丁丹華　邱國(guó)民

摘 要 微元法是高中物理教學(xué)中經(jīng)常用到的一種方法，因此，教師在物理學(xué)科教學(xué)中滲透微積分的思想，有助于學(xué)生理解高中物理的很多知識(shí)，它能大幅提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，更好地把握物理的本源。

關(guān)鍵詞 高中物理 微積分 科學(xué)素養(yǎng)

微積分是現(xiàn)代物理的基石，自牛頓和萊布尼茨以來(lái)，根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出微積分的基本定理后，物理學(xué)有了長(zhǎng)足的進(jìn)步，一系列重大發(fā)現(xiàn)基本上都或多或少建立在微積分這塊基石上。微元法是高中物理教學(xué)中經(jīng)常用到的一種方法，因此，很多優(yōu)質(zhì)高中將微積分作為選修課列入課程體系，供學(xué)習(xí)潛力較大的學(xué)生選擇，這既對(duì)學(xué)生更好地理解高中物理規(guī)律很有幫助，也對(duì)學(xué)生將來(lái)步入大學(xué)理工科打了基礎(chǔ)。

1問(wèn)題引入：加速度、速度與位移間的關(guān)系

一般來(lái)說(shuō)，中學(xué)生第一次接觸到微積分是在運(yùn)動(dòng)學(xué)的時(shí)候，老師會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生仔細(xì)分辨v-t、a-t、s-t圖像的區(qū)別。如圖1-1，v-t圖象，對(duì)于一個(gè)速度在不斷變化的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，會(huì)將這個(gè)過(guò)程肢解成無(wú)數(shù)多個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)疊加的成果，在某個(gè)小dt內(nèi)當(dāng)作勻速運(yùn)動(dòng)，求出圖中所有小矩形的面積，也就是t=t0與t軸和圖象包圍的面積，作為位移。這是潛意識(shí)中第一次接觸積分時(shí)的景象。而將每個(gè)dt內(nèi)變化的dv連成一個(gè)的函數(shù)，我們也就得到了斜率的微分意義。

所以，小小的速度片斷通過(guò)時(shí)間的積累便成了位移：ds=v€I6dt

同理：小小的加速度片斷也可由時(shí)間的積累便成了速度：dv=a€I6dt

因此便得出了最簡(jiǎn)單且最偉大的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分公式： =v和=a 。

它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)學(xué)上和諧統(tǒng)一，通過(guò)解微分方程，可以幾乎勝任一切涉及到牛二定律的問(wèn)題。接下來(lái)，我們把它們進(jìn)行推廣應(yīng)用到研究物體運(yùn)動(dòng)的情景，通常將之視為理想情況，而實(shí)際上還有空氣阻力。

2更進(jìn)一步：探索變力做功

微積分在物理中最偉大的貢獻(xiàn)是提供了優(yōu)良的解題方法。

由以上的分析，對(duì)于變力做的功可以表示為

如圖2-1中，點(diǎn)電荷A（+q電量）位于r軸的原點(diǎn)O處，如有一個(gè)單位正電荷B從離O相距為a處移動(dòng)到b處，求電場(chǎng)力做的功。

解析：取r為積分，在[a，b]區(qū)間內(nèi)取一小區(qū)間：

[r，r+dr]，當(dāng)單位電荷從r移動(dòng)到r+dr時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)它作功近似于dr

因此有dw=dr

兩邊積分

w=dr=kq（）

由此可見(jiàn)微積分在解決功能問(wèn)題上是十分強(qiáng)有力的工具，值得仔細(xì)研究。

3 上善若水：由簡(jiǎn)單流體壓強(qiáng)問(wèn)題的拓展

有時(shí)候合理選取積分變量會(huì)有意想不到的效果。

如圖3-1，將一半球形的半徑為r的物體浸在水深為h的水中，求水對(duì)這個(gè)物體的總壓力。

如果以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系以x或y為積分變量就太麻煩了。我們尋求一種簡(jiǎn)單易行的方法：以€%a作為積分變量。

因?yàn)槭蔷鶆虬肭蝮w，所以水壓方向指向球心O，因此需要

分解到豎直方向

同樣的理論也可以推廣到電場(chǎng)中，如圖3-2，均勻帶電的電密度為€%l的半球體對(duì)球心處一帶+q電荷的力是多少？解法與上例類(lèi)似，讀者可以自己試著推導(dǎo)（F=）。

通過(guò)上面幾則實(shí)例我們可以深切地體會(huì)到微積分的強(qiáng)大力量，“掌握數(shù)學(xué)工具解決物理問(wèn)題的能力”是高考“考綱”重要要求之一。微積分是現(xiàn)代物理的基石，高中物理教材中涉及變量問(wèn)題的處理思想都是建立在微積分這塊基石上，因此，高中物理教學(xué)滲透微積分思想很有必要。

參考文獻(xiàn)

[1] 沈晨.更高更妙的物理[M].浙江大學(xué)出版社，2012.

[2] 周大同.高中物理競(jìng)賽輔導(dǎo)講義[M].浙江大學(xué)出版社，2013.