凌 云 ,李滿枝,2

(1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,?？?71158;2.海南省數(shù)學(xué)研究中心,海口571158)

一類Riccati方程解的性質(zhì)

凌 云1,李滿枝1,2

(1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,?？?71158;2.海南省數(shù)學(xué)研究中心,?？?71158)

對不能應(yīng)用初等積分法求解的Riccati方程, 研究解的存在唯一性、解的最大存在區(qū)間的有界性及積分曲線的單調(diào)性和凹凸性,最后應(yīng)用Bernoulli方程求解出這類Riccati方程的通解.

Riccati方程; 通解; 性質(zhì); Bernoulli方程

0 引言

在常微分方程中,有很多方程并不能用初等解法求解.例如形式上很簡潔的Riccati微分方程

(1)

1 預(yù)備知識

引理[15]首先考慮導(dǎo)數(shù)已解出的一階微分方程

(2)

若f(x,y)滿足兩個條件:

1)在矩形域R上連續(xù);

2)關(guān)于y滿足Lipschitz條件.

|x-x0|≤a,|x-x0|≤b.

(3)

2 定理及其證明

定理1 微分方程

(4)

過平面xoy上任意一點的積分曲線存在且唯一.

AsDh Study Group 1998: Abhisamācārika-Dharma Study Group, A Guide to the Facsimile Edition of the Abhisamācārika-Dharma of the Mahāsāghika-Lokottaravādin, Tokyo: The Institute for Comprehensive Studies of Buddhism Taisho University.

定理3 對于初值問題

此時令

由(i)、(ii)得:

綜上所述:

(5)

因此

(6)

式(6)為Bernoulli微分方程.若兩邊同時乘以z-2,則有

這時我們令f=z-1,式(6)可化為

由此公式得:

即

故方程的通解為

(7)

3 結(jié)論

[1]王高雄, 周之銘.常微分方程 [M].3版.北京:高等教育出版社,2006.

[2]曹恒.里卡蒂方程幾種特解的判定[J].數(shù)學(xué)的理論與應(yīng)用,2002,22(4): 82-84.

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[15]卡姆尼.常微分方程手冊[M].北京:科學(xué)出版社,1977.

(編校：曾福庚)

The Properties of the General Solutions of the Special Riccati Equation

LING Yun1, LI Man-zhi1,2

(1.College of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University，Haikou 571158, China2.Hainan Center for Mathematical Research,Haikou 571158, China)

As for a class of Riccati equations for which the elementary integration method cannot be used,we considered the existence and uniqueness of the solution,and the boundedness of the maximum existence interval of Riccati equation solution.We discussed the concavity, the convexity and monotonicity of the solution curves from the characteristic of the Riccati equation.Consequently, the general solutions were given by applying Bernoulli equation in the end.

Riccati equation; general solutions; properties; Bernoulli equation

格式：凌云 ,李滿枝.一類Riccati方程解的性質(zhì)[J].海南熱帶海洋學(xué)院學(xué)報,2017，24(2)：43-46.

2016-11-22

海南省自然科學(xué)基金項目(20151003);海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院計算數(shù)學(xué)重點學(xué)科項目(201602)

李滿枝(1979-), 女, 新疆伊犁人, 海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授,碩士,研究方向為微分方程和數(shù)值模擬.

O175.1

A

2096-3122(2017) 02-0043-04

10.13307/j.issn.2096-3122.2017.02.09