馮光庭

(湖北第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 武漢 430205)

一類肺結(jié)核模型的性質(zhì)研究

馮光庭

(湖北第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)院， 武漢 430205)

本文根據(jù)肺結(jié)核的傳播機(jī)理，考慮到感染者的自愈和治愈、以及康復(fù)者的復(fù)發(fā)，對(duì)Blower等人建立的肺結(jié)核傳播模型進(jìn)行了部分改進(jìn)；利用定性和穩(wěn)定性理論和方法，求出了模型的基本再生數(shù)，討論了無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、正平衡點(diǎn)的存在條件及其穩(wěn)定性，并剖析了相應(yīng)的生物學(xué)意義。

肺結(jié)核；數(shù)學(xué)模型；基本再生數(shù)；平衡點(diǎn)穩(wěn)定性；生物學(xué)意義

1 引言

結(jié)核病是嚴(yán)重危害人民群眾健康的呼吸道傳染病，我國(guó)是全球22個(gè)結(jié)核病流行嚴(yán)重的國(guó)家之一。同時(shí)也是全球27個(gè)耐多藥結(jié)核病流行嚴(yán)重的國(guó)家之一，所以結(jié)核病被列為我國(guó)重大傳染病之一。對(duì)結(jié)核病的發(fā)病機(jī)理、傳播流行規(guī)律、預(yù)防和控制的研究已受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者們的高度關(guān)注，并取得了豐碩的成果，而通過(guò)建立能反應(yīng)傳染病動(dòng)力學(xué)特征的數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的定量分析、定性分析和數(shù)值模擬來(lái)揭示疾病的發(fā)病機(jī)理和流行規(guī)律已成為研究傳染病的一種重要方法。具有代表性的工作，如Castillo-Chavez與Feng等人于1997年在文獻(xiàn)[1]中建立的肺結(jié)核傳播模型；Blower等人在此基礎(chǔ)上，根據(jù)發(fā)病者是否具有傳染性、自行康復(fù)以及康復(fù)患者的復(fù)發(fā)等因素在文獻(xiàn)[2]中討論的兩個(gè)模型，其中的第二個(gè)模型如下：

其中S為易感者類，L為潛伏者類，Ti和Tn分別為具有傳染性的患者和沒(méi)有傳染力的患者，R為治愈者類；Λ是易感者的輸入率，βTi是易感者類S被感染的概率(即感染率)，μ為自然死亡率，p為感染者快速發(fā)病成為傳染性患者的比例，α為潛伏者類到染病者類的比例，f為快速發(fā)病者中具有傳染性的患者的比例，q為潛伏類到染病類中具有傳染性患者的比例，ω為完全康復(fù)的患者復(fù)發(fā)的比例，d為因病死亡率，c為自行康復(fù)率。

(1.1)

該模型的基本再生數(shù)為

事實(shí)上，康復(fù)的患者復(fù)發(fā)后，雖然一部分具有傳染性、一部分不具有傳染性，但這兩部分人的比例不可能完全相同；患者不進(jìn)行治療少數(shù)是可以自行康復(fù)，但具有傳染能力的患者和不具有傳染能力的患者他們自行康復(fù)的比例也不一定是相同的，而且潛伏期的患者也有自行康復(fù)的；從患者到治愈者不僅有自行康復(fù)的，更多的還是通過(guò)治療的。

2 模型的建立

考慮到感染者的自愈和治愈、以及康復(fù)者的復(fù)發(fā)等因素，對(duì)模型(1.1)作如下改進(jìn)：(1)康復(fù)者復(fù)發(fā)后成為傳染性患者和沒(méi)有傳染性患者的比例不同；(2)潛伏者類、感染者類均可能自行康復(fù)，且自行康復(fù)的比例不同；(3)考慮對(duì)患者的治療，且傳染性的患者和沒(méi)有傳染性的患者的治愈率相同，得到下列模型：

(2.1)

其中c1,c2分別為潛伏者類、具有傳染性的患者和沒(méi)有傳染力的患者的自行康復(fù)率，r為具有傳染性的患者和沒(méi)有傳染力的患者的治愈率，k為康復(fù)的患者復(fù)發(fā)后成為傳染性患者的比例，其余符號(hào)的意義同模型(1.1).

3 模型分析

將系統(tǒng)(2.1)中所有方程相加得到：

易知，Ω是系統(tǒng)(2.1)的正向不變集。

3.1 基本再生數(shù)

F(x)=((1-p)βTiS,pfβTiS,p(1-f)βTiS,0,0)T,

V(x)=

在F(x)和V(x)中分別對(duì)L,Ti,TnR,S求關(guān)于平衡點(diǎn)E0的導(dǎo)數(shù)，得

|V|=μ(μ+α+c1)(μ+d+r+c2)[μ(r+c2)+(μ+ω)(μ+d)].

因?yàn)樵摼仃嚨闹葹?，所以它有唯一非零特征根，故系統(tǒng)(2.1)的基本再生數(shù)為:

又A12=μ[(μ+d+r+c2)(qαμ+c1kω)+αω(q(μ+d)+k(r+c2))],

A22=μ(μ+α+c1)[(μ+d)(ω+μ)+(r+c2)(μ+kω)],

A32=kμω(μ+α+c1)(r+c2)

從而得到：

監(jiān)控系統(tǒng)人機(jī)界面的設(shè)計(jì)主要任務(wù)為系統(tǒng)中各個(gè)控制界面與監(jiān)測(cè)界面的設(shè)計(jì)，進(jìn)行靜態(tài)操作界面的繪制、動(dòng)畫的制作及界面中各個(gè)元素與變量列表的連接，同時(shí)建立各個(gè)界面之間的邏輯關(guān)系?；谌藱C(jī)工程學(xué)[16]，需重點(diǎn)考慮以下2點(diǎn)：

3.2 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理3.1 當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)(2.1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0在Ω內(nèi)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(2.1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0在Ω內(nèi)是不穩(wěn)定的。

證明 當(dāng)R0≤1時(shí)，定義如下的Lyapunov-LaSalle函數(shù)

則有

當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(2.1)在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為

其特征多項(xiàng)式為

g(λ)=(λ+μ)(λ4+m1λ3+m2λ2+m3λ+m4).

其中，m1=-pfβS0+4μ+2d+2r+2c2+c1+α+ω,

m2=-pfβS0(3μ+d+r+c1+c2+α+ω)-(1-p)qαβS0+(μ+d+r+c2)(2μ+d+r+c2+ω)+μ(r+c2)+(μ+d)(μ+ω)+(3μ+2d+2r+2c2+ω)(μ+α+c1),

m3=(-pfβS0+μ+d+r+c2)(μ+d+r+c2)(μ+ω)-ω(r+c2)[(k-f)pβS0+μ+d+r+c2]+[(-pfβS0+μ+d+r+c2)(2μ+d+r+c2+ω)+μ(r+c2)+(μ+d)(μ+ω)](μ+α+c1)-(1-p)βS0[(qα(2μ+d+r+c2+ω)+kc1ω],

m4=(μ+d+r+c2)(μ+α+c1)[μ(r+c2)+(μ+d)(μ+ω)]-pfβS0(μ+α+c1)[(μ(r+c2)+(μ+d)(μ+ω)]-(1-p)qαβS0[μ(r+c2)+(μ+d)(μ+ω)]-kβωS0[(α+c1+pμ)(r+c2)+c1(1-p)(μ+d)]=(μ+d+r+c2)(μ+α+c1)[μ(r+c2)+(μ+d)(μ+ω)](1-R0).

由R0>1知，m4<0即g(0)=μm4<0.而當(dāng)λ→+∞時(shí)，g(λ)→+∞.

所以當(dāng)R0>1時(shí)，J(E0)有正特征根，故無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。

3.3 正平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

由此得到

證明 只需證明E+是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的，系統(tǒng)(2.1)在E+處的Jacobian矩陣為

J(E+)=

其特征多項(xiàng)式為f(λ)=λ5+m1λ4+m2λ3+m3λ2+m4λ+m5.

由Routh-Hurwitz判據(jù)知，正平衡點(diǎn)E+是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3.4 生物學(xué)意義剖析

我們?cè)贐lower的模型(1.1)中，增加了潛伏者的自行康復(fù)率c1、患者的治愈率r、康復(fù)的患者復(fù)發(fā)后

成為傳染性患者的比例k.

對(duì)于患者的治愈率r，易知，R0隨著r的增大而減小,即此時(shí)r的增大將促進(jìn)肺結(jié)核病的消亡。因此，提高醫(yī)療水平、提高患者的治愈率是促進(jìn)肺結(jié)核消亡的重要途徑，這既是眾所周知的事實(shí)、也是數(shù)學(xué)模型所揭示的客觀規(guī)律。

對(duì)于康復(fù)的患者復(fù)發(fā)后成為傳染性患者的比例k.易知，R0隨著k的增大而增大，即此時(shí)k的增大將推遲肺結(jié)核病的消亡時(shí)間(R0<1)或?qū)е碌胤讲〉漠a(chǎn)生(R0>1)。因此，控制康復(fù)患者的復(fù)發(fā)也是控制肺結(jié)核病流行的一個(gè)重要途徑。

[1]Castillo-Chavez C,Feng Z.To treat or not to treat:the case of tuberculosis.Jouenal of Mathematical Biology，1997,35:629-656.

[2]Blower SM, Small PM, Hopewell PC. Control strategies for tuberculosis epidemics:new models for old problems, Science， 1996,273:497-500.

[3]Van den Driessche P,Watmough J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission.Mathematical Bioscience，2002,180:28-29.

[4]張錦炎，馮貝葉.常微分方程幾何理論與分支問(wèn)題[M].北京：北京大學(xué)出版社，2000.

[5]馬知恩，周義倉(cāng)，王穩(wěn)地，靳禎.傳染病動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[6]廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2006.5

[7]杜葵.肺結(jié)核動(dòng)力學(xué)模型的定性與定量分析[D].華中師范大學(xué)，2015.6.

Property Analysis of a Tuberculosis Model

FENG Guang-ting

(School of Mathematics and Economics, Hubei University of Education, Wuhan 430205, China)

According to the mechanism of pulmonary tuberculosis, this paper takes into account the self-healing, healing of infected people and the recurrence of rehabilitation as well as partly improves the model of tuberculosis transmission established by Blower et al. Based on the theory and method of qualitative and stability, the basic regeneration number of the model is obtained. The stability of the diseased disequilibrium point, the existence condition of the positive equilibrium point and its stability are discussed, and the corresponding biological significance is analyzed.

tuberculosis; mathematical model; Basic regeneration number; stability of Balance point; Biological significance

2017-01-10

湖北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2013CFB013)

馮光庭(1961-)，男，湖北隨州人，教授，理學(xué)碩士，研究方向?yàn)槲⒎謩?dòng)力系統(tǒng)。

O19

A

1674-344X(2017)2-0001-06