楊必成, 陳強(qiáng)

(1. 廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州510303； 2. 廣東第二師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 廣東 廣州510303)

一個(gè)半離散非齊次核的Hilbert型不等式

楊必成1, 陳強(qiáng)2

(1. 廣東第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 廣東 廣州510303； 2. 廣東第二師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)系, 廣東 廣州510303)

引入獨(dú)立參數(shù),應(yīng)用權(quán)函數(shù)的方法及實(shí)分析技巧,建立一個(gè)具有最佳常數(shù)因子的半離散非齊次核的Hilbert型不等式,還考慮了其具有最佳常數(shù)因子的等價(jià)形式.

Hilbert型不等式;參數(shù);權(quán)函數(shù);等價(jià)式;逆式

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):292-295

(1)

(2)

當(dāng)μi=νi=1(i∈N)時(shí),式(2)變?yōu)槭?1)(文獻(xiàn)[2]并沒(méi)有證明式(2)及確定常數(shù)因子的最佳性).

(3)

(4)

(5)

關(guān)于半離散Hilbert不等式的一些最新結(jié)果,可參閱文獻(xiàn)[8-11].

下文引入獨(dú)立參數(shù),應(yīng)用權(quán)函數(shù)法及實(shí)分析技巧,建立一個(gè)類似于式(5)的具有最佳常數(shù)因子的半離散非齊次核Hilbert型式,同時(shí)考慮其具有最佳常數(shù)因子的等價(jià)式.

(6)

(7)

則有以下不等式:ωα(σ,x)

(8)

(9)

對(duì)上式做變換：u=Uα(x)Vα(t),有

故式(8)成立.

故式(9)成立.證畢.

(10)

故式(10)成立.證畢.

(11)

(13)

證明 配方,并由帶權(quán)的H?lder不等式[12],有

(14)

由式(9)及Lebesgue逐項(xiàng)積分定理[13],有

(15)

再由式(8)，有式(12).配方并由H?lder不等式[12],有

(16)

故式(12)成立,且與式(11)等價(jià).

同理可證式(13)成立,且其與式(11)等價(jià).因而式(11)、(12)與式(13)齊等價(jià).證畢.

(17)

若用正常數(shù)K(≤kα(σ))取代式(11)的常數(shù)因子kα(σ)后，式(11)仍成立,則有

即有

kα(σ)≤K(ε→0+).

故K=kα(σ)為式(11)的最佳值.

式(12)的常數(shù)因子必是最佳值.不然,由式(16),必導(dǎo)出式(11)的常數(shù)因子亦非最佳值的矛盾.同理,由等價(jià)性,可證式(13)的常數(shù)因子為最佳值.證畢.

[1]HARDYGH.NoteonatheoremofHilbertconcerningseriesofpositiveterms[J]. Proceedings London Math Soc,1925,23(2):Records of Proc xlv-xlvi.

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[13] 匡繼昌.實(shí)變函數(shù)與泛函分析(續(xù)論)[M].北京:高等教育出版社,2015. KUANG J C. Real Functions and Functional Analysis (Continuous)[M]. Beijing: Higher Education Press,2015.

A half-discrete Hilbert-type inequality with a non-homogeneous kernel.

YANG Bicheng1，CHEN Qiang2

(1.DepartmentofMathematics,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China；2.DepartmentofComputerScience,GuangdongUniversityofEducation,Guangzhou510303,China)

By introducing independent parameters and applying the method of weight functions and technique of real analysis, a half-discrete Hilbert-type inequality with a non-homogeneous kernel and a best possible constant factor is provided. The equivalent forms with the best possible constant factors are considered.

Hilbert-type inequality; parameter; weight function; equivalent form; reverse

2015-03-22.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61370186,61640222)；廣東第二師范學(xué)院教授博士科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)項(xiàng)目(2015ARF25).

楊必成(1947-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0001-6830-7795，男,教授,主要從事可和性、算子理論及解析不等式研究,E-mail:bcyang@gdei.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.008

O 178

A

1008-9497(2017)03-292-04