李會會 李 玉 劉希強

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東聊城252059)

一個新耦合ZK系統(tǒng)的對稱, 精確解和守恒律①

李會會 李 玉 劉希強

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東聊城252059)

利用修正的CK直接約化方法, 對一個新的耦合ZK系統(tǒng)的對稱理論進行研究, 從而得到了耦合ZK系統(tǒng)的新舊解之間的關(guān)系,并進一步利用已知解求出了該系統(tǒng)新的精確解. 基于所求出的對稱形式及耦合ZK系統(tǒng)共軛方程組的解, 得到了耦合ZK系統(tǒng)無窮多的守恒律.

耦合ZK系統(tǒng), 精確解, 守恒律, 修正的CK直接約化方法

0 引言

近幾十年來, 在科學(xué)技術(shù)的研究中演化出大量的非線性發(fā)展方程, 用以描述物理、生物等領(lǐng)域中的復(fù)雜現(xiàn)象. Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程

ut+auux+b(uxx+uyy)x=0

是數(shù)學(xué)物理中一類重要的高維非線性演化方程. 1974 年,從含有冷離子和熱等溫電子的磁化等離子演化過程中Zakharov和Kuznetsov最先推導(dǎo)出該方程. 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),ZK方程也可以用來描述耦合非線性傳輸線中的非線性波與水波在(2+1)維空間中的運動規(guī)律. 因此, 對于求解該方程的研究具有重要的實際意義.

最近, 文獻[1]從原有的ZK方程出發(fā), 對此進行推廣, 得到一個如下形式的新耦合ZK系統(tǒng)

(1)

其中α,β,γ,λ是任意常數(shù). 文獻[1]利用推廣的Tanh-coth方法和雙曲函數(shù)展開法, 得到了耦合ZK系統(tǒng)的孤立波解和周期波解. 可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)取u=ρ=w時, 方程組(1)可以簡化為通常的ZK方程. 由此可見, 方程組(1)是單個ZK方程的推廣.

由于, 非線性發(fā)展方程的精確解在解釋物理、動力學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域中的一些復(fù)雜現(xiàn)象有著非常重要的作用, 因此數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家對非線性發(fā)展方程的求解問題作了大量研究. 迄今為止, 已經(jīng)提出一些直接有效的求解方法, 如齊次平衡法, 雙曲函數(shù)法,Tanh-coth方法,Jacobi橢圓函數(shù)展開法等. 利用這些方法能夠求得非線性方程的一些沖擊波解、孤立波解以及廣義上的周期解. 尤其是樓森岳教授和馬紅彩教授在李群理論的基礎(chǔ)上對CK直接約化方法進行推廣, 提出了修正的CK直接約化方法[2],以便對方程的群變換解及守恒律進行系統(tǒng)的研究. 在文獻[3]中, 利用李群方法得到了GZK方程的多項式解和三角函數(shù)解, 在文獻[4]中, 借助李群理論得到了(2+1)維擴展ZK方程的對稱、約化方程和精確解, 在文獻[5]中, 利用直接約化方法得到了廣義KdV-Zakharov-Kuznetsev方程的對稱約化、精確解和守恒律.

1 耦合ZK系統(tǒng)新的精確解

假設(shè)方程組(1)有滿足如下形式的變換

(2)

這里的ξ=ξ(x,y,t),η=η(x,y,t)和τ=τ(x,y,t)都是待定函數(shù), 并且在變換

{u,ρ,w,x,y,t}→{U,V,W,ξ,η,τ}，

下要求U(ξ,η,τ),V(ξ,η,τ)和W(ξ,η,τ)也滿足方程組(1), 即

(3)

令a1(x,y,t)=0,a2(x,y,t)=0,a3(x,y,t)=0, 把方程(2)代入方程組(1), 并利用方程組(3), 借助Maple軟件得到下述決定方程組

(4)

解上述超定方程組得到

(5)

其中ci=0(i=1…4)是任意的常數(shù).

根據(jù)上述過程, 我們有下面的對稱群定理:

定理1 若U(ξ,η,τ),V(ξ,η,τ)和W(ξ,η,τ)是耦合ZK系統(tǒng)的解, 那么

(6)

也是耦合ZK系統(tǒng)的解, 其中ξ,η和τ由(5)式?jīng)Q定.

由定理1可以看出耦合ZK系統(tǒng)的新舊解之間的關(guān)系. 利用定理1, 可以由它的已知解得到許多新解. 例如選取文獻[1]中的解(3.6)和(4.2), 可以得到耦合ZK系統(tǒng)的新解

其中c,c1是任意常數(shù),ξ=c1x+c2,η=c1y+c4,τ=c1t+c3.并且得出的新解的約束條件和文獻[1]中解的約束條件相同. 類似地,可以根據(jù)方程組(1)的不同種子解重復(fù)利用定理1 , 就可以得到不同種類的精確解.

2 對稱群的李代數(shù)

為了可以更好的分析(5)式所對應(yīng)方程組的李代數(shù), 取

c1=1+εc1,c2=εc2,c3=εc3,c4=εc4,

其中ε是無窮小參數(shù), 且ci=0(i=1…4)是任意的常數(shù), 那么方程(6)可記作

u=U+εσ(U),ρ=V+εσ(V),w=W+εσ(W) ，

(7)

(8)

(9)

(10)

與上述對稱等價的向量場可以表示成

同時向量場vu,vρ和vw也可由李點變換群方法計算得到. 這里由(8), (9), (10)式表達的是耦合ZK系統(tǒng)的對稱. 對稱群的等價算子表達式為

(11)

由(11)式可以得到

易驗證上述對稱之間的算子關(guān)系為

[vi,vj]v1v2v3v4v10-v2-3v3-v4v2v2000v33v3000v4v4000

由上述算子關(guān)系可以看出,方程組(1)滿足四維的李代數(shù).

3 耦合ZK系統(tǒng)的守恒律

我們將通過耦合ZK系統(tǒng)的共軛方程組和已求得的對稱來研究它的守恒律. 耦合ZK系統(tǒng)的共軛方程組為

(12)

三階拉氏函數(shù)為

L=v1(ut-α(uρ)x-γ(ρw)x-β(uxx+uyy)x)

+v2(ρt-λ(uw)x-β(ρxx+ρyy)x)+v3(wt-λ(uρ)x-β(wxx+wyy)x).

(13)

二階拉氏函數(shù)為

L=v1(ut-α(uρ)x-γ(ρw)x)+βv1x(uxx+uyy)+v2(ρt-λ(uw)x)

+βv2x(ρxx+ρyy)+v3(wt-λ(uρ)x)+βv3x(wxx+wyy).

(14)

定理2[6]每個李點對稱、李貝克隆變換和方程組(1)的對稱都給出了耦合的ZK系統(tǒng)及其共軛方程組的一個守恒律, 且守恒向量由下式給出

(15)

在此, 我們考慮耦合ZK系統(tǒng)的二階拉氏量, 利用定理1和公式(15)計算耦合ZK系統(tǒng)的守恒律. 規(guī)定, 我們有

ξ1=3c1t+c3,ξ2=c1x+c2,ξ3=c1y+c4,

η1=-2c1u,η2=-2c1ρ,η3=-2c1w,

w1=-2c1u-(3c1t+c3)ut-(c1x+c2)ux-(c1y+c4)uy,

w2=-2c1ρ-(3c1t+c3)ρt-(c1x+c2)ρx-(c1y+c4)ρy,

w3=-2c1w-(3c1t+c3)wt-(c1x+c2)wx-(c1y+c4)wy.

在上述條件下,(15)式滿足守恒方程Dt(C1)+Dx(C2)+Dy(C3)=0, 且向量的元素為

由對稱(8)、(9)和(10), 取c1=1,c2=c3=c4=0, 可得

C1=-x(uxv1+ρxv2+wxv3)-y(uyv1+ρyv2+wyv3)-

t(utv1+ρtv2+wtv3)-2(u+ρ+w),

C2=x(uxA+ρxB+wxD-β(uxxv1x+ρxxv2x+wxxv3x)+

y(uyA+ρyB+wyD-β(uxyv1x+ρxyv2x+wxyv3x)),

C3=βx(uxv1xy+uxyv1x+ρxyv2x+ρxv2xy+wxv3xy+wytv3x)+

βy(uyv1xy+uyyv1x+ρyv2xy+ρyyv2x+wyv3xy+wyyv3x)+

3βt(utv1xy+ρv2xy+wtv3xy+uytv1x+ρytv2x+wytv3x)+

2β(uv1xy+ρv2xy+wvv3xy)-3β(uyv1x+ρyv2x+wyv3x),

其中A=v1αρ+v2λw+v3λρ+βv1xx;B=v1αu+v1γw+v3λu+βv2xx;D=v1γρ+v2λu+βv3xx.

借助于Maple軟件, 我們可以驗證上述求得的向量是方程組(1)的守恒向量,這個守恒向量也包含了共軛方程組(12)的任意解, 因此上式給出了耦合ZK系統(tǒng)的無窮多個守恒律.

考慮方程組(12)的特解v1=v2=v3=1, 那么我們得到方程組(1)的一組守恒向量

C1=-x(ux+ρx+wx)-y(uy+ρy+wy)-t(ut+ρt+wt)-2(u+ρ+w),

C2=x(ux(αρ+λw+λρ)+ρx(αu+γw+λu)+wx(γρ+λu))+y(uy(αρ+λw+λρ)+ρy(αu+γw+λu)+wy(γρ+λu))+3t(ut(αρ+λw+λρ)+ρt(αu+γw+λu)+wt(γρ+λu))+2(u(αρ+λw+λρ)+ρ(αu+γw+λu)+w(γρ+λu)),

C3=0.

4 結(jié)論

對一個新的耦合ZK系統(tǒng)利用修正的CK直接約化方法, 求得了該系統(tǒng)的對稱, 繼而得到了其新舊解之間的關(guān)系, 利用文獻[1]中耦合ZK系統(tǒng)的已知解,得到了新的精確解. 最后利用已求得的對稱及其共軛方程組,得到了耦合ZK系統(tǒng)的無窮多守恒律. 由此可見，本文中用到的方法對于求解非線性演化方程(組)具有非常重要的作用.

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Symmetry Reductions, Exact Solutions and Conservation Law of a New Coupled ZK System

LI Hui-hui LI Yu LIU Xi-qiang

(School of Mathematical Sciences, Liaocheng University, Liaocheng 252059, China )

By using the modified direct reduction method presented by Clarkson and Kruskal, the symmetry group theorem of a new coupled ZK system are derived. Some new exact solutions of a new coupled ZK system are obtained by applying the theorem and given solution. Conservation laws of the equations are obtained with the corresponding Lie symmetry.

a new coupled ZK system，exact solutions，conservation laws，modified CK’s direct reduction method

2016-11-26

國家自然科學(xué)基金與中國工程物理研究院基金項目(11076015)資助

劉希強，E-mail:liuxiq@sina.com.

O175.2

A

1672-6634(2017)01-0005-05