林文賢

(韓山師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 廣東 潮州 521041)

一類具多滯量的廣義Emden-Fowler中立型阻尼微分方程的振動性

林文賢

(韓山師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院， 廣東 潮州 521041)

通過Riccati變換和Young不等式，獲得了具多滯量的廣義Emden-Fowler中立型阻尼泛函微分方程的振動準則，推廣和改進了最近文獻的結(jié)果.

廣義Emden-Fowler型微分方程；振動準則；阻尼項

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):270-273

0 引 言

Emden-Fowler方程因其具有廣泛的實際應用價值, 引發(fā)了眾多學者的研究興趣[1-8]．本文將討論一類具阻尼項和多滯量的廣義Emden-Fowler中立型泛函微分方程：

[r(t)φ(y′(t))]′+m(t)φ(y′(t))+

q0(t)|x(σ0(t))|α-1(x(σ0(t)))+

(1)

其中，y(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，φ(s)=|s|α-1s,α是常數(shù)，n(≥2)是一個偶數(shù)，且有下列條件成立：

(H1)p(t),q1(t),q2(t)∈C(I,[0,∞)),

I=[t0,∞), 0≤p(t)≤p<1;

(H2)βn>βn-2>…>β2>α>βn-1>βn-3>…>β1>0是常數(shù)；

(H3)r(t)∈C1(I,(0,∞)),

m(t)∈C(I,[0,∞)),r′(t)≥0,

當m(t)=q0(t)=0,n=2時，式(1)就是文獻[6]所討論的方程．本文的研究目的是要獲得方程(1)的一些振動性定理，使得文獻[6]的結(jié)果成為本文結(jié)論的特例，并推廣文獻[7-8]的相應結(jié)論．

1 主要結(jié)果及證明

引理1 設x(t)是方程(1)的最終正解，則存在t1≥t0，令y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)≤0,t≥t1.

證明 設x(t)是方程(1)的最終正解，由條件(H1)和(H4)，有[r(t)|y′(t)|α-1y′(t)]′+m(t)|y′(t)|α-1y′(t)≤0,

t≥t0.

于是

M<0,t≥t1.

注意到r′(t)>0，可得y″(t)≤0,t≥t1.

引理2 設x(t)是方程(1)的最終正解, 且存在某個i0∈{1,2,…,n}, 使得

(2)

證明 設x(t)是方程(1)的最終正解, 由引理1知y′(t)>0, 因此有x(t)>(1-p)y(t). 則由方程(1)得

[r(t)(y′(t))α]′+m(t)(y′(t))α+

(3)

定義函數(shù)

φ(t)=y(t)-ty′(t)，

則

φ′(t)=-ty″(t)>0,

故φ(t)單調(diào)增加且最終定號．現(xiàn)斷言φ(t)>0. 否則若φ(t)≤0，有

(4)

聯(lián)合式(3)和 (4), 得到

[r(t)(y′(t))α]′+m(t)(y′(t))α+

則有

[r(t)(y′(t))α]′+m(t)(y′(t))α≤

即

令t→∞, 與式(2)矛盾．因此φ(t)>0成立．證畢.

證明 設f(x)=lnx,因f″(x)<0，故當x>0時f(x)為嚴格凹函數(shù),所以有

即

引理3證畢.

引理4[9]設A>0,B>0,X≥0, 則

定理1 設存在某個i0∈{1,2,…,n}，使得式(2)成立, 且存在函數(shù)ρ(t)∈C1(I,(0,∞)),使得

(5)

其中,

σ(t)≤min{σ1(t),σ2(t),…,σn(t)}.

(6)

并且

(7)

則方程(1)是振動的．

證明 設x(t)是方程(1)的非振動解，不失一般性，可設x(t)>0,t≥t0.由引理1, 有y(t)>0,y′(t)>0,t≥t1.令

(8)

則

利用式(3)和(8), 有

(9)

其中，σ(t)≤min{σ1(t),σ2(t),…,σn(t)},且ki(i=1,2,…，n)由式(7)所定義.

(10)

(11)

聯(lián)合式(7)、(10)和(11), 得到

(12)

(13)

對式(13)積分可得

令t→∞, 注意到式(5), 有W(t)→-∞，這與W(t)>0矛盾. 因此, 方程(1)沒有最終正解. 故方程(1)是振動的. 定理1證畢.

推論1 設存在某個i0∈{1,2,…,n}，使得式(2)成立, 且

(14)

則方程(1)是振動的．

證明 只需在定理1中取ρ(t)=1.

(15)

其中，Q(t)由式(7)定義, 則方程(1)是振動的．

證明 如同定理1的證明,設x(t)是方程(1)的非振動解，不失一般性，設x(t)>0,x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0,x(σ2(t))>0,t≥t1,故有y(t)>0. 令W(t)的定義同式(8), 則W(t)>0,t≥t1,且式(13)成立. 由式(13)得

從而有

因此

則

上式與條件(15)矛盾. 定理2證畢.

(i)H(t,t)=0,t≥t0;H(t,s)>0,(t,s)∈D0;

(16)

(17)

其中，h(t,s)由式(16)定義，則方程(1)是振動的．

證明 設x(t)是方程(1)的非振動解，不妨設x(t)>0,x(τ(t))>0，x(σ1(t))>0,x(σ2(t))>0,t≥t1,故有y(t)>0. 令W(t)的定義同式(8), 則W(t)>0,t≥t1,且式(12)成立. 記

由引理4及A(s)的定義, 可得

W(t1),

與條件(17)矛盾. 定理3證畢.

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[9] HARDY G H，LITTERWOOD J E，POLYA G.Inequalities[M].2nd ed. Cambridge：Cambridge University Press，1952.

Oscillation for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple delays.

LIN Wenxian

(CollegeofMathematicsandStatistics,HanshanNormalUniversity,Chaozhou521041，GuangdongProvince,China)

Using Riccati transformation method and Young’s inequality, some new interval oscillatory criterion for generalized Emden-Fowler neutral functional differential equations with damping terms and multiple de1ays are obtained. The results generalize and improve some known results.

generalized Emden-Fowler functional differential equations; oscillation criteria; damping terms

2016-06-15.

廣東省高等教育教學改革項目(GDJG20142396)；廣東省高等學校特色創(chuàng)新項目(2014GXJK125)；廣東省自然科學基金資助項目(S2013010013372)．

林文賢(1966-)，ORCID：http://orcid.org/0000-0002-4984-6774，男，教授，主要從事泛函微分方程理論及其應用研究，E-mail:linwx66@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.004

O 175.13

A

1008-9497(2017)03-270-04