duì)饋線故障和自動(dòng)化設(shè)備過流信息間的逼近關(guān)系描述不準(zhǔn)確，會(huì)造成無畸變狀態(tài)信息下的故障區(qū)段誤判。文獻(xiàn)［7］首次建立基于遺傳算法的高級(jí)故障區(qū)段定位間接模型，不僅有效解決了文獻(xiàn)［6］的模型誤判問題，且具有很高的容錯(cuò)性，但對(duì)多區(qū)域故障定位存在重復(fù)性定位問題。文獻(xiàn)［8］在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上提出了多區(qū)域故障定位的分支選擇法。文獻(xiàn)［9］建立分級(jí)的故障區(qū)段定位逼近模型并采用蟻群算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化求解。文獻(xiàn)［10］基于文獻(xiàn)［8］建立更為簡(jiǎn)單的多區(qū)域配電網(wǎng)故障時(shí)的區(qū)段定位統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用仿電磁學(xué)算法提高故障定位效率。文獻(xiàn)［11-12］仍然沿用文獻(xiàn)［6-10］的間接故障定位模型邏輯建模思想，將免疫算法、蝙蝠算法應(yīng)用于故障區(qū)段定位模型的尋優(yōu)決策。文獻(xiàn)［13］基于功率流參考正方向，構(gòu)建含分布式電源配電網(wǎng)的故障定位間接模型，并采用和聲算法進(jìn)行模型決策求解。

但上述方法存在固有缺陷：所建的0-1離散故障定位模型是基于邏輯值關(guān)系構(gòu)建，不能夠采用高效的梯度算法或松弛方法進(jìn)行決策求解；采用群體智能算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)理論上具有全局收斂性，但在實(shí)際決策時(shí)因優(yōu)化搜索存在隨機(jī)性，將會(huì)因算法早熟而產(chǎn)生數(shù)值穩(wěn)定性問題，從而造成故障定位結(jié)果具有一定的不確定性；因?yàn)槟壳安捎萌后w智能優(yōu)化算法進(jìn)行求解，應(yīng)用于大規(guī)模配電網(wǎng)故障定位時(shí)決策效率低。

對(duì)基于群體智能算法的間接故障定位方法進(jìn)行綜合分析易得出：基于邏輯關(guān)系描述進(jìn)行故障定位模型構(gòu)建是導(dǎo)致配電網(wǎng)區(qū)段間接定位模型存在上述缺陷的根本原因。因此，建立非邏輯關(guān)系描述為基礎(chǔ)的故障區(qū)段辨識(shí)模型成為有效克服當(dāng)前間接故障定位模型和算法不足之處的關(guān)鍵。

本文基于代數(shù)關(guān)系描述，以單一故障假設(shè)為前提，首先建立無畸變故障電流信息情況下配電網(wǎng)故障區(qū)段定位的線性方程組模型；在此基礎(chǔ)上，利用互補(bǔ)約束條件、光滑互補(bǔ)函數(shù)和最優(yōu)化極值理論，構(gòu)建了電流信息畸變情況下故障輔助因子數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而建立具有高容錯(cuò)性特征的非線性方程組描述的配電網(wǎng)故障定位新模型，并采用牛頓-拉夫遜法進(jìn)行求解，具有二階收斂特性，且能夠有效實(shí)現(xiàn)多重饋線短路故障區(qū)段的辨識(shí)。

1 無信息畸變時(shí)故障定位線性方程組模型

1.1 故障報(bào)警信息與設(shè)備狀態(tài)編碼方法

配電網(wǎng)正常運(yùn)行時(shí)，配電系統(tǒng)無電流越限情況；配電網(wǎng)發(fā)生故障時(shí)，監(jiān)控節(jié)點(diǎn)處饋線終端設(shè)備（FTU）等自動(dòng)化設(shè)備將會(huì)檢測(cè)到短路故障過電流，并通過遠(yuǎn)程通信設(shè)備將帶時(shí)標(biāo)的故障報(bào)警信息上傳到控制主站?？梢钥闯?，不需要知道過電流的具體量值，只要依據(jù)FTU等是否監(jiān)測(cè)到過電流即可判定配電網(wǎng)是否發(fā)生短路故障。因此，可以采用故障和正常這2種狀態(tài)來描述故障報(bào)警信息情況，本文采用0表示無故障報(bào)警信息，采用1表示控制主站收到時(shí)標(biāo)報(bào)警信息。

本文仍然采用文獻(xiàn)［6-13］的間接建模方法，其本質(zhì)上是利用假定饋線故障時(shí)所造成的電流越限信息逼近時(shí)標(biāo)過電流報(bào)警信息。因此，可利用正常和故障2種狀態(tài)來表示饋線所在區(qū)段是否發(fā)生故障，本文以饋線支路的故障狀態(tài)信息作為內(nèi)生變量，并采用0-1離散值進(jìn)行變量編碼，數(shù)字0表示饋線區(qū)段運(yùn)行正常，數(shù)字1表示饋線區(qū)段發(fā)生故障。

1.2 基于代數(shù)關(guān)系描述的開關(guān)函數(shù)模型

配電網(wǎng)故障定位間接方法的最終目的是找出相應(yīng)發(fā)生故障的設(shè)備，其最能解釋所有上傳的故障電流報(bào)警信息。因此，建立數(shù)學(xué)模型合理有效地描述饋線運(yùn)行狀態(tài)與時(shí)標(biāo)過電流報(bào)警信息間的耦合關(guān)聯(lián)關(guān)系則成為定位故障饋線的關(guān)鍵。文獻(xiàn)［6-13］給出了開關(guān)函數(shù)的概念與構(gòu)建方法。開關(guān)函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是描述饋線故障與短路過電流信息間的耦合關(guān)聯(lián)關(guān)系，是構(gòu)建間接故障定位模型的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［6-13］構(gòu)建了基于邏輯描述的開關(guān)數(shù)學(xué)模型，其構(gòu)建方法導(dǎo)致決策算法過分依賴群體智能算法，因而存在數(shù)值穩(wěn)定性問題和應(yīng)用于大規(guī)模配電網(wǎng)故障定位時(shí)效率不高的缺點(diǎn)。

本文提出基于代數(shù)關(guān)系描述的開關(guān)函數(shù)模型，其構(gòu)建方法為：首先采用因果關(guān)聯(lián)分析理論找出與監(jiān)控點(diǎn)上傳故障報(bào)警信息直接相關(guān)的所有可能故障設(shè)備，即因果關(guān)聯(lián)設(shè)備；基于單一饋線故障假設(shè)和故障診斷最小集理論建立開關(guān)函數(shù)代數(shù)關(guān)系模型。下面以圖1所示簡(jiǎn)單輻射狀配電網(wǎng)為例，詳細(xì)闡述開關(guān)函數(shù)代數(shù)關(guān)系描述數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建方法。

圖1 簡(jiǎn)單輻射狀配電網(wǎng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of simple radial distribution network

當(dāng)斷路器S1的監(jiān)控點(diǎn)捕獲到故障過電流信息時(shí)，將通過通信設(shè)備向控制主站上傳報(bào)警信息，依據(jù)圖論的圖連通性和電力功率流的傳輸特性可知，可能是饋線1—5發(fā)生短路故障，從而引起S1處的過電流，其為造成斷路器S1報(bào)警信息的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備。同理，可得到饋線2—5為分段開關(guān)S2報(bào)警信息的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備，饋線3—5為分段開關(guān)S3報(bào)警信息的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備，饋線4、5為分段開關(guān)S4報(bào)警信息的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備，饋線5為分段開關(guān)S5報(bào)警信息的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備。表1為圖1中各自動(dòng)化開關(guān)的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備情況，其中A B表示饋線B緊鄰饋線A且功率流由A流向B。

表1 因果關(guān)聯(lián)設(shè)備信息Table 1 Information of related causal devices

依據(jù)各自動(dòng)化開關(guān)的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備與順序構(gòu)建開關(guān)函數(shù)，且其必須直接反映因果關(guān)聯(lián)設(shè)備與相應(yīng)自動(dòng)化開關(guān)報(bào)警信息間的因果關(guān)聯(lián)性。依據(jù)因果關(guān)聯(lián)設(shè)備的確定方法可以知道，因果關(guān)聯(lián)設(shè)備之間具有并聯(lián)疊加特性，即因果關(guān)聯(lián)設(shè)備單獨(dú)發(fā)生短路故障或同時(shí)發(fā)生故障，都會(huì)導(dǎo)致自動(dòng)化開關(guān)的故障過電流。在代數(shù)運(yùn)算中，“+”運(yùn)算蘊(yùn)含著并聯(lián)疊加特性，因此，本文中利用代數(shù)“+”運(yùn)算代替文獻(xiàn)［6-13］中的邏輯或運(yùn)算來構(gòu)建開關(guān)函數(shù)。如果IS1（X）—IS5（X）分別表示自動(dòng)化開關(guān)S1—S5的電流越限信息的開關(guān)函數(shù)，x（1）—x（5）分別表示饋線 1—5 的饋線運(yùn)行狀態(tài)信息，則 IS1（X）—IS5（X）的代數(shù)描述數(shù)學(xué)模型可以表示為：

式（1）—（5）中代數(shù)“+”運(yùn)算蘊(yùn)含著所有因果關(guān)聯(lián)設(shè)備與監(jiān)控點(diǎn)上傳報(bào)警信息的因果聯(lián)系，揭示了饋線故障狀態(tài)的協(xié)同作用對(duì)報(bào)警信息的直接作用特性。

依據(jù)上述開關(guān)模型的構(gòu)建方法，當(dāng)具有N個(gè)自動(dòng)化監(jiān)控終端時(shí)，基于代數(shù)關(guān)系描述的開關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)模型可表示為：

其中，Ωi為自動(dòng)化開關(guān)Si的因果關(guān)聯(lián)設(shè)備集；KΩi為Ωi中因果關(guān)聯(lián)設(shè)備數(shù)。

1.3 配電網(wǎng)故障區(qū)段定位的線性方程組模型

在數(shù)值分析中，采用樣本點(diǎn)殘差平方和衡量樣本值和理想值之間的一致逼近程度，其優(yōu)點(diǎn)在于可對(duì)稱考慮正負(fù)偏差。因此，本文采用殘差平方和來衡量開關(guān)函數(shù)和上傳報(bào)警信息間的逼近程度。令I(lǐng)*Si為自動(dòng)化開關(guān)Si上傳的報(bào)警信息，其逼近數(shù)學(xué)模型可以表示為：

在無報(bào)警信息畸變情況下，當(dāng)找到最佳故障設(shè)備時(shí)，應(yīng)使所有上傳報(bào)警信息與開關(guān)函數(shù)間總偏差為0，即f（X）值為0，否則將會(huì)導(dǎo)致饋線故障區(qū)段的錯(cuò)誤辨識(shí)。由式（7）可知，只有當(dāng)所有δi的值為0時(shí)，f（X）的值才為0。在無信息畸變情況下，準(zhǔn)確定位出故障饋線時(shí)，以下等式關(guān)系必然滿足：

反之，根據(jù)式（8）可用來辨識(shí)無信息畸變時(shí)的饋線故障區(qū)段。無信息畸變時(shí)的故障區(qū)段定位的線性方程組模型可表示為：

其中，A?RN×N，其元素 aij=0 或 1。

1.4 故障定位線性方程組模型的適應(yīng)能力分析

式（9）所建故障定位線性方程組新模型，能正確辨識(shí)饋線故障區(qū)段需滿足以下條件：方程組的解必須存在且具有唯一性；方程組解集中自變量值只能為0或1；數(shù)值1所對(duì)應(yīng)的故障饋線應(yīng)和預(yù)設(shè)故障具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。下面以圖1所示的配電網(wǎng)為例分析新故障定位模型的適應(yīng)性。

在無信息畸變情況下，假定饋線5發(fā)生故障，則故障定位線性方程組中：

利用線性代數(shù)行初等變換可得到矩陣A的秩R（A）和增廣矩陣相等，且等于變量個(gè)數(shù)。根據(jù)線性方程組解的唯一性存在定理可知［14］：饋線5發(fā)生故障時(shí)，配電網(wǎng)故障區(qū)段定位線性方程組模型具有唯一解。系數(shù)矩陣A是上三角矩陣，利用數(shù)值計(jì)算方法中線性方程組求解的前推回代算法易于得到故障定位線性方程組的解為：

由式（12）可知，方程組的解滿足自變量的值只能為0或1這一條件。且依據(jù)1.2節(jié)的編碼方法可辨識(shí)出饋線5發(fā)生短路，與預(yù)設(shè)故障一致。同理，可驗(yàn)證預(yù)設(shè)故障發(fā)生在饋線1—4時(shí)所提故障定位模型能夠準(zhǔn)確定位出饋線故障區(qū)段。因此，在無信息畸變情況下，所建故障定位線性方程組模型對(duì)于短路故障辨識(shí)具有強(qiáng)的適應(yīng)性，能夠精確地定位出故障所發(fā)生的區(qū)段。

配電網(wǎng)自動(dòng)化設(shè)備的運(yùn)行環(huán)境比較惡劣，監(jiān)控終端容易出現(xiàn)故障報(bào)警信息上傳缺失或畸變情況。預(yù)設(shè)饋線 5 發(fā)生短路故障，若即 S2的電流越限信息出現(xiàn)畸變，此時(shí)系數(shù)矩陣A仍然為式（11）。按照無信息畸變時(shí)的分析方法，此時(shí)配電網(wǎng)故障區(qū)段定位線性方程組模型具有唯一解，其方程組的解為：

從式（13）可看出，依據(jù)編碼方法將會(huì)判定饋線1和5發(fā)生故障，出現(xiàn)了誤判情況。同理，可分析其他畸變情況下也難于準(zhǔn)確定位出短路故障饋線。因此，可看出所建故障定位線性方程組模型缺乏對(duì)信息畸變時(shí)的適應(yīng)性，必須在此基礎(chǔ)上構(gòu)建具有容錯(cuò)性能的故障定位模型。

2 基于輔助因子的故障定位容錯(cuò)性方程組模型

根據(jù)式（13）可以看出，信息畸變時(shí)已不能保證方程組解的取值為0或1，從而導(dǎo)致誤判。本節(jié)將基于逼近關(guān)系理論和代數(shù)關(guān)系描述，建立具有容錯(cuò)性能的故障定位非線性方程組模型，建模的基本思路為：首先，對(duì)自變量的取值進(jìn)行約束，即融入0-1離散約束條件；其次，利用文獻(xiàn)［6-13］的配電網(wǎng)故障定位最優(yōu)化方法的逼近關(guān)系理論，采用0-1離散約束條件的互斥性條件，建立基于代數(shù)關(guān)系描述的偏差平方和最小的互補(bǔ)約束優(yōu)化模型；再次，利用光滑優(yōu)化輔助函數(shù)構(gòu)建等價(jià)的殘差平方和最小的連續(xù)空間非線性規(guī)劃模型，以避免對(duì)離散變量的直接決策求解；最后，為進(jìn)一步提高故障定位效率，基于最優(yōu)化模型極值的KKT條件構(gòu)建容錯(cuò)故障定位模型的容錯(cuò)因子，建立高容錯(cuò)性配電網(wǎng)故障辨識(shí)的非線性方程組模型。其詳細(xì)步驟如下。

依據(jù)第1節(jié)理論分析和饋線狀態(tài)約束限制，構(gòu)建的殘差平方和最小優(yōu)化模型為：

實(shí)際上，饋線的故障信息狀態(tài)具有互斥性，即同一饋線故障狀態(tài)x（i）取值不能同時(shí)為0或1，因此，可構(gòu)建輔助互補(bǔ)約束條件將式（14）等價(jià)影射為連續(xù)空間的殘差平方和最小優(yōu)化模型，其饋線狀態(tài)離散約束的互補(bǔ)模型為：

其中，⊥表示垂直互補(bǔ)。

由式（15）可看出，在優(yōu)化過程中無需要求自變量的離散性，在獲得最優(yōu)解時(shí)都可保證最終的決策變量值為0或1。連續(xù)空間的殘差平方和最小的互補(bǔ)約束優(yōu)化模型可表示為：

簡(jiǎn)單線性互補(bǔ)約束優(yōu)化也是一個(gè)非確定性多項(xiàng)式（NP）難問題［15］，互補(bǔ)光滑函數(shù)可等價(jià)代替互補(bǔ)約束條件，使其可等價(jià)轉(zhuǎn)化為一般非線性規(guī)劃問題，不僅可使可行點(diǎn)滿足非線性約束規(guī)格，且便于利用原優(yōu)化問題獲得最優(yōu)值時(shí)的等效KKT必要條件。本文將利用互補(bǔ)光滑函數(shù)優(yōu)化模型的KKT條件構(gòu)建故障輔助因子。

常用的互補(bǔ)函數(shù)為Fischer-Burmeister函數(shù)，即其具有擾動(dòng)因子的互補(bǔ)光滑函數(shù)的數(shù)學(xué)模型通常為：

根據(jù)文獻(xiàn)［16］定理，當(dāng) μ 0時(shí)，式（17）等價(jià)為：

利用 ΦFB（μ，a，b）=0 作為式（16）的替代約束條件［16］，從而將互補(bǔ)約束定位模型光滑化，式（16）轉(zhuǎn)化為：

依據(jù)文獻(xiàn)［17］給出的光滑優(yōu)化模型收斂定理可得出結(jié)論：當(dāng)μ 0時(shí)，互補(bǔ)約束光滑模型最優(yōu)解漸近收斂于二階必要條件的漸近穩(wěn)定點(diǎn)。因此，可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)確定KKT條件，將優(yōu)化問題式（19）等價(jià)地轉(zhuǎn)化為帶有非負(fù)參數(shù)μ的光滑方程組，其數(shù)學(xué)模型為：

令：

依據(jù)文獻(xiàn)［18］的光滑重構(gòu)方法，通過加入正則因子μ來改善算法全局收斂性和數(shù)值計(jì)算效果，可得到式（20）的光滑重構(gòu)方程組H（Z）為：

其中，c為加速因子；λ為拉格朗日乘子列向量。

根據(jù)式（14）中目標(biāo)函數(shù)的二次形式及無信息畸變下故障定位線性方程組數(shù)學(xué)模型式（9），可將式（22）寫成以下標(biāo)準(zhǔn)型：

式（23）的值等于0，即為信息畸變下配電網(wǎng)故障定位的非線性方程組模型，即：

與式（9）相比，式（24）增加了 3 個(gè)部分，其中 μ與 ΦFB（μ，X，1-X）+cμλ 是為了保證式（15）在找到方程組解集時(shí)離散約束條件成立，而cμX是為了提高報(bào)警信息畸變情況下故障定位模型的容錯(cuò)性能，本文定義為故障輔助因子。

3 配電網(wǎng)故障定位非線性方程組的求解

式（24）是最高次為2次的非線性方程組，本文采用牛頓-拉夫遜法進(jìn)行求解，具體算法迭代求解數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)原理可參閱數(shù)值計(jì)算方法教材［19］。牛頓-拉夫遜法用于故障定位模型迭代求解的數(shù)學(xué)模型可表示為：

故障定位的基本步驟如下：

a.選取 c?（0.5，2），（X（0）， λ（0），μ（0））＝E（E 為單位矩陣）；

b.判斷‖H（X（k）， λ（k）， μ（k））‖2的值，若其值為0則算法終止，否則轉(zhuǎn)步驟c；

c.利用式（25）計(jì)算［ΔX（k）Δλ（k）Δμ（k）］T；

d.利用式（26）計(jì)算［X（k+1）λ（k+1）μ（k+1）］T，并計(jì)算‖H（X（k），λ（k），μ（k））‖2的值，轉(zhuǎn)步驟 b。

因故障定位模型H（X，λ，μ）＝0的自變量最高次數(shù)為 2，（X*，λ*，μ*）為其不動(dòng)點(diǎn)，依據(jù)牛頓-拉夫遜法的迭代公式和收斂階的定義，可證明此時(shí)算法具有二階收斂特性。詳細(xì)證明過程可參閱文獻(xiàn)［19］。

4 算例仿真分析

4.1 簡(jiǎn)單輻射狀配電網(wǎng)算例

圖1所示簡(jiǎn)單的5節(jié)點(diǎn)輻射狀配電網(wǎng)，包含1臺(tái)斷路器、4個(gè)聯(lián)絡(luò)開關(guān)，5條饋線對(duì)應(yīng)5個(gè)定位區(qū)段，以其為例進(jìn)行仿真。根據(jù)第1節(jié)理論分析可知，在無信息畸變時(shí)線性方程組模型可準(zhǔn)確辨識(shí)出饋線短路區(qū)段。因此，只驗(yàn)證在無信息畸變和有信息畸變情況下基于輔助因子的配電網(wǎng)故障定位非線性方程組模型的有效性。

在無信息畸變的情況下，分別對(duì)饋線1—5發(fā)生單一短路故障的情況進(jìn)行仿真。自變量初值全部取值為1，加速因子c的初始化值為1.5，算法終止條件為‖H（X（k），λ（k），μ（k））‖2的值小于 10-6或最大迭代次數(shù)為100，2個(gè)條件滿足其一則算法終止。表2為無信息畸變時(shí)的故障定位仿真結(jié)果。

根據(jù)表2可以看出，在無報(bào)警信息畸變情況下，基于輔助因子的配電網(wǎng)故障定位非線性方程組模型可準(zhǔn)確地辨識(shí)出饋線故障區(qū)段。此時(shí)，拉格朗日乘子向量λ為零向量，正則因子μ的值為0，與式（9）對(duì)比可知，非線性方程組模型等價(jià)于無信息畸變下的故障定位線性方程組模型。因此，其可準(zhǔn)確地定位出饋線的故障區(qū)段。觀察定位出故障區(qū)段時(shí)算法的KKT值，易于看出其滿足式（19）所示目標(biāo)函數(shù)獲得極值時(shí)的KKT條件。另外，在5種預(yù)設(shè)故障下，找到故障區(qū)段時(shí)算法的迭代次數(shù)不超過12次，表明算法搜索效率高。

在有電流報(bào)警越限信息畸變情況下，分別針對(duì)具有1～3位信息畸變的情況進(jìn)行仿真，參數(shù)初始化值和算法終止條件與無信息畸變情況時(shí)相同。表3為信息畸變情況時(shí)的故障定位仿真結(jié)果。

根據(jù)表3可以看出，在有1～3位電流越限報(bào)警信息畸變情況下，基于輔助因子的配電網(wǎng)故障定位非線性方程組模型同樣可準(zhǔn)確地辨識(shí)出饋線故障區(qū)段。此時(shí)，正則因子μ的值為0，但拉格朗日乘子向量λ不再為零向量。觀察向量λ易知，在簡(jiǎn)單輻射狀配電網(wǎng)中，其非零元素剛好對(duì)應(yīng)畸變位，其物理意義在于為保證信息畸變情況下自變量離散取值時(shí)的等式成立而通過輔助因子進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，同時(shí)可對(duì)報(bào)警信息畸變位置進(jìn)行準(zhǔn)確辨識(shí)，為監(jiān)測(cè)裝置的維護(hù)和檢查提供了依據(jù)。

觀察定位出故障區(qū)段時(shí)算法KKT值，易于看出其滿足式（19）所示目標(biāo)函數(shù)獲得極值時(shí)的KKT條件。另外，在4種預(yù)設(shè)故障下，找到故障區(qū)段時(shí)算法的迭代次數(shù)不超過13次，表明算法搜索效率高。同時(shí)與無信息畸變情況下的算法迭代次數(shù)相比，有信息畸變情況下算法的迭代次數(shù)基本保持不變，表明算法具有很好的穩(wěn)定性。

4.2 具有T型耦合節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)算例

為了進(jìn)一步驗(yàn)證基于輔助因子配電網(wǎng)故障定位非線性方程組模型的合理性與有效性，對(duì)具有T型耦合節(jié)點(diǎn)的配電網(wǎng)進(jìn)行仿真。圖2為7節(jié)點(diǎn)T型耦合節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)，具有1臺(tái)斷路器、6個(gè)聯(lián)絡(luò)開關(guān)，7條饋線對(duì)應(yīng)7個(gè)定位區(qū)段，以其為例進(jìn)行分析。同樣只驗(yàn)證在無信息畸變和有信息畸變情況下基于輔助因子的故障定位非線性方程組模型的有效性。

表2 無信息畸變時(shí)的故障定位仿真結(jié)果Table 2 Simulative results of fault locating without information distortion

表3 信息畸變下的故障定位仿真結(jié)果Table 3 Simulative results of fault locating with information distortion

圖2 單電源T型耦和節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)示意圖Fig.2 Schematic diagram of single-source distribution network with T-type coupling node

在無信息畸變情況下，分別對(duì)饋線1—7單一短路故障和雙重故障的情況進(jìn)行仿真，參數(shù)初始化值和算法終止條件與4.1節(jié)相同。

表4為無信息畸變時(shí)的故障定位結(jié)果。可以看出，在無報(bào)警信息畸變情況下，針對(duì)含T型耦合節(jié)點(diǎn)的配電網(wǎng)，基于輔助因子的故障定位非線性方程組模型可準(zhǔn)確地辨識(shí)出饋線故障區(qū)段，且可以實(shí)現(xiàn)雙重故障的準(zhǔn)確定位。此時(shí)，正則因子μ的值為0。在單一故障下，非線性方程組模型等價(jià)于無信息畸變下的故障定位線性方程組模型式（9）。但式（9）在多重故障下將會(huì)誤判故障饋線位置，而非線性方程組模型因加入輔助因子，能實(shí)現(xiàn)對(duì)多重故障的準(zhǔn)確辨識(shí)，這是與式（9）相比在無信息畸變情況下的顯著優(yōu)點(diǎn)。觀察定位出故障區(qū)段時(shí)算法的KKT值，易看出其滿足式（19）所示目標(biāo)函數(shù)獲得極值時(shí)的KKT條件。另外，在9種預(yù)設(shè)故障下，找到故障區(qū)段時(shí)算法的迭代次數(shù)不超過10次，表明算法搜索效率高。

表4 無信息畸變時(shí)的故障定位仿真結(jié)果Table 4 Simulative results of fault locating without information distortion

表5為有電流越限報(bào)警信息下部分典型故障情況的仿真結(jié)果。根據(jù)表5可以看出，在有1～3位電流越限報(bào)警信息畸變情況下，基于輔助因子的配電網(wǎng)故障定位非線性方程組模型同樣可準(zhǔn)確地辨識(shí)出含T型耦合節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)的單一和多重饋線故障區(qū)段。此時(shí)，正則因子μ的值為0，但拉格朗日乘子向量λ不再為零向量。觀察向量λ易知，單一故障下其非零元素剛好對(duì)應(yīng)畸變位，但在雙重故障下，λ的非零元素已無上述含義，其物理意義在于為保證信息畸變情況下自變量離散取值時(shí)等式成立而通過輔助因子進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整。

觀察定位出故障區(qū)段時(shí)算法KKT值，易看出其滿足式（19）所示目標(biāo)函數(shù)獲得極值時(shí)的KKT條件。另外，在5種預(yù)設(shè)故障下，找到故障區(qū)段時(shí)算法的迭代次數(shù)不超過11次，表明算法搜索效率高。同時(shí)與無信息畸變情況下的算法迭代次數(shù)相比，有信息畸變情況下算法的迭代次數(shù)基本保持不變，表明算法具有很好的數(shù)值穩(wěn)定性。

表5 信息畸變下的故障定位仿真結(jié)果Table 5 Simulative results of fault locating with information distortion

5 結(jié)論

a.采用代數(shù)關(guān)系描述構(gòu)建配電網(wǎng)故障定位模型時(shí)，可克服傳統(tǒng)基于邏輯關(guān)系描述方法故障定位時(shí)對(duì)群體智能算法的過分依賴。

b.在無信息畸變情況下，基于代數(shù)關(guān)系描述和因果關(guān)聯(lián)設(shè)備特征構(gòu)建的故障定位線性方程組模型能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)簡(jiǎn)單輻射狀配電網(wǎng)饋線故障的準(zhǔn)確定位，但其不具備容錯(cuò)性能；對(duì)含T型耦合節(jié)點(diǎn)配電網(wǎng)的多重故障進(jìn)行定位時(shí)將會(huì)出現(xiàn)誤判。但線性方程組模型避免了利用最優(yōu)化算法的決策過程，只需對(duì)方程組進(jìn)行求解，有利于提高故障定位效率，是構(gòu)建具有高容錯(cuò)性故障定位方程組模型的基礎(chǔ)。

c.本文利用互補(bǔ)約束條件、光滑互補(bǔ)函數(shù)和最優(yōu)化極值理論構(gòu)建的故障輔助因子數(shù)學(xué)模型，不僅實(shí)現(xiàn)了離散優(yōu)化空間向連續(xù)尋優(yōu)空間的等價(jià)影射變換，可避免直接對(duì)離散變量的優(yōu)化決策，且以其為基礎(chǔ)構(gòu)建的非線性故障定位方程組模型在進(jìn)行故障定位時(shí)，具有高容錯(cuò)性和強(qiáng)通用性，并能夠?qū)崿F(xiàn)多重饋線故障區(qū)段的準(zhǔn)確辨識(shí)。

d.本文基于輔助因子的故障定位非線性方程組模型除可定位饋線故障區(qū)段外，在單一故障情況下可根據(jù)拉格朗日乘子的非零值來判定報(bào)警信息畸變位置，對(duì)于自動(dòng)化終端設(shè)備的檢修和維護(hù)具有一定的指導(dǎo)意義。

e.本文故障定位模型在求解時(shí)利用了牛頓-拉夫遜法的二階收斂特征和并行迭代搜索特性，具有數(shù)值穩(wěn)定性好、求解效率高的優(yōu)勢(shì)，可將本文提出的模型和算法應(yīng)用于大規(guī)模配電網(wǎng)的故障定位。

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