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        “兩位數(shù)乘兩位數(shù)”教學研究報告

        2017-05-20 12:45:15
        湖南教育·C版 2017年1期
        關(guān)鍵詞:乘數(shù)點子筆算

        一、問題

        計算是小學數(shù)學教學的主要內(nèi)容之一,是學生后續(xù)學習和生活的必備技能。計算教學包括計算概念的建立、計算法則的探究與運用以及計算技能的訓練等。兩位數(shù)乘兩位數(shù)是人教版小學數(shù)學教材三年級下冊的內(nèi)容,是在學生學習了筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學的。這一內(nèi)容是第一學段學生學習的最為復雜的計算知識,也是讓一線老師感到頭疼難教的內(nèi)容之一。老師們認為,學生在計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時,由于基礎(chǔ)不夠扎實、計算習慣不好、感知不完善、對算理理解不到位等,導致錯誤率比較高。那么,教師該采取什么樣的手段或者方法,幫助學生突破學習中的難點,切實提高計算技能呢?我們數(shù)學組針對這一內(nèi)容進行了教學研究。

        (一)教學實踐中的問題

        為了更好地了解學生的學情,我們選取了三(1)班49名學生進行了兩位數(shù)乘兩位數(shù)(不進位)的學習前測。

        從前測看,對于檢驗兩位數(shù)乘兩位數(shù)的知識儲備的計算題,大部分學生已經(jīng)基本掌握。對于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算題,有42.9%的學生能利用乘法意義找到答案,只有8.2%的學生能正確運用豎式計算。學生列豎式計算時出現(xiàn)的錯誤五花八門,表現(xiàn)出的最主要困難,首先是“誰”和“誰”乘的問題,其次是第二層積的對位問題。

        同時,我們對相關(guān)教師進行了問卷調(diào)查與訪談。從調(diào)查的結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn),部分老師認為計算教學關(guān)鍵是要形成技能,評價標準是要會做,但對算理理解關(guān)注不夠;有部分老師盡管注意到探究算法過程的必要性,但是考慮到課堂時間有限,在教學實踐中,對探索算法的過程,包括提出多樣化的算法并進行優(yōu)化關(guān)注不夠;由于講解算理和簡化豎式都在同一課時進行,而要完成豎式的教學,部分老師講解完算理后就帶著學生匆匆轉(zhuǎn)入技能的訓練中,剛剛經(jīng)歷的理解算理很快就湮沒在記憶、模仿法則的操練中。

        從教材層面進行分析,我們發(fā)現(xiàn)從計算方法的角度看,多位數(shù)乘一位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)區(qū)別是明顯的。學生很難結(jié)合口算的方法(14×12=14×10+14×2)自主探索出乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法的豎式計算法則,也很難實現(xiàn)從乘數(shù)是一位數(shù)的乘法豎式(一層積)到乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法豎式(兩層積)的突破。

        實際上,與多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法相比,兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式運算的復雜性增加了,對思維的要求也更高了。學生要知道每一步做什么,表示什么意思,得到的是幾個一還是幾個十,該如何寫。

        (二)解決問題的策略

        課標(2011版)中關(guān)于算理教學有明確要求:“在基本技能的教學中,不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟,還要使學生理解程序和步驟的道理。例如,對于整數(shù)乘法計算,學生不僅要掌握如何進行計算,而且要知道相應(yīng)的算理?!痹谶@一要求的指導下,基于對學生相關(guān)情況的調(diào)研、分析和把握,在教學中,我們將算理放在學習的中心位置,突出一個教學理念:借助直觀自主探究,循理悟法、以理馭法。學生由于是第一次學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式寫法,最難想到的是第二個積的書寫位置(即為什么用第二個乘數(shù)十位上的數(shù)乘第一個乘數(shù),所得的積的末位要與乘數(shù)的十位對齊),這也是理解筆算算理的突破口。于是,我們將筆算方法的學習置于具體的情境中,借助幾何直觀(點子圖),讓學生通過自主探索、合作交流、優(yōu)化比較等過程,發(fā)現(xiàn)口算拆分方法與筆算豎式算理上的一致性,從而突破難點,達到對算理的深層理解和算法的切實掌握。

        二、實踐

        基于充分理解算理、掌握算法觀點下的教學實踐,我們選取兩位數(shù)乘兩位數(shù)(不進位),讓學生經(jīng)歷探究算法、理解算理、初步概括法則的過程。重點教學乘的順序及各部分積的書寫位置,幫助學生理解算理,突出各部分積的實際含義。

        師:那誰能告訴我,怎樣計算多位數(shù)乘一位數(shù)呢?

        生1:要用一位數(shù)分別去乘多位數(shù)的每一位上的數(shù)。

        生2:乘的順序是先用一位數(shù)乘多位數(shù)的個位上的數(shù),得數(shù)要寫在個位上;再去乘多位數(shù)的十位上的數(shù),得數(shù)要寫在十位上。就這樣乘下去,如果有進位,要把進位記上。(師揭示課題:筆算乘法(不進位))

        (二)探究算法,理解算理

        1.嘗試計算

        師:(出示情境圖:每套書有14本,王老師買了12套)根據(jù)信息,你能提出什么數(shù)學問題?怎樣列式?

        生:一共買了多少本?14×12=?

        師:如果用一個點子表示一本書,這一行有14個點子,可以表示一套書。12套書有多少本,用點子圖可以怎么表示?(課件出示每行14個點子,共12行)求一共有多少本書就是求什么?

        生3:求一共有多少本書就是求12個14本是多少,用乘法計算。

        師:王老師大約買了多少本?結(jié)果大約會是多少?你是怎么想的?

        生4:我把12看成10,用14×12≈140估計大概的范圍,實際結(jié)果會比140大一點。(板書:估算:14×10=140(本))

        師:那要求一共買了多少本,你能利用學過的知識計算14×12等于多少嗎?如果有困難,可以借助老師發(fā)給你的點子圖來研究。在上面畫一畫,然后想一想,找到計算14×12的辦法,并把自己的想法和思考過程寫在紙上。如果你找到了一種方法,看看還有沒有其他的辦法。

        學生獨立思考,嘗試解決問題。

        2.探究方法

        師:現(xiàn)在請同桌之間交流計算方法。為了讓同學理解你的方法,可以借助點子圖進行講解,然后全班匯報。

        學生到實物投影儀上展示講解,匯報交流。

        生5:我可以先算2套多少本:14×2=28(本);再算10套多少本:14×10=140(本);最后算12套多少本:140+28=168(本)。(在點子圖上是這樣表示的,見圖4)

        師根據(jù)學生的回答從上到下依次板書:14×2=28(本);14×10=140(本);140+28=168(本)。

        生6:我也可以先算4套多少本,14×4=56(本);12套里面有3個4,所以總數(shù)就有3個56那么多,56×3=168(本)。(在點子圖上是這樣表示的,見圖5)

        生7:我的算式是這樣的:14×6×2=168(本),我先算一半也就是6套有多少本,再乘2就是12套有多少本了。(在點子圖上是這樣表示的,見圖6)

        生8:我發(fā)現(xiàn)點子圖可以有不同的分割方法,其實也可以豎著分割,再求和,算出總數(shù)……

        師:大家想出了這么多方法,盡管表示方法不同,但這些方法有什么共同特點?

        生9:這些方法都是先把一個數(shù)分小一點,再合起來。分開后的數(shù)變小了,我們就會算了。

        生10:把數(shù)拆分后就可以將新知識變成學過的知識進行解答了。

        師:對,這就是轉(zhuǎn)化的方法,數(shù)學中,轉(zhuǎn)化是一種重要的思想方法。還有沒有其他方法?

        生11展示了4個豎式的方法(如圖7)。生12展示了3個橫式與一個豎式的方法(如圖8)。

        生13(圖9)、生14(圖10)、生15(圖11)分別展示一個豎式表達的方法。

        師:(指生11的4個豎式)你們讀懂了他豎式的意思嗎?前3個分別表示什么意思?第四個呢?生12的呢?

        生16:我明白了,生11前面3個豎式的意思和生5的方法有點像,最后一個豎式,他把得數(shù)寫上去了,做了一個總結(jié);生12把后面3個橫式的思路及結(jié)果用一個豎式表示了。

        師:確實有點意思,也是一種創(chuàng)造哦。不過如果不看前3個豎式或最后3個橫式,豎式中的得數(shù)真不清楚是怎么來的,我們待會想想辦法。你們發(fā)現(xiàn)生12乘的順序有什么不一樣嗎?(教師指出,一般情況下,用第二個乘數(shù)的每一位去乘第一個乘數(shù)的每一位,這是一種習慣)另外3個同學的豎式都對嗎?你是怎么知道的?

        生17:生13的豎式錯了,因為我們剛才估計了結(jié)果比140大,這里的得數(shù)還不到100,肯定錯了。其他兩個得數(shù)應(yīng)該是對的,和我們估計的結(jié)果不太遠。

        師:生11、生12、生14、生15的豎式都能正確地計算出結(jié)果,可哪種方法更能簡潔地記錄計算的過程呢?

        生(齊):生15的。

        師:那我們請生15介紹一下他是怎么想的。

        在師生問答的過程中重點理解:(1)這里的28、14分別是怎么得到的?(2)計算過程中的14為什么要這樣寫?它表示什么意思?(重點強調(diào)計算過程中的14表示的是14個十及它的書寫位置)(3)指出,第二部分積表示的是14×10=140,個位上的0可以不寫,所以十位上的4要與乘數(shù)的十位對齊。師說明生14的方法對了,這里的0可以不寫,“+”號也可以省略,這樣更簡潔;再問生13是否清楚錯在哪里。

        3.溝通比較,明確豎式計算算理

        師:生15的豎式你們能理解嗎?豎式與我們前面的口算拆分方法14×12=14×10+14×2,以及對應(yīng)的點子圖有聯(lián)系嗎?有什么相同的地方?有什么不同?

        師生共同完成三者的關(guān)聯(lián),完成板書(如圖12)。

        師:生11用3個豎式表達了自己的思考過程,能不能用一個豎式簡潔表示?

        學生動筆嘗試。

        師:如果把這里的14看作第一個乘數(shù),12看作第二個乘數(shù),用豎式計算時要按怎樣的順序算?

        生18:先用第二個乘數(shù)個位上的數(shù)與第一個數(shù)相乘,再用十位上的數(shù)和第一個數(shù)相乘,然后把兩次乘得的積加起來。

        4.回顧反思

        師:再回頭看一看,剛才我們這個計算方法是怎么得到的?

        生19:我們是利用點子圖通過先分后合,轉(zhuǎn)化成學過的知識得到計算方法的。

        生20:我們還找到了這些方法之間的聯(lián)系,并概括出來了。

        師:點子圖是非常重要的學習工具,轉(zhuǎn)化、比較、概括都是非常重要的學習方法。

        5.靈活運用,說理訓練

        師:李師傅平均每小時做18個零件,那么工作14小時做了多少個零件?怎么列式?

        小明用豎式計算了,請你說一說每一部分的意思。(課件出示圖13)

        學生理解了算理后,再次讓學生書空,邊說邊口述18×14的筆算過程及豎式寫法。

        (三)練習(略)

        讓學生經(jīng)歷“探究算法—明晰算理—總結(jié)算法”的過程是新版教材在計算教學編排方面體現(xiàn)的主要特征。為了落實教材意圖,本節(jié)課的教學注重幫助學生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理,掌握筆算方法,感悟幾何直觀,體驗轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,積累抽象、歸納、概括等數(shù)學學習經(jīng)驗。

        1.探究算法策略多樣化

        本課中呈現(xiàn)出解決問題策略的多樣化。學生在多種口算方法的分割中體會先分后合的道理;在多種口算方法中突出與筆算豎式相關(guān)聯(lián)的分法,在比較中突出筆算乘法豎式的簡潔性和方法的抽象性。

        2.借助點子圖突出算理教學

        本節(jié)課的重難點是借助直觀的算理得到抽象的算法,而點子圖就是溝通算理和算法的橋梁。這一內(nèi)容的算理包含兩個方面,一是在學生還沒有學習乘法分配律的情況下如何理解“拆分”算法的合理性,二是理解豎式計算中每一步算出的是什么。教學中,教師注重引導學生利用點子圖,自主探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的得數(shù)及筆算方法,理解“拆分”算法的合理性,進而明晰豎式計算中每一步的含義,幫助學生掌握積的定位,明白數(shù)位對齊的道理,為學生靈活計算提供了算法依據(jù)。本課先通過估算、口算的思路回顧,展現(xiàn)方法背后的道理,實現(xiàn)由法入理;再通過嘗試豎式計算,實現(xiàn)口算思路的筆算化呈現(xiàn);在自主探索、討論交流中由理悟法,利用口算的算理將口算與筆算進行有效融通。這樣一來,不僅規(guī)范了筆算的算法,又厘清了算理與算法之間的關(guān)系,學生由會算轉(zhuǎn)向深入理解算法背后的道理,真正實現(xiàn)了以理馭法。

        3.注重計算方法的歸納、概括

        盡管抽象并概括方法的要求是在下一節(jié)課,但是本課中依然可見對學生規(guī)范語言表述的引導,對計算方法的歸納和概括。本課中,學生通過對豎式中每一步計算所表示意義的理解,自主完成了“程序化”計算中的數(shù)學思考。而對計算步驟的提煉和概括,為后續(xù)計算法則的抽象概括做了很好的鋪墊。

        三、討論

        1.計算能力的培養(yǎng)不能放松

        重視計算技能訓練和計算能力的培養(yǎng)一直是我國基礎(chǔ)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)。我們在這方面積累了豐富的經(jīng)驗。隨著科學技術(shù)的發(fā)展,日常生活中引入計算器代替計算已司空見慣,但是計算能力作為一種重要的能力,在小學階段還是需要訓練到位的。計算能力的高低對后續(xù)學習將產(chǎn)生深遠影響。小學計算不過關(guān),將對初高中的數(shù)學學習,乃至理科學習帶來極大的影響。

        2.計算速度有要求

        計算需要有一定的速度。計算屬于數(shù)學技能,數(shù)學技能的行為指標包括準確性、速度、協(xié)調(diào)性和自動化。心理學家研究發(fā)現(xiàn),當兒童企圖執(zhí)行更多工作記憶任務(wù)時,因這種技能水平低而造成計算速度慢,會導致越來越多的問題,也就是說數(shù)學事實提取慢,會干擾數(shù)學問題的解決。因此,通過一定的訓練,使學生的計算技能達到一定的自動化程度是非常必要的。作為數(shù)學教師,特別是小學數(shù)學教師,對后續(xù)意義重大的基本口算,如乘法口訣表、20以內(nèi)的加減、100以內(nèi)的加減等內(nèi)容,在教學中一定要向?qū)W生提出速度的要求。

        3.計算教學的價值是什么?

        《數(shù)學課程標準解讀》中指出:“運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學能力,而是運算技能與邏輯思維等的有機整合……運算能力不僅是一種數(shù)學的操作能力,更是一種數(shù)學的思維能力?!北緦n}的研究也給我們帶來一個思辨性的問題:計算教學的價值是什么?培養(yǎng)學生的思維能力應(yīng)該是不二選擇!因此在計算教學中,我們要跳出認知、技能的框框,組織學生積極探索算理算法,實現(xiàn)計算學習由知識技能性學習向探究性、創(chuàng)新性學習轉(zhuǎn)變。應(yīng)該說這反映出一種教學的價值取向,如果沒有高度的專業(yè)自覺性和自主性,以及對學生計算能力訓練的自信,還真的難以達成一種堅守。

        當然,對于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算教學,特別是兩位數(shù)乘兩位數(shù)(進位乘)問題,在解決了算理、算法的前提下,如何提高計算的正確率和速度等問題還有待我們繼續(xù)進行研究。

        (執(zhí)筆:胡力、王進、黃超、龔海彬、徐旺、李闖)

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