鄧長喜

[摘要]介紹了Abaqus中隨機響應(yīng)分析的特點，簡要論述了虛擬激勵法的理論基礎(chǔ)，介紹了利用Abaqus諧響應(yīng)分析結(jié)果得到隨機響應(yīng)結(jié)果的步驟。并以懸臂梁為例，將本文方法和Abaqus中自帶隨機振動求解器計算結(jié)果進行對比。結(jié)果表明，兩者誤差很小，本文方法計算結(jié)果可信。

[關(guān)鍵詞]隨機響應(yīng)；振動；虛擬激勵法；大阻尼

0引言

在工程上，隨機響應(yīng)分析常用來預(yù)先分析設(shè)備抵抗隨機載荷的能力。隨機振動將概率論與統(tǒng)計學中的方法應(yīng)用到評估設(shè)備結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、識別、響應(yīng)以及可靠性上，形成了一個相關(guān)學科相結(jié)合的新產(chǎn)物。

Abaqus作為一個通用有限元求解器，在各個行業(yè)得到了廣泛的應(yīng)用。隨機分析的激勵作為時間的函數(shù)。具體載荷（力、速度等）都是未知的，載荷的本質(zhì)是通過統(tǒng)計學的方法描述。在Abaqus中進行隨機響應(yīng)分析時，直接輸入激勵的功率譜密度（PSD）曲線，然后有求解器直接計算出結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度曲線和對應(yīng)的均方根（RMS）值。隨機響應(yīng)分析是一個頻域的線性攝動分析過程，通過結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)來計算得到。阻尼可以通過模態(tài)阻尼、結(jié)構(gòu)阻尼、瑞利阻尼或者復(fù)合阻尼等方式施加到結(jié)構(gòu)模型中。直接隨機響應(yīng)分析具有方便操作，計算速度快等特點。但是，直接隨機響應(yīng)基于模態(tài)疊加法，使用的是全局的模態(tài)阻尼，只適用于小阻尼的情況，不能形成阻尼矩陣參與動力學分析，無法為材料添加阻尼，在含有大阻尼的橡膠材料構(gòu)成的減震器模型中無法應(yīng)用該分析。

本文簡要介紹了虛擬激勵法，并通過該方法處理Abaqus穩(wěn)態(tài)動力學分析結(jié)果得到對應(yīng)PSD激勵下的隨機響應(yīng)結(jié)果，并且和常規(guī)隨機響應(yīng)分析結(jié)果做出對比。

1基本原理

穩(wěn)態(tài)動力學和隨機振動分析在Abaqus中都是基于掃頻分析，本質(zhì)上是一樣的。

但是，穩(wěn)態(tài)動力學（正弦振動）分析的輸入（激勵）是各個頻率點的加速度或位移峰值，響應(yīng)為各個頻率點的加速度或位移峰值。得到的傳遞函數(shù)為單位激勵下每個頻率點的響應(yīng)。它是按照用戶設(shè)定的掃頻點一個一個地進行分析。如果輸入的激勵為單位值，則各個頻率上的單位激勵。引起各個頻率上的響應(yīng)。也就是傳遞函數(shù)。

隨機振動分析的輸入（激勵）是每個頻率成分的加速度密度值。加速度PSD曲線在整個頻率段上的積分為加速度均方值，開根號后為均方根加速度。響應(yīng)也是每個頻率成分的加速度密度值，積分再開根號得到響應(yīng)的均方根加速度，雖然它也是按照用戶設(shè)定的掃頻點一個一個地進行分析，但是它是一個PSD曲線對應(yīng)一個響應(yīng)，各個頻率上的激勵，引起各個頻率上的響應(yīng)。

所以，穩(wěn)態(tài)動力分析是各個掃頻點的激勵對應(yīng)各個掃頻點的響應(yīng)，隨機響應(yīng)分析是所有頻率成分的密度組成的一個激勵對應(yīng)所有頻率成分密度組成的一個響應(yīng)。它們之間的橋梁就是傳遞函數(shù)。

對于一個平穩(wěn)隨機激勵的線性系統(tǒng)，頻率響應(yīng)表征了系統(tǒng)在頻域的動態(tài)特性，決定了系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系。在零初始條件下，頻響函數(shù)是輸出與輸入的復(fù)數(shù)之比，即

（1）

式中，H（f）為頻響函數(shù)，f為頻率，Y_f（t）為響應(yīng)y（t）的傅立葉變換，X_t（t）為激勵x（t）的傅立葉變換。

對于收到平穩(wěn)隨機激勵的系統(tǒng)，激勵的功率譜密度S_x（f）已知，構(gòu)造如下的虛擬激勵：

（2）

由式子（1），可以得到在虛擬激勵下的虛擬響應(yīng)為：

（3）

由虛擬激勵得到虛擬響應(yīng)之后，可以由下列公式計算真實響應(yīng)的自功率譜密度、真實激勵與真實響應(yīng)的互功率譜密度：

（4）

（5）

（6）

2Abaqus算例

2.1基本思路

此方法將常規(guī)的隨機響應(yīng)分析轉(zhuǎn)化為了諧響應(yīng)分析，間接由SSD響應(yīng)結(jié)果轉(zhuǎn)化而來。求解的基本思路如下：

1）求取系統(tǒng)的頻響函數(shù)。采取Steady_State dynamics求解器，選用Dieret方法，該方法可以設(shè)置各材料的阻尼值。

2）通過頻響函數(shù)求取關(guān)心參數(shù)（如Mises應(yīng)力）的PSD響應(yīng)，參考公式如下！

（7）

其中，S_xx（ω）是輸入（激勵）的PSD函數(shù)，S_yy（ω）是輸出（響應(yīng)點）的PSD函數(shù)，H（ω）是結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)。

3）通過PSD響應(yīng)求關(guān)系參數(shù)在掃頻范圍內(nèi)的RMS值，對PSD響應(yīng)曲線進行積分（即求曲線下的面積）即可以得到RMS曲線。關(guān)心頻率上限對應(yīng)的值就是關(guān)心頻率內(nèi)的RMS值。

2.2算例

算例模型是尺寸為914.4mm*76.2mm*12.7mm的懸臂梁，密度為2.7793E-9T/mm³，彈性模量為68965MPa，柏松比為0.3，模型在毫米制單位下建立。為了計算的快速，網(wǎng)格數(shù)量為30*1*1，類型為C3D8I。一端完全約束，另一端自由。

諧響應(yīng)分析中材料阻尼定義為0.06，給模型添加X方向的單位加速度正弦激勵；隨機響應(yīng)分析中阻尼為整體的模態(tài)阻尼，大小為0.03，同樣將激勵添加到x方向，添加的加速度功率譜密度曲線定義如下：

*Psd-definition，name=Amp-1，g=9800.，type=BASE

0.0001，0.，1.

0.01，0.，4.

0.01，0.，100.

0.001，0v，200v

經(jīng)過分析，模型在1-200Hz內(nèi)的模態(tài)如表1所示。

讀取模型中編號為125、141的節(jié)點進行對比，圖2為常規(guī)隨機響應(yīng)分析結(jié)果，圖3為由SSD分析結(jié)果轉(zhuǎn)換而來的真實隨機響應(yīng)結(jié)果。在圖4中，將兩中方法得到的結(jié)果進行對比，在峰值附近兩種結(jié)果的誤差很小。圖5、圖6分別為兩點在X方向上的位移PSD響應(yīng)的對比，圖7～圖8為兩點的X方向位移分量RMS對比和Mises應(yīng)力的RMS對比。

3結(jié)論

經(jīng)過對比分析Abaqus自帶隨機響應(yīng)求解器計算結(jié)果和本文方法的結(jié)果，得出以下結(jié)論：

1）工程上常用各分量的RMS值進行評價。經(jīng)過對比兩個節(jié)點的Mises應(yīng)力的RMS值，以及X方向位移分量的RMS值，可以發(fā)現(xiàn)誤差很小，本文方法可信。

2）從圖2～圖10的對比圖可以看出，在響應(yīng)的各峰值附近，兩種方法結(jié)果的差異非常的小，但是峰值外的地方差別相對較大。一個原因是因為本文對比圖中采用了對數(shù)坐標，從圖中可以看出差異大的地方數(shù)量級非常小?；究梢院雎?；另一個原因是，本文方法在處理數(shù)據(jù)時采用的線性插值，而Abaqus自帶求解器則采用的對數(shù)插值。

3）在Abaqus中的隨機響應(yīng)分析步無法設(shè)置材料阻尼，只能使用模態(tài)阻尼，而本文方法使用的是直接法進行諧響應(yīng)分析，因此可以直接設(shè)置材料的阻尼。

[責任編輯：楊玉潔]