莫秋慧，李麗霞

1 引言

Gr?bner-Shirshov基理論是上個世紀(jì)60到70年代發(fā)展起來的一個嶄新的代數(shù)學(xué)分支.目前它在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，特別是在李代數(shù)，結(jié)合代數(shù)，群論，半群理論，計(jì)算代數(shù)和機(jī)器證明等方面都有廣泛的應(yīng)用.20世紀(jì)60年代初，俄羅斯數(shù)學(xué)家Shirshov［11］首先提出非交換非結(jié)合代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基方法.這可以看成是Gr?bner-Shirshov基理論時代的開始.后來，奧地利數(shù)學(xué)家Buchberger［1，2］用本質(zhì)上一樣的方法討論了交換代數(shù)的情形并將此方法命名為Gr?bner基［10］（因?yàn)镚r?bner是Buchberger的導(dǎo)師）.1969年，日本數(shù)學(xué)家Fields獎得主Hironaka［6］發(fā)表了關(guān)于交換代數(shù)的類似但不盡相同的方法-標(biāo)準(zhǔn)基.Bokut于1976年將Shirshov的方法應(yīng)用到結(jié)合代數(shù).此后，這種理論在代數(shù)和計(jì)算代數(shù)領(lǐng)域受到廣泛的應(yīng)用并稱為Gr?bner基，Gr?bner-Shirshov基或標(biāo)準(zhǔn)基.Bokut，陳裕群，劉木蘭，李會師，劉金旺，周夢，阿布都等建立了半環(huán)，Rota-Baxter代數(shù)等代數(shù)系統(tǒng)的Groebner-Shirshov基理論，并利用該理論得到一些有意義的結(jié)果［3，4，5，8，9］.

本文主要介紹了結(jié)合代數(shù)上Gr?bner-Shirshov基理論，并找到了四元數(shù)群的一個Gr?bner-Shirshov基，從而得到四元數(shù)群的一組正規(guī)型.本文中，我們采用Gr?bner-Shirshov基這一稱呼，簡稱為GSB.

2 結(jié)合代數(shù)的Gr?bner-Shirshov基理論

在本節(jié)中，我們將介紹結(jié)合代數(shù)上的Gr?bner-Shirshov基的相關(guān)定義及定理.設(shè)X是一個集合，K是一個數(shù)域.我們用X*表示由X生成的自由幺半群.對任何的字ω=x1x2…xn,xi∈X，用 ||ω表示ω的長度，即有 ||ω=n.K X 表示由X生成的K上的自由結(jié)合代數(shù)，即

p稱為K X 的多項(xiàng)式，而ω稱為多項(xiàng)式p的項(xiàng)，( )p,ω稱為項(xiàng)ω的系數(shù).K X 中多項(xiàng)式的加法和乘法分別定義如下：

其中，p=∑(p ,ω ) ω,q=∑(q ,ω ) ω .

設(shè)“＜”是X*上的一個全序.如果“＜”同時滿足：

（1）對任意ω∈X*，都有1＜ω;

（2）對任意u,v,ω1,ω2∈X ，如果u＜v,則ω1uω2＜ω1vω2.

則稱“＜”是集合X*上的項(xiàng)序.

設(shè)“＜”是集合X*上的項(xiàng)序.對任意 f∈K X ，我們用表示 f的關(guān)于序“＜”的最大項(xiàng)，稱為 f的首項(xiàng).如果fˉ的系數(shù)是1，則稱 f是首一的.若集合S?K X 中的多項(xiàng)式都是首一的，則稱S是首一的.

定義1（［3］）.設(shè)“＜”是 X*的一個項(xiàng)序.f,g∈K X 是首一的.

（1）若存在 ω,a,b∈X*，使得 ω=fˉb=agˉ且 ||fˉ+ ||gˉ＞ ||ω ，則稱

是 f和g相對于ω的相交合成.

（2）若存在 ω,a,b∈X*，使得 ω=fˉ=agˉb，則稱

是 f和g相對于ω的包含合成.

對于上述兩種情況，我們都稱多項(xiàng)式( f ,g)ω為 f和g相對于ω的合成.

根據(jù)定義，f與g的合成是不同于g與 f的合成的.在本文中，我們將 f與g的合成記作( f ,g)ω，將g與 f的合成記作(g ,f)ω.

定 義 2（［3］）.設(shè)“ ＜ ”是 X*的 一 個 項(xiàng) 序 ，S?K X 是 首 一 的.如 果 ( f ,g )ω=∑αiaisibi，其 中αi∈K,ai,bi∈X*,si∈S 且 aisˉibi＜ω ，則稱 ( f ,g )ω模(S, ω)是平凡的，并記作：

一般地，對任意 p,q∈K X ，若 p-q=∑αiaisibi，其中 αi∈K,ai,bi∈X*,si∈S 且 aisˉibi＜ω ，我們就記作p≡q mod(S ,ω )，在不引起混淆時，簡記作p≡q.

定義3（［3］）.設(shè)“＜”是X*的一個項(xiàng)序，S?K X 是首一的.如果S中的所有的多項(xiàng)式的合成都是模S平凡的，則稱S是K X 上的一個Gr?bner-Shirshov基.

定理 11（合成鉆石引理）（［3，4，8］）.設(shè)“＜”是 X*的一個項(xiàng)序，S?K X 是首一的.A=K X|S=K X/S ，其中 S表示K S中由S生成的理想.則下面三個命題等價.

（1）S是一個Gr?bner-Shirshov基.

（2）若 0≠f∈ S ，則存在 s∈S 和 a,b∈X*使得asˉb.

（3）Irr(S)={u ∈X*|u≠asˉb,s∈S,a,b∈X*}是代數(shù) A=K X|S 作為K-空間的一個基底.

對于任意的群G=gp X|S，我們可以將G表示成幺半群的形式

從而

顯然，為了求G的一組正規(guī)型，我們只需要求出結(jié)合代數(shù)K X?X-1|S,xx-1,x-1x,x∈X 作為K-空間的一個基底.

接下來，本文介紹求群G=gp X|S的正規(guī)型的算法：

1.將G表示成為幺半群的形式

(1)突出環(huán)境照明。所謂的突出環(huán)境照明，又可以稱之為基礎(chǔ)照明，是指整個展示現(xiàn)場的空間照明。整個環(huán)境明亮，展示空間和展品的細(xì)節(jié)都能清晰的展現(xiàn)。展區(qū)的面貌和氣氛可以由燈光改變，不同的燈光營造不同的展區(qū)效果，柔和燈光讓人舒適，延緩視覺疲勞；強(qiáng)烈燈光突出展品，讓參展這印象深刻。突出環(huán)境照明的基礎(chǔ)照明可用直接光源，也可以用間接光源，需根據(jù)展示的需要和類型而定。

并取定對應(yīng)自由幺半群sgp X?X-1的一個項(xiàng)序.

2.求代數(shù)K X?X-1|S,xix-i1-1,x-i1xi-1=KX?X-1|R 在以上項(xiàng)序上的一個GSB（Buchberger算法）：

（2.1）計(jì)算R中所有可能的多項(xiàng)式的合成，檢驗(yàn)R是否為GSB.若R不是GSB，轉(zhuǎn)到步驟（2.2）;

（2.2）將R中模R不平凡的多項(xiàng)式的合成加入到R中，將所得的新集合

仍記作R，再重復(fù)步驟（2.1）.

3.求出Irr(R)，即為群gp X|S 的正規(guī)型.

3 四元數(shù)群的正規(guī)型

定理2.四元數(shù)群G=gp a,b|ab=b-1a,a-1b=ba的一組正規(guī)型是

第一步：將群表示成幺半群的形式

其中

令“＜”是sgp a,b,a-1,b-1上滿足a＞a-1＞b＞b-1的次數(shù)字典序.

第二步：求對應(yīng)的代數(shù)的GSB.

令

其中，

分別計(jì)算這些多項(xiàng)式兩兩之間所有可能得合成（符號a：=b表示將a記作b）：

由上可知，( f1,f6)aa-1b(: = f7)模S不平凡，所以S不是GSB.將 f7加入到S中，繼續(xù)計(jì)算S中的合成，并將模S不平凡的多項(xiàng)式的合成加入到S中.下面我們只列出模S不平凡的合成和幾個具有代表性的計(jì)算過程：

此時，S={fi|i=1,2,…,22}再次重復(fù)步驟（2.1）計(jì)算S中所有可能的多項(xiàng)式的合成，所得結(jié)果是，S中所有可能的合成都是模S平凡的.所以，S是一個GSB.

第三步：求出Irr(S).

在上兩步的基礎(chǔ)上，我們可以直接寫出四元數(shù)群G的正規(guī)型：

參考文獻(xiàn)：

［1］BUCHBERGER B.An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a erodimensional polynomial ideal［D］. Ph.D.thesis，University of Innsbruck，Austria（1965）［in German］.

［2］BUCHBERGER B.An algorithmical criteria for the solvability of algebraic systems of equations［J］.Aequationes Math.，1970，4：374-383［in German］.

［3］BOKUT L A.Gr?bner and Gr?bner-Shirshov Bases in Algebra：An Elementary Approach［J］.Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2005，29：227-252.

［4］BOKUT L A.Imbeddings into simple associative algebras［J］.Algebra i Logika，1976，15：117-142.

［5］BOKUT L A，CHEN Y Q，MO Q H.Gr?bner-Shirshov bases for semirings［J］.Journal of Algebra，2013，385：47-63.

［6］HIRONAKA H.Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero I，Ⅱ［J］.Ann.of Math，1964，79：109-203，205-326.

［7］李羽.自由左交換代數(shù)的子代數(shù)［J］.惠州學(xué)院學(xué)報，2016，36（3）：84-88.

［8］LI Y，MO Q H.Embedding into 2-generated simple associative（Lie）algebras［J］.Communications in Algebra，2017，45（6）：2435-2443.

［9］MO Q H，ZHAO X G，PAN Q N.Embedding countably generated algebras into simple 2-generated algebras［J］.Algebra Colloquium，2017，24（3），493-508.

［10］劉木蘭.Gr?bner基理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2000.

［11］SHIRSHOV A I.Some algorithmic problem for Lie algebras［J］.Sibirsk.Mat.Z.，1962（3）：292-296（in Russian）;English translation in SIGSAM Bull.，1999，33（2）：3-6.