周麗麗

(晉中學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030600)

交換環(huán)上上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的李三次導(dǎo)子

周麗麗

(晉中學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030600)

為進(jìn)一步研究導(dǎo)子，給出了李三次導(dǎo)子的概念，并利用其在矩陣基上的作用, 將含有單位元的交換環(huán)上上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的任意一個(gè)李三次導(dǎo)子分解為內(nèi)三次導(dǎo)子、中心三次導(dǎo)子之和, 推廣了導(dǎo)子的概念.

上三角矩陣?yán)畲鷶?shù); 導(dǎo)子; 李三次導(dǎo)子; 交換環(huán)

引言

設(shè)R為含單位元的交換環(huán),L為R上的李代數(shù). 對(duì)任意的X,Y∈L，若存在一個(gè)映射φ：L→L,有φ([X,Y])=[φ(X),Y]+[X,φ(Y)], 則稱φ為L上的一個(gè)導(dǎo)子.

導(dǎo)子在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究中,發(fā)揮了不可缺少的作用.例如在20世紀(jì)40年代，Picard和Vessiot就是利用導(dǎo)子這個(gè)工具發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的Galois理論可以轉(zhuǎn)化為通常的線性微分方程的理論.近幾十年來，關(guān)于導(dǎo)子及導(dǎo)子推廣的課題不斷提出，大量的結(jié)論不斷涌現(xiàn),參看文獻(xiàn)[2]～[11].本文給出了李代數(shù)上李三次導(dǎo)子的概念，它是導(dǎo)子概念的另一種推廣，并進(jìn)而決定了含有單位元的交換環(huán)上上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的所有李三次導(dǎo)子的具體形式.

1 基本概念和主要定理

設(shè)R是含有單位元的交換環(huán),L是R上的李代數(shù),φ:L→L是一個(gè)映射,且對(duì)任意的X,Y,Z∈L, 有

φ([[X,Y],Z])=[[φ(X),Y],Z]+[[X,φ(Y)],Z]+[[X,Y],φ(Z)]

則稱φ為L上的李三次導(dǎo)子.

從而易見, 當(dāng)φ是L上的導(dǎo)子時(shí), 它必定是L上的李三次導(dǎo)子，故李三次導(dǎo)子概念是導(dǎo)子概念的一種推廣.但是反過來, 卻不一定成立.以下例子說明了這點(diǎn).

例 1 設(shè)Nn(R)為含幺環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣組成的李代數(shù)，

可以驗(yàn)證這是Nn(R)的一個(gè)李三次導(dǎo)子，但它不是導(dǎo)子.

設(shè)N1=N,N2=[N,N1],N3=[N,N2],…則它們?yōu)镹的降中心鏈, 且每一Nk都為Tn(R)的理想.

對(duì)大于1的正整數(shù)n, 設(shè)1≤k≤n-1, 則存在兩個(gè)非負(fù)整數(shù)q、r，且r≤k-1，使得n=kq+r, 令Dk=Diag(Ek,2Ek,…,qEk,(q+1)Er)∈Dn(R),k=1,2,…,n-1.式中Ek為k×k單位矩陣.如果r=0，則令Dk=Diag(Ek,2Ek,…,qEk).

現(xiàn)在構(gòu)造Tn(R)的幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的李三導(dǎo)次子.

1) 內(nèi)三次導(dǎo)子

對(duì)任意的X∈Tn(R),那么映射adX:Tn(R)→Tn(R),Y[X,Y]是由X誘導(dǎo)的Tn(R)的一個(gè)導(dǎo)子, 稱它為內(nèi)三次導(dǎo)子.

2) 中心三次導(dǎo)子

φ(D+X)=(D)E,?D∈Dn(R),X∈Nn(R)

可以證得φ是Tn(R)上的一個(gè)李三次導(dǎo)子, 稱其為由誘導(dǎo)的中心三次導(dǎo)子.

主要定理：

定理1 設(shè)R是含有單位元的交換環(huán)，Tn(R)為其上的n階上三角矩陣組成的李代數(shù).若映射φ:

Tn(R)→Tn(R)為Tn(R)上的李三次導(dǎo)子，則φ=adT+φ，其中adT為內(nèi)三次導(dǎo)子,φ為中心三次導(dǎo)子.

2 主要定理的證明

下面分三步來證明定理1.

第一步: 設(shè)φ為Tn(R)上的李三次導(dǎo)子, 對(duì)任一個(gè)對(duì)角矩陣H∈Dn(R), 存在上三角矩陣T∈Tn(R),有(φ-adT)(H)∈Dn(R).

對(duì)任意的H∈Dn(R), 假設(shè)

因[D1,[D1,H]]=0,用φ作用于兩端，可得：

[φ(D1)，[D1,H]]+[D1,[φ(D1),H]]+[D1,[D1,φ(H)]]=0

由于[φ(D1),[D1,H]]=0，進(jìn)而有[D1,[H,φ(D1)]]=[D1,[D1,φ(H)]],因此

比較等式兩端,對(duì)任意的1≤i

(i(H)-j(H))aij(D1)=(i(D1)-j(D1))aij(H)

取j=i+1,有：(i(H)-i+1(H))ai,i+1(D1)=(i(D1)-i+1(D1))ai,i+1(H).

ai,i+1(H)=(i+1(H)-i(H))ai,i+1(D1),i=1,2,…,n-1

φ(H)∈Dn(R)+N2.若n=2, 則定理的證明已完成; 若n>2,對(duì)任意的H∈Dn(R),可設(shè)

由[D2,[D2,H]]=0, 可得：

[φ(D2),[D2,H]]+[D2,[φ(D2),H]]+[D2,[D2,φ(H)]]=0

由于[φ(D2),[D2,H]]=0,進(jìn)而有[D2,[H,φ[D2]]=[D2,[D2,φ(H)]]

因此可得：

比較等式兩端,對(duì)任意的1≤i

(i(H)-j+1(H))bi,j+1(D2)=(i(D2)-j+1(D2))bi,j+1(H),

取j=i+1,有

(i(H)-i+2(H))bi,i+2(D2)=(i(D2)-i+2(D2))bi,i+2(H).

bi,i+2(H)=(i+2(H)-i(H))bi, i+2(D2),i=1,2,…,n-2

φ(H)∈Dn(R)+N3，若n=3,定理的證明已完成.

若n>3,重復(fù)上述步驟,經(jīng)過n-2步,可設(shè)φ(H)∈Dn(R)+Nn-1.對(duì)任意的H∈Dn(R), 設(shè)：

φ(H)≡C1,n(H)E1,n(mod(Dn(R)),C1,n(H)∈R

同理由[Dn-1,[Dn-1,H]]=0, 可得：

[φ(Dn-1),[Dn-1,H]]+[Dn-1,[φ(Dn-1),H]]+[Dn-1,[Dn-1,φ(H)]]=0

由于[φ(Dn-1),[Dn-1,H]]=0,進(jìn)而有[Dn-1,[H,φ[Dn-1]]=[Dn-1,[Dn-1,φ(H)]]，

因此可得:

(1(H)-n(H))(1(Dn-1)-n(Dn-1))c1,n(Dn-1)=

(1(Dn-1)-n(Dn-1))(1(Dn-1)-n(Dn-1))c1,n(H)

取Tn=c1,n(Dn-1)E1,n.則(φ-adTn)(H)∈Dn(R). 記T=T1+T2+…+Tn,則(φ-adT)(H)∈Dn(R). 記φ1=φ-adT, 則φ1(H)∈Dn(R).

第二步： 對(duì)任意的H∈Dn(R), 若φ1(H)∈Dn(R), 則存在H0∈Dn(R), 對(duì)任意的1≤i

對(duì)任意的1≤i

取D∈Dn(R), 使得i(D)-j(D)=0, 則有：

氣象站位于甘肅酒泉市金塔縣境內(nèi)，地處東經(jīng)98°30'00"，北緯 40°19'58.8"，北靠黑山，地處戈壁，地勢(shì)平坦，場(chǎng)地開闊。金塔縣位于甘肅省河西走廊中段北部邊緣，東、北與內(nèi)蒙古額濟(jì)納旗毗連，西面與甘肅嘉峪關(guān)、玉門、肅北接壤，南與酒泉市和張掖地區(qū)的高臺(tái)縣為鄰。

[D,[D,Eij]]=(i(D)-j(D))(i(D)-j(D))Eij=0

用φ1作用等式兩端可得：

[φ1(D),[D,Eij]+[D,[φ1(D),Eij]]+[D,[D,φ1(Eij)]]=0

進(jìn)一步可得：

(φ1-adH0)(Ei,i+1)=0. 記φ2=φ1-adH0. 則有：

φ2(Ei,i+1)=0,i=1,2,…,n-1

φ2(Eij)=bijEij,j=i+2,…,n

對(duì)任意的H∈Dn(R)，有[H,[H,Ei,i+1]]=(i(H)-i+1(H))2Ei,i+1,用φ2作用于兩端可得：

2(i(H)-i+1(H))(i(φ2(H))-i+1(φ2(H)))Ei,i+1=0

由于H的任意性,故i(φ2(H))-i+1(φ2(H))=0,所以φ2(H)=rHE,rH∈R.

當(dāng)n≥3時(shí),由[[Ei,i+1,Ei+1,i+2],H]=(i+2(H)-i(H))Ei,i+2，用φ2作用于兩端可得φ2(Ei,i+2)=0.

當(dāng)1≤k

φ2(Ekl)=0.

故對(duì)任意1≤i

第三步:對(duì)任意的H∈Dn(R)，存在φ，使得(φ2-φ)(H)=0.

由第二步知,?H∈Dn(R),φ2(H)=rHE.取=rH,則(H)=rH.故存在φ,使得

(φ2-φ)(H)=0,記φ3=φ2-φ.

綜上,對(duì)任意的1≤i≤j≤n,有φ3(Eij)=0.從而φ3=0.故φ=adT+φ.

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Lie Triple Derivations of the Lie Algebra of Upper Triangular Matrice over Commutative Rings

ZHOU Li-li

(Department of Mathematics, Jinzhong University, Jinzhong Shanxi 030600, China)

For the further study of derivations, the paper gives the concept of Li triple derivations and uses its effect in the matrix basis to decompose any triple derivation of Lie algebras of triangular matrices over commutative rings with unit elements into the sum of three inner derivations and the central three derivations, which generalizes the concept of derivations.

Lie algebra of upper triangular matrices; derivations; Lie triple derivation; commutative rings

1673-2103(2017)02-0001-04

2016-11-20

周麗麗(1985-)，女，山東菏澤人，助教，碩士，研究方向：代數(shù)及應(yīng)用.

O152.5

A