一、問題

計算是小學數(shù)學教學的主要內(nèi)容之一，是學生后續(xù)學習和生活的必備技能。計算教學包括計算概念的建立、計算法則的探究與運用以及計算技能的訓練等。兩位數(shù)乘兩位數(shù)是人教版小學數(shù)學教材三年級下冊的內(nèi)容，是在學生學習了筆算多位數(shù)乘一位數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學的。這一內(nèi)容是第一學段學生學習的最為復雜的計算知識，也是讓一線老師感到頭疼難教的內(nèi)容之一。老師們認為，學生在計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，由于基礎(chǔ)不夠扎實、計算習慣不好、感知不完善、對算理理解不到位等，導致錯誤率比較高。那么，教師該采取什么樣的手段或者方法，幫助學生突破學習中的難點，切實提高計算技能呢？我們數(shù)學組針對這一內(nèi)容進行了教學研究。

（一）教學實踐中的問題

為了更好地了解學生的學情，我們選取了三（1）班49名學生進行了兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）的學習前測。

從前測看，對于檢驗兩位數(shù)乘兩位數(shù)的知識儲備的計算題，大部分學生已經(jīng)基本掌握。對于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算題，有42.9%的學生能利用乘法意義找到答案，只有8.2%的學生能正確運用豎式計算。學生列豎式計算時出現(xiàn)的錯誤五花八門，表現(xiàn)出的最主要困難，首先是“誰”和“誰”乘的問題，其次是第二層積的對位問題。

同時，我們對相關(guān)教師進行了問卷調(diào)查與訪談。從調(diào)查的結(jié)果中我們發(fā)現(xiàn)，部分老師認為計算教學關(guān)鍵是要形成技能，評價標準是要會做，但對算理理解關(guān)注不夠；有部分老師盡管注意到探究算法過程的必要性，但是考慮到課堂時間有限，在教學實踐中，對探索算法的過程，包括提出多樣化的算法并進行優(yōu)化關(guān)注不夠；由于講解算理和簡化豎式都在同一課時進行，而要完成豎式的教學，部分老師講解完算理后就帶著學生匆匆轉(zhuǎn)入技能的訓練中，剛剛經(jīng)歷的理解算理很快就湮沒在記憶、模仿法則的操練中。

從教材層面進行分析，我們發(fā)現(xiàn)從計算方法的角度看，多位數(shù)乘一位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)區(qū)別是明顯的。學生很難結(jié)合口算的方法（14×12=14×10+14×2）自主探索出乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法的豎式計算法則，也很難實現(xiàn)從乘數(shù)是一位數(shù)的乘法豎式（一層積）到乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法豎式（兩層積）的突破。

實際上，與多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算乘法相比，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式運算的復雜性增加了，對思維的要求也更高了。學生要知道每一步做什么，表示什么意思，得到的是幾個一還是幾個十，該如何寫。

（二）解決問題的策略

課標（2011版）中關(guān)于算理教學有明確要求：“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。例如，對于整數(shù)乘法計算，學生不僅要掌握如何進行計算，而且要知道相應(yīng)的算理?！痹谶@一要求的指導下，基于對學生相關(guān)情況的調(diào)研、分析和把握，在教學中，我們將算理放在學習的中心位置，突出一個教學理念：借助直觀自主探究，循理悟法、以理馭法。學生由于是第一次學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式寫法，最難想到的是第二個積的書寫位置（即為什么用第二個乘數(shù)十位上的數(shù)乘第一個乘數(shù)，所得的積的末位要與乘數(shù)的十位對齊），這也是理解筆算算理的突破口。于是，我們將筆算方法的學習置于具體的情境中，借助幾何直觀（點子圖），讓學生通過自主探索、合作交流、優(yōu)化比較等過程，發(fā)現(xiàn)口算拆分方法與筆算豎式算理上的一致性，從而突破難點，達到對算理的深層理解和算法的切實掌握。

二、實踐

基于充分理解算理、掌握算法觀點下的教學實踐，我們選取兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位），讓學生經(jīng)歷探究算法、理解算理、初步概括法則的過程。重點教學乘的順序及各部分積的書寫位置，幫助學生理解算理，突出各部分積的實際含義。

師：那誰能告訴我，怎樣計算多位數(shù)乘一位數(shù)呢？

生1：要用一位數(shù)分別去乘多位數(shù)的每一位上的數(shù)。

生2：乘的順序是先用一位數(shù)乘多位數(shù)的個位上的數(shù)，得數(shù)要寫在個位上；再去乘多位數(shù)的十位上的數(shù)，得數(shù)要寫在十位上。就這樣乘下去，如果有進位，要把進位記上。（師揭示課題：筆算乘法（不進位））

（二）探究算法，理解算理

1.嘗試計算

師：（出示情境圖：每套書有14本，王老師買了12套）根據(jù)信息，你能提出什么數(shù)學問題？怎樣列式？

生：一共買了多少本？14×12=？

師：如果用一個點子表示一本書，這一行有14個點子，可以表示一套書。12套書有多少本，用點子圖可以怎么表示？（課件出示每行14個點子，共12行）求一共有多少本書就是求什么？

生3：求一共有多少本書就是求12個14本是多少，用乘法計算。

師：王老師大約買了多少本？結(jié)果大約會是多少？你是怎么想的？

生4：我把12看成10，用14×12≈140估計大概的范圍，實際結(jié)果會比140大一點。（板書：估算：14×10=140（本））

師：那要求一共買了多少本，你能利用學過的知識計算14×12等于多少嗎？如果有困難，可以借助老師發(fā)給你的點子圖來研究。在上面畫一畫，然后想一想，找到計算14×12的辦法，并把自己的想法和思考過程寫在紙上。如果你找到了一種方法，看看還有沒有其他的辦法。

學生獨立思考，嘗試解決問題。

2.探究方法

師：現(xiàn)在請同桌之間交流計算方法。為了讓同學理解你的方法，可以借助點子圖進行講解，然后全班匯報。

學生到實物投影儀上展示講解，匯報交流。

生5：我可以先算2套多少本：14×2=28（本）；再算10套多少本：14×10=140（本）；最后算12套多少本：140+28=168（本）。（在點子圖上是這樣表示的，見圖4）

師根據(jù)學生的回答從上到下依次板書：14×2=28（本）；14×10=140（本）；140+28=168（本）。

生6：我也可以先算4套多少本，14×4=56（本）；12套里面有3個4，所以總數(shù)就有3個56那么多，56×3=168（本）。（在點子圖上是這樣表示的，見圖5）

生7：我的算式是這樣的：14×6×2=168（本），我先算一半也就是6套有多少本，再乘2就是12套有多少本了。（在點子圖上是這樣表示的，見圖6）

生8：我發(fā)現(xiàn)點子圖可以有不同的分割方法，其實也可以豎著分割，再求和，算出總數(shù)……

師：大家想出了這么多方法，盡管表示方法不同，但這些方法有什么共同特點？

生9：這些方法都是先把一個數(shù)分小一點，再合起來。分開后的數(shù)變小了，我們就會算了。

生10：把數(shù)拆分后就可以將新知識變成學過的知識進行解答了。

師：對，這就是轉(zhuǎn)化的方法，數(shù)學中，轉(zhuǎn)化是一種重要的思想方法。還有沒有其他方法？

生11展示了4個豎式的方法（如圖7）。生12展示了3個橫式與一個豎式的方法（如圖8）。

生13（圖9）、生14（圖10）、生15（圖11）分別展示一個豎式表達的方法。

師：（指生11的4個豎式）你們讀懂了他豎式的意思嗎？前3個分別表示什么意思？第四個呢？生12的呢？

生16：我明白了，生11前面3個豎式的意思和生5的方法有點像，最后一個豎式，他把得數(shù)寫上去了，做了一個總結(jié)；生12把后面3個橫式的思路及結(jié)果用一個豎式表示了。

師：確實有點意思，也是一種創(chuàng)造哦。不過如果不看前3個豎式或最后3個橫式，豎式中的得數(shù)真不清楚是怎么來的，我們待會想想辦法。你們發(fā)現(xiàn)生12乘的順序有什么不一樣嗎？（教師指出，一般情況下，用第二個乘數(shù)的每一位去乘第一個乘數(shù)的每一位，這是一種習慣）另外3個同學的豎式都對嗎？你是怎么知道的？

生17：生13的豎式錯了，因為我們剛才估計了結(jié)果比140大，這里的得數(shù)還不到100，肯定錯了。其他兩個得數(shù)應(yīng)該是對的，和我們估計的結(jié)果不太遠。

師：生11、生12、生14、生15的豎式都能正確地計算出結(jié)果，可哪種方法更能簡潔地記錄計算的過程呢？

生（齊）：生15的。

師：那我們請生15介紹一下他是怎么想的。

在師生問答的過程中重點理解：（1）這里的28、14分別是怎么得到的？（2）計算過程中的14為什么要這樣寫？它表示什么意思？（重點強調(diào)計算過程中的14表示的是14個十及它的書寫位置）（3）指出，第二部分積表示的是14×10=140，個位上的0可以不寫，所以十位上的4要與乘數(shù)的十位對齊。師說明生14的方法對了，這里的0可以不寫，“+”號也可以省略，這樣更簡潔；再問生13是否清楚錯在哪里。

3.溝通比較，明確豎式計算算理

師：生15的豎式你們能理解嗎？豎式與我們前面的口算拆分方法14×12=14×10+14×2，以及對應(yīng)的點子圖有聯(lián)系嗎？有什么相同的地方？有什么不同？

師生共同完成三者的關(guān)聯(lián)，完成板書（如圖12）。

師：生11用3個豎式表達了自己的思考過程，能不能用一個豎式簡潔表示？

學生動筆嘗試。

師：如果把這里的14看作第一個乘數(shù)，12看作第二個乘數(shù)，用豎式計算時要按怎樣的順序算？

生18：先用第二個乘數(shù)個位上的數(shù)與第一個數(shù)相乘，再用十位上的數(shù)和第一個數(shù)相乘，然后把兩次乘得的積加起來。

4.回顧反思

師：再回頭看一看，剛才我們這個計算方法是怎么得到的？

生19：我們是利用點子圖通過先分后合，轉(zhuǎn)化成學過的知識得到計算方法的。

生20：我們還找到了這些方法之間的聯(lián)系，并概括出來了。

師：點子圖是非常重要的學習工具，轉(zhuǎn)化、比較、概括都是非常重要的學習方法。

5.靈活運用，說理訓練

師：李師傅平均每小時做18個零件，那么工作14小時做了多少個零件？怎么列式？

小明用豎式計算了，請你說一說每一部分的意思。（課件出示圖13）

學生理解了算理后，再次讓學生書空，邊說邊口述18×14的筆算過程及豎式寫法。

（三）練習（略）

讓學生經(jīng)歷“探究算法—明晰算理—總結(jié)算法”的過程是新版教材在計算教學編排方面體現(xiàn)的主要特征。為了落實教材意圖，本節(jié)課的教學注重幫助學生理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，掌握筆算方法，感悟幾何直觀，體驗轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，積累抽象、歸納、概括等數(shù)學學習經(jīng)驗。

1.探究算法策略多樣化

本課中呈現(xiàn)出解決問題策略的多樣化。學生在多種口算方法的分割中體會先分后合的道理；在多種口算方法中突出與筆算豎式相關(guān)聯(lián)的分法，在比較中突出筆算乘法豎式的簡潔性和方法的抽象性。

2.借助點子圖突出算理教學

本節(jié)課的重難點是借助直觀的算理得到抽象的算法，而點子圖就是溝通算理和算法的橋梁。這一內(nèi)容的算理包含兩個方面，一是在學生還沒有學習乘法分配律的情況下如何理解“拆分”算法的合理性，二是理解豎式計算中每一步算出的是什么。教學中，教師注重引導學生利用點子圖，自主探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的得數(shù)及筆算方法，理解“拆分”算法的合理性，進而明晰豎式計算中每一步的含義，幫助學生掌握積的定位，明白數(shù)位對齊的道理，為學生靈活計算提供了算法依據(jù)。本課先通過估算、口算的思路回顧，展現(xiàn)方法背后的道理，實現(xiàn)由法入理；再通過嘗試豎式計算，實現(xiàn)口算思路的筆算化呈現(xiàn)；在自主探索、討論交流中由理悟法，利用口算的算理將口算與筆算進行有效融通。這樣一來，不僅規(guī)范了筆算的算法，又厘清了算理與算法之間的關(guān)系，學生由會算轉(zhuǎn)向深入理解算法背后的道理，真正實現(xiàn)了以理馭法。

3.注重計算方法的歸納、概括

盡管抽象并概括方法的要求是在下一節(jié)課，但是本課中依然可見對學生規(guī)范語言表述的引導，對計算方法的歸納和概括。本課中，學生通過對豎式中每一步計算所表示意義的理解，自主完成了“程序化”計算中的數(shù)學思考。而對計算步驟的提煉和概括，為后續(xù)計算法則的抽象概括做了很好的鋪墊。

三、討論

1.計算能力的培養(yǎng)不能放松

重視計算技能訓練和計算能力的培養(yǎng)一直是我國基礎(chǔ)教育的優(yōu)良傳統(tǒng)。我們在這方面積累了豐富的經(jīng)驗。隨著科學技術(shù)的發(fā)展，日常生活中引入計算器代替計算已司空見慣，但是計算能力作為一種重要的能力，在小學階段還是需要訓練到位的。計算能力的高低對后續(xù)學習將產(chǎn)生深遠影響。小學計算不過關(guān)，將對初高中的數(shù)學學習，乃至理科學習帶來極大的影響。

2.計算速度有要求

計算需要有一定的速度。計算屬于數(shù)學技能，數(shù)學技能的行為指標包括準確性、速度、協(xié)調(diào)性和自動化。心理學家研究發(fā)現(xiàn)，當兒童企圖執(zhí)行更多工作記憶任務(wù)時，因這種技能水平低而造成計算速度慢，會導致越來越多的問題，也就是說數(shù)學事實提取慢，會干擾數(shù)學問題的解決。因此，通過一定的訓練，使學生的計算技能達到一定的自動化程度是非常必要的。作為數(shù)學教師，特別是小學數(shù)學教師，對后續(xù)意義重大的基本口算，如乘法口訣表、20以內(nèi)的加減、100以內(nèi)的加減等內(nèi)容，在教學中一定要向?qū)W生提出速度的要求。

3.計算教學的價值是什么？

《數(shù)學課程標準解讀》中指出：“運算能力并非一種單一的、孤立的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合……運算能力不僅是一種數(shù)學的操作能力，更是一種數(shù)學的思維能力?！北緦ｎ}的研究也給我們帶來一個思辨性的問題：計算教學的價值是什么？培養(yǎng)學生的思維能力應(yīng)該是不二選擇！因此在計算教學中，我們要跳出認知、技能的框框，組織學生積極探索算理算法，實現(xiàn)計算學習由知識技能性學習向探究性、創(chuàng)新性學習轉(zhuǎn)變。應(yīng)該說這反映出一種教學的價值取向，如果沒有高度的專業(yè)自覺性和自主性，以及對學生計算能力訓練的自信，還真的難以達成一種堅守。

當然，對于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算教學，特別是兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進位乘）問題，在解決了算理、算法的前提下，如何提高計算的正確率和速度等問題還有待我們繼續(xù)進行研究。

（執(zhí)筆：胡力、王進、黃超、龔海彬、徐旺、李闖）