楊高飛，徐 睿，秦 鳴，鄭凱俐，張 兵(.華東交通大學 土木建筑學院，江西 南昌 33003； .重慶交通大學 交通運輸學院，重慶 400074)

基于ARMA和卡爾曼濾波的短時交通預測

楊高飛1，徐 睿1，秦 鳴1，鄭凱俐2，張 兵1
(1.華東交通大學 土木建筑學院，江西 南昌 330013； 2.重慶交通大學 交通運輸學院，重慶 400074)

交通預測是智能交通運輸系統(tǒng)研究中的一個重要組成部分.為了有效地獲取短時交通流量預測數(shù)據(jù),保障交叉口暢通，依據(jù)道路情況的不確定性以及交通流的非線性變化,應用ARMA模型及卡爾曼濾波模型通過預測結(jié)果誤差大小來組合預測路段短時交通流量.實例表明，組合模型預測結(jié)果達到較高的預測精度,預測誤差降低到了5.79%,并且比單一模型預測精度要高.通過該組合模型可以更準確地預測短時交通流量,同時也可以為交叉口信號配時提供必要的理論依據(jù)和技術指導,對減小交通延誤,提高道路服務水平有一定的應用價值.

智能交通；短時交通預測；ARMA；卡爾曼濾波；預測誤差

0 引言

道路交通流量分析在智能交通高速發(fā)展的今天顯得尤為重要.短時交通流量預測[1]是交通流分析中的重要組成部分，對減小交通延誤，提高道路服務水平有著非常重要的現(xiàn)實意義.短時交通流研究一直是圍繞如何提高預測精度來開展[2].短時交通流預測的方法主要有非參數(shù)回歸法[3]、灰色理論[4]、神經(jīng)網(wǎng)絡[5]、時間序列[6]、小波算法[7]、貝葉斯網(wǎng)絡模型[8]、卡爾曼濾波[9]，但是沒有一種絕對好的模型，而且單一模型預測的缺點也十分明顯.葛志鵬等[2]應用不同固定權重組合時間序列模型和GSVMR模型，通過對比選出比較好的權重方案；沈國江等[10]通過引入慣性因子來組合Kalman濾波模型和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡模型；邱世崇等[11]引入最小加權融合算法組合ARIMA模型和小波神經(jīng)網(wǎng)絡模型.曾慶山等[12]運用EMD和組合模型來進行短時交通組合.文獻[13]利用遺傳優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡方法進行非線性短期交通量預測.文獻[14]將線性回歸、滑動回歸和神經(jīng)網(wǎng)絡預測模型的預測效果進行對比，得出神經(jīng)網(wǎng)絡在應用貝葉斯方法的模型中預測效果比回歸模型更好的結(jié)論，但是遺傳算法處理規(guī)模小，難以處理非線性約束；神經(jīng)網(wǎng)絡模型收斂速度慢，對樣本依賴性較大；多元線性回歸模型忽略了交通流的非線性特點.為了避免這些缺點，筆者通過應用時間序列中的ARMA模型和卡爾曼濾波模型組合來預測，這樣既可以解決ARMA在復雜道路情況下預測精度不高的缺點，也可以彌補卡爾曼濾波預測無法適應交通流非線性變化的缺點，這一組合模型可以使兩種單一模型的優(yōu)缺點互補，提高預測精度.

1 ARMA模型預測

ARMA模型(auto regressive moving average model)是自回歸滑動平均模型，它是一種精確度較高的短時交通預測模型.

1.1 ARMA時間序列的定義

設{Xt,t=0,±1,±2,…}是零均值的平穩(wěn)序列，模型如下：

(1)

應用算子多項式φ(B),θ(B),式(1)可以寫成φ(B)Xt=θ(B)εt.

1.2 ARMA序列的相關特性

ARMA包括自相關函數(shù)、偏相關函數(shù)，這些特性對序列建模起著主要作用.模型的類別可以用拖尾性和截尾性來判斷.

1.3 ARMA時間序列的建模與預報

首先要判斷模型是AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型中的哪一種，并估計階數(shù)p、q，即模型的定階問題.緊接著就要對模型參故φ=(φ1,φ2,…,φp)T及θ=(θ1,θ2,…,θp)T進行計算并對模型進行檢驗.若這些檢驗可以通過，則ARMA的建模完成.

1.4 ARMA時間序列的預報

(2)

ARMA預測的主要步驟

(1)求交通量數(shù)據(jù)序列的自相關函數(shù)和偏相關函數(shù)；

(2)指定模型的結(jié)構(gòu)；

(3)估計模型中的參數(shù)；

(4)應對各種可能的p、q值計算其AIC，確定真階p和q；

(5)用χ2檢驗法對模型進行檢驗；

(6)計算預測值；

(7)計算平均誤差、平均絕對誤差.

2 卡爾曼模型預測

卡爾曼濾波模型是一種線性回歸模型，該模型通過輸入、輸出觀測數(shù)據(jù)，對系統(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估計.

如果被估計狀態(tài)Xk和對Xk的觀測值Zk滿足

(3)

系統(tǒng)過程噪聲Wk和觀測噪聲Vk滿足

(4)

(5)

(6)

估計誤差方差陣

Pk=[I-KkHk]Pk,k-1[I-KkHk]T+KkRkKkT=

[I-KkHk]Pk,k-1，

(7)

式中：α為n×n維非奇異狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣；β為n×p維系統(tǒng)過程噪聲輸入矩陣；Hk為m×n維觀測矩陣；Wk為p維隨機過程噪聲序列；Kk為k時刻的卡爾曼增益.

卡爾曼濾波預測的主要步驟

(1)均方差陣賦初值；

(2)狀態(tài)矩陣賦初值；

(3)記錄狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣；

(4)表示狀態(tài)矢量的估計值；

(5)得到模擬的實際狀態(tài)值；

(6)計算誤差、絕對平均誤差.

3 應用實例

筆者給定的數(shù)據(jù)是南昌市八一大橋某天24 h中每隔15min的交通量.

3.1 ARMA方法預測

利用Matlab軟件，畫出原始數(shù)據(jù)的自相關函數(shù)曲線圖、偏相關函數(shù)曲線如圖1、圖2所示.

圖1 自相關函數(shù)曲線圖

圖2 偏相關函數(shù)曲線圖

根據(jù)AIC準則確定p、q.當p=2,q=1時，AIC最小，為1 010.580 583，所以ARMA模型的最優(yōu)模型為ARMA(2，1).

實際流量、預測流量圖和誤差圖如圖3.通過計算得出ARMA模型預測八一大橋短時交通流量平均誤差為3.29%，平均絕對誤差為7.89%.

圖3 實際流量、預測流量及誤差圖

3.2 卡爾曼濾波方法預測

卡爾曼濾波方法所得預測流量、實際流量和誤差如圖4所示.通過計算得出卡爾曼濾波模型預測八一大橋短時交通流量平均誤差為3.68%，平均絕對誤差為8.71%.

圖4 實際流量、預測流量及誤差圖

4 模型組合

應用ARMA和卡爾曼濾波預測都會有一定的誤差，為減小預測誤差，可以將上述兩種方法預測結(jié)果中誤差小的結(jié)果組成一列數(shù)作為新的預測結(jié)果.

設ARMA預測結(jié)果為A1，A2，…，Ai-2，Ai-1(i≥4)，i為當前時刻，預測誤差分別為a1，a2，…，ai-2，ai-1；且設

同理設卡爾曼濾波預測結(jié)果為B1，B2，…，Bi-2，Bi-1(i≥4)，誤差分別為b1，b2，…，bi-2，bi-1(i≥4)；且設

則最后預測結(jié)果:

Si=λiAi+βiBi=λiAi+(1-λi)Bi，(i≥4).

預測結(jié)果如表1所示.

表1 原始數(shù)據(jù)及模型預測結(jié)果

續(xù)表1

通過計算可得八一大橋短時交通流量平均誤差為1.24%，平均絕對誤差為5.79%.

為驗證本方法研究成果優(yōu)于當前其他短時交通預測方法的研究成果，應用文獻[9]中的模糊卡爾曼濾波方法進行預測，筆者方法預測結(jié)果與文獻[9]方法預測結(jié)果如圖5所示.

圖5 預測流量、預測誤差對比圖

運用SPSS軟件對筆者方法和文獻[9]方法預測結(jié)果進行參數(shù)檢驗，可得顯著性sig.=0，可知筆者方法和文獻[9]方法的預測結(jié)果不符合近似正態(tài)分布.因此可運用SPSS軟件對預測結(jié)果進行非參數(shù)檢驗，然后根據(jù)輸出結(jié)果可知文獻[9]方法與筆者方法預測結(jié)果差異的中位數(shù)為0，顯著性sig.=0.001<0.05,故筆者方法比文獻[9]方法有顯著差異性. 同時筆者方法預測結(jié)果平均誤差為1.24%，平均絕對誤差為5.79%.文獻[9]中的模糊卡爾曼濾波方法預測結(jié)果平均誤差為1.83%，平均絕對誤差為7.57%.顯然筆者方法的預測效果要好于文獻[9].

5 結(jié)論

筆者通過ARMA和卡爾曼濾波方法來進行短時交通量預測，ARMA預測誤差為7.89%，卡爾曼濾波預測誤差為8.71%，為減小預測誤差建立組合模型Si=λiAi+βiAi，通過驗證該模型預測誤差為5.79%，提高了預測精度.

該模型可以更準確的預測短時交通流量，同時也可以為交叉口信號配時提供必要的依據(jù).對減小交通延誤，提高道路服務水平有重要的現(xiàn)實應用價值.

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Short-term Traffic Volume Forecasting Based on ARMA and Kalman Filter

YANG Gaofei1, XV Rui1, QIN Ming1, ZHENG Kaili2,ZHANG Bing1

(1.School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013，China；2.School of Traffic and Transportation, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400074, China)

The traffic prediction was an important component in the intelligent transportation system. The effective short-term traffic flow prediction was conducive to ensure the intersection unimpeded and reduce the traffic delay. According to the uncertainty of road conditions and the nonlinear change of traffic flow, the ARMA model and kalman filter mode was combined through the error magnitude of predicting results to predict the short-term traffic flow in the road. The example indicated that the combined model could achieve the higher prediction precision and made the prediction accuracy up to 5.79 percent. Besides, the combined model had an advantage over the single model in the forecasting accuracy. The combined model can not only predict the short-term traffic flow more accurately, but provided the necessary theoretical basis and technical guidance for the intersection signal timing. Besides, it had definitely application value in reducing the traffic delay and improving the road service level.

intelligent transportation; short-term traffic volume forecasting; ARMA; Kalman filter; prediction error----------------------------------------------------------------------------------------

2016-09-10；

2016-12-01

江西省青年科學基金計劃資助項目(20151BAB216024)；江西省交通運輸廳科技資助項目(2014R0011)

秦鳴(1956— )，女，河北唐山人，華東交通大學教授，碩士生導師，主要從事交通運輸規(guī)劃與管理、智能交通研究，E-mail:330937804@qq.com.

1671-6833(2017)02-0036-05

U491

A

10.13705/j.issn.1671-6833.2017.02.009