潘瑞，袁宏俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233000)

基于廣義ICOWA算子和最大-最小貼近度的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型

潘瑞，袁宏俊

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233000)

將最大-最小貼近度和廣義誘導(dǎo)連續(xù)有序加權(quán)平均算子結(jié)合，應(yīng)用于區(qū)間數(shù)的預(yù)測(cè)問題，建立了基于最大-最小貼近度的廣義ICOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型.同時(shí)提出了優(yōu)性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、非劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、冗余方法和冗余度等概念，并針對(duì)該模型建立了評(píng)價(jià)體系，最后通過實(shí)例分析，得出該區(qū)間組合預(yù)測(cè)是合理有效的.

最大-最小貼近度；廣義ICOWA算子；區(qū)間組合預(yù)測(cè)；評(píng)價(jià)體系

20 世紀(jì)60年代，Bates J.M.和Granger C.W.J.[1]首次創(chuàng)造性地提出了組合預(yù)測(cè)方法的理論和方法.這種方法綜合利用了多種預(yù)測(cè)方法提供的信息，取得的預(yù)測(cè)結(jié)果比各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法更為接近現(xiàn)實(shí)狀況，即有更高的預(yù)測(cè)精度，同時(shí)也能提高預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性.國內(nèi)外的很多學(xué)者都比較熱衷這種方法的研究與應(yīng)用，并取得了大量的研究成果.在組合預(yù)測(cè)領(lǐng)域的發(fā)展前期，學(xué)者們主要集中于對(duì)點(diǎn)的預(yù)測(cè)，即實(shí)際值和預(yù)測(cè)值只涉及一個(gè)數(shù)值；而現(xiàn)實(shí)生活中對(duì)某個(gè)指標(biāo)的描述常常涉及到一個(gè)區(qū)間范圍，因此區(qū)間組合預(yù)測(cè)的概念應(yīng)運(yùn)而生.目前的組合預(yù)測(cè)模型大多是以誤差指標(biāo)和相關(guān)性指標(biāo)為最優(yōu)化準(zhǔn)則，常見的相關(guān)性指標(biāo)一般包括相關(guān)系數(shù)、Theil不等系數(shù)、向量夾角余弦和灰色關(guān)聯(lián)度.貼近度是近期出現(xiàn)的一種相關(guān)指標(biāo).汪新凡和楊小娟[2]討論了聯(lián)系數(shù)貼近度的定義和性質(zhì)，然后基于逼近理想解的排序方法( TOPSIS)，將聯(lián)系數(shù)貼近度應(yīng)用于由區(qū)間數(shù)決策矩陣轉(zhuǎn)化的聯(lián)系數(shù)決策矩陣，提出了一種嶄新的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法.楊春玲等[3]提出區(qū)間數(shù)貼近度的概念并討論了它的相關(guān)性質(zhì)，然后基于這種貼近度構(gòu)建一種新的不確定多屬性決策模型.袁宏俊和楊桂元[4]引進(jìn)最大—最小貼近度，建立了基于該相關(guān)指標(biāo)的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型，并且通過實(shí)例分析，表明該方法的合理有效性.組合預(yù)測(cè)模型中應(yīng)用的算子也有很多種，Yager[5～6]提出了誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子(IOWA算子)和連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均算子(COWA算子)，金飛飛[7]將這兩種算子相結(jié)合，提出了誘導(dǎo)連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)平均算子(ICOWA算子)，建立了基于ICOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型.

在對(duì)ICOWA算子進(jìn)行研究后，本文將ICOWA算子拓展為廣義的ICOWA算子，并與最大-最小貼近度相結(jié)合運(yùn)用到區(qū)間數(shù)的組合預(yù)測(cè)上，提出了基于最大-最小貼近度的廣義ICOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型.為更好地評(píng)價(jià)該種模型對(duì)實(shí)際情況的預(yù)測(cè)效果，建立了相應(yīng)的評(píng)價(jià)體系，提出優(yōu)性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、非劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、冗余方法和冗余度等概念，并且通過實(shí)例分析，得出該種模型是合理有效的.

1 基本概念

定義2[5～6]：設(shè)[a,b]為區(qū)間數(shù)，令

(1)

則稱fρ為連續(xù)區(qū)間上的OWA算子，簡稱COWA算子.式中ρ(y)為基本的單位區(qū)間單調(diào)(BUM)函數(shù)，滿足以下三個(gè)條件：ρ(0)=0；ρ(1)=1；若x>y，則ρ(x)≥ρ(y).

fρ([a,b])=μb+(1-μ)a

(2)

定義3[7]：令

(3)

則稱εit是在第t時(shí)刻第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法基于COWA算子的區(qū)間預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差.

令

(4)

則稱ait為在第t時(shí)刻第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法基于COWA算子的區(qū)間預(yù)測(cè)精度.顯然，ait∈[0,1].

定義4[7]：在組合預(yù)測(cè)中，基于COWA算子的區(qū)間預(yù)測(cè)精度ait可以作為單項(xiàng)預(yù)測(cè)值xit的誘導(dǎo)變量.此時(shí)，m種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻基于COWA算子的預(yù)測(cè)精度和對(duì)應(yīng)的區(qū)間預(yù)測(cè)值構(gòu)成了m個(gè)二維數(shù)組，,…，.將a1t，a2t，…，amt按從大到小的順序排列.記a-index(it)是a1t，a2t，…，amt中第i大的誘導(dǎo)變量的下標(biāo).

稱

(5)

該算子可以視為COWA算子和IOWA算子的結(jié)合，先通過COWA算子將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，再通過IOWA算子將轉(zhuǎn)化后的實(shí)數(shù)進(jìn)行集成.

定義5：Rm→R為m元函數(shù)，稱

(6)

定義6[4]： 設(shè)A,B,C∈R(X)且映射Γ:R(X)×R(X)→[0,1]滿足下列條件：

(1)Γ(A,B)=Γ(B,A)；

(2)Γ(A,A)=1，Γ(A,Φ)=0；

(3)0≤Γ(A,B)≤1；

(4)若對(duì)于?x∈X，A(x)≤B(x)≤C(x)，有Γ(A,C)≤Γ(A,B)且Γ(A,C)≤Γ(B,C).

則稱Γ為R(X)上的貼近度函數(shù)，而Γ(A,B)表示A與B的貼近度.

定義7[4]：當(dāng)有向量X=(x1，x2，…，xt)，A,B∈R(X)，可定義最大—最小貼近度Γ：

(7)

式中：∨、∧分別表示取大、取小運(yùn)算.

定義8：令yt=COWA(xt)，yit=COWA(xit)，ya-index(it)=COWA(xa-index(it))，

為區(qū)間實(shí)際值序列與組合預(yù)測(cè)方法下的基于廣義ICOWA算子的預(yù)測(cè)值序列λ次冪之間的最大—最小貼近度.

貼近度越大，說明兩個(gè)變量之間的關(guān)系越接近.若以最大—最小貼近度作為衡量預(yù)測(cè)方法有效性的準(zhǔn)則時(shí)，我們自然希望這個(gè)數(shù)值越大越好.當(dāng)貼近度趨近于1時(shí)，這就說明預(yù)測(cè)的結(jié)果更為合理有效.

(8)

2 基于廣義ICOWA算子的預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建

以最大—最小貼近度為最優(yōu)準(zhǔn)則的基于廣義ICOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型如(9)所示：

(9)

定義11[4]：若某種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在組合預(yù)測(cè)模型中最優(yōu)的權(quán)重系數(shù)中為零, 則稱該單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法為冗余預(yù)測(cè)方法.也就是說，若某種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法被納入組合預(yù)測(cè)模型時(shí)，不能增加該模型的最大—最小貼近度，表明該種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法只提供冗余信息，不能提高預(yù)測(cè)的有效性.

3 實(shí)際應(yīng)用

為檢驗(yàn)提出的以最大-最小貼近度為最優(yōu)準(zhǔn)則的基于廣義ICOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型的有效性，下面進(jìn)行實(shí)例分析.為檢驗(yàn)預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確程度，建立包含預(yù)測(cè)誤差平方和(SSE)、均方誤差(MSE)、均方百分比誤差(MSPE)、平均絕對(duì)誤差(MAE)和平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)等指標(biāo)的預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)體系來比較不同方法下預(yù)測(cè)誤差的大小.相應(yīng)的計(jì)算公式如(10)所示：

(10)

所采取的數(shù)據(jù)來源于參考文獻(xiàn)[8].實(shí)際區(qū)間數(shù)xt和三組單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法下預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)x1t、x2t、x3t見表1.

表1 實(shí)際區(qū)間數(shù)和三組單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法下預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)

令BUM函數(shù)ρ(y)=y，則態(tài)度參數(shù)μ=0.5.說明此時(shí)決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度是中性的.在這種風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度下，表1中不確定的區(qū)間數(shù)經(jīng)由COWA算子轉(zhuǎn)化為確定的實(shí)數(shù)，并計(jì)算出相應(yīng)的預(yù)測(cè)精度ait，見表2.

表2 μ=0.5時(shí)各項(xiàng)區(qū)間數(shù)經(jīng)COWA算子轉(zhuǎn)化的實(shí)數(shù)值和相應(yīng)的預(yù)測(cè)精度

由ait作為誘導(dǎo)值產(chǎn)生新的實(shí)數(shù)序列COWA(xa-index(it))，列于表3中,見表3.

表3 由ait作為誘導(dǎo)值產(chǎn)生的實(shí)數(shù)序列COWA(xa-index(it))

對(duì)于t=1時(shí)，a1t=a3t，說明第1種和第3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第1時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度相同.對(duì)于每一個(gè)時(shí)刻，預(yù)測(cè)精度最高的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法賦予權(quán)重w1，預(yù)測(cè)精度較高的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法賦予權(quán)重w2，預(yù)測(cè)精度最低的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法賦予權(quán)重w3.

將以上求得的數(shù)據(jù)代入本文提出的基于最大-最小貼近度的廣義ICOWA算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型，λ分別取值-1、1、5和趨近于0，通過MATLAB軟件求得該模型的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)W=(w1，w2，w3)，見表4.

表4 不同λ值下的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)

從中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ=-1時(shí)，權(quán)重系數(shù)w3取值為0，說明在每個(gè)時(shí)刻預(yù)測(cè)精度最差的某種預(yù)測(cè)結(jié)果在組合預(yù)測(cè)中提供的是冗余信息.

將預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)體系中的五種誤差指標(biāo)應(yīng)用于三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法和本文提出的不同λ值下的區(qū)間組合預(yù)測(cè)方法，可以得到表5的誤差序列數(shù)據(jù)，見表5.同時(shí)將不同方法下的最優(yōu)貼近度位于最后一列，作為評(píng)價(jià)本文提出的組合預(yù)測(cè)模型是否為優(yōu)性組合預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn).

表5 各種區(qū)間預(yù)測(cè)方法下的各項(xiàng)誤差和最大-最小貼近度

同時(shí)運(yùn)用MATLAB軟件編程，對(duì)本文提出的組合預(yù)測(cè)模型中λ值進(jìn)行靈敏度分析，分別得到最大-最小貼近度和五類誤差指標(biāo)隨λ值的變化而變化的趨勢(shì)圖，如圖1與圖2所示.其中λ值的取值范圍為[-5,5].

圖1 最大-最小貼近度Γ的趨勢(shì)變化圖

圖2 五類誤差指標(biāo)的趨勢(shì)變化圖

由圖1可知，隨著λ值的變化，最大-最小貼近度呈現(xiàn)出先逐漸上升至極值點(diǎn)再逐漸下降的趨勢(shì)，變化范圍為(0.95,1)，并且在λ→0時(shí)取得極大值.由圖2可知，五類誤差指標(biāo)的變化趨勢(shì)較為波折，有一定的相似性.它們?cè)讦?-1時(shí)均出現(xiàn)一個(gè)較大幅度的下降，在區(qū)間(3,4)內(nèi)都出現(xiàn)一個(gè)較大幅度的上漲.對(duì)于SSE來說，曲線的變動(dòng)幅度較大，在[-5,-3]和[3,5]時(shí)處于上升階段，不過取值始終低于0.3.而不管λ值如何變化，MAE和MSE的取值始終低于0.15和0.1；MAPE和MSPE的取值范圍均小于0.05，變化趨勢(shì)不明顯.

當(dāng)λ=1時(shí)，廣義ICOWA算子就是常見的ICOWA算子；當(dāng)λ=-1時(shí)，廣義ICOWA算子轉(zhuǎn)化成誘導(dǎo)連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)調(diào)和平均算子，簡稱ICOWHA算子；當(dāng)λ→0時(shí)，廣義ICOWA算子轉(zhuǎn)化成誘導(dǎo)連續(xù)區(qū)間有序加權(quán)幾何平均算子，簡稱ICOWGA算子.從表5和圖1、圖2可以看出，無論是基于ICOWA算子、ICOWGA算子、ICOWHA算子或者其他的變化形式(比如λ=5)，以最大—最小貼近度為最優(yōu)準(zhǔn)則的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型的各項(xiàng)預(yù)測(cè)誤差均遠(yuǎn)低于三種單項(xiàng)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差，這表明本文提出的區(qū)間組合預(yù)測(cè)模型能夠有效提高預(yù)測(cè)精度.同時(shí)最大-最小貼近度Γ卻都高于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的貼近度，說明最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型是優(yōu)性組合預(yù)測(cè).因而該種模型是一種新的有效的區(qū)間組合預(yù)測(cè)方法.

4 結(jié)束語

本文首先通過COWA算子將區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為確定的實(shí)數(shù)，再與IOWA算子結(jié)合并加以擴(kuò)展，提出了廣義ICOWA算子.其次引入貼近度的概念并經(jīng)過取大取小運(yùn)算，得到最大-最小貼近度的定義.建立以最大-最小貼近度為最優(yōu)準(zhǔn)則的廣義ICOWA算子的組合預(yù)測(cè)模型，給出優(yōu)性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、非劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè)、冗余方法和冗余度等概念，并針對(duì)該模型建立了評(píng)價(jià)體系，最后通過實(shí)例分析，該模型能有效提高結(jié)果的預(yù)測(cè)精度，是一種合理有效的區(qū)間組合預(yù)測(cè)方法.

[1]BatesJ-M,GrangerCWJ.Thecombinationofforecasts[J].JournaloftheOperationalResearchSociety, 1969, 20(4): 451-468. [2]汪新凡, 楊小娟. 基于聯(lián)系數(shù)貼近度的區(qū)間數(shù)多屬性決策方法[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2008, 38(3):16-22.

[3]楊春玲, 張傳芳, 許文翠. 基于區(qū)間數(shù)貼近度的不確定多屬性決策模型[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2010, 40(21):148-154.

[4]袁宏俊, 楊桂元. 基于最大-最小貼近度的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型[J]. 運(yùn)籌與管理, 2010, 19(2):116-122.

[5]YagerRR.OWAaggregationoveracontinuousintervalargumentwithapplicationstodecisionmaking[J].IEEETransactionsonSystems,Man,andCybernetics,PartB(Cybernetics), 2004, 34(5):1952-1963. [6]YagerRR.GeneralizedOWAaggregationoperators[J].FuzzyOptimizationandDecisionMaking, 2004, 3(1):93-107.

[7]金飛飛, 李捷, 陳華友, 等. 基于連續(xù)有序加權(quán)平均算子的區(qū)間組合預(yù)測(cè)[J]. 武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào): 信息與管理工程版, 2013, 35(5):668-672.

[8]徐惠莉, 吳柏林, 江韶珊. 區(qū)間時(shí)間序列預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度探討[J]. 數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究, 2008, 25(1):133-140.

The Interval Combined Forecasting Model Based on Generalized ICOWA Operator and Maximum-minimum Approximation

PAN Rui, YUAN Hong-jun

(Institute of Statistics and Applied Mathematics, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu Anhui 233000, China)

In this paper, the maximum-minimum approximation and the generalized ICOWA operator are combined to predict the interval number and establish a new interval combined forecasting model. At the same time, this paper proposes the concepts of optimal interval combined forecasting, non-inferior interval combined forecasting, inferior interval combined forecasting, redundant method and redundancy rate, and then establishes an evaluation system on the model. Finally, with an example calculation, the paper concludes the interval combined forecasting is reasonable and effective.

maximum-minimum approximation; generalized ICOWA operator; interval combined forecasting; evaluation system

1673-2103(2017)02-0012-07

2017-03-26

國家社科基金青年項(xiàng)目(13CTJ006)；安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(ACYC2015096)

潘瑞(1993-)，女，安徽安慶人，在讀碩士研究生，研究方向：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì).

袁宏俊(1978-)，男，安徽廬江人，副教授，碩士，碩士生導(dǎo)師，研究方向：預(yù)測(cè)與決策分析.

O212.1

A