余維燕

(海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，?？?571158)

von Neumann 代數(shù)上的非線性保持*-Lie積的雙射

余維燕

(海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，?？?571158)

設(shè)M,N是復(fù)Hilbert空間H上的因子von Neumann代數(shù),且dim H≥2.本文證明了對任意的A,B∈M，滿足條件φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*的雙射φ：M→N是一個(gè)線性或共軛線性的*-同構(gòu).

非線性保持；*-Lie積；von Neumann代數(shù)

0 引 言

在近二十年，保持算子或矩陣某些特定性質(zhì)或關(guān)系不變的線性或可加映射的研究引起許多學(xué)者的關(guān)注(見文獻(xiàn)[1-9])，所得到的結(jié)果從新的方面揭示了算子代數(shù)的代數(shù)與幾何結(jié)構(gòu).最近幾年，一些學(xué)者開始研究一些非線性的保持算子某些特定性質(zhì)的映射(見文獻(xiàn)[10-15]).文獻(xiàn)[11-13]中，作者刻畫了非線保持Lie乘積的映射.本文我們主要研究因子von Neumann代數(shù)上的一類非線性保持乘積XY-YX*(*-Lie積)的映射.我們知道映射X→XY-YX*也是一個(gè)Jordan*-導(dǎo)子([16]).

設(shè)H是復(fù)Hilbert空間.B(H)表示H上的有界線性算子，M?B(H)是一個(gè)von Neumann代數(shù).如果M的中心是I,其中I是M的單位元，則稱M是一個(gè)因子von Neumann代數(shù).對任意的X，Y∈M,記{X，Y}=XY-YX*.設(shè)Msa是M的自伴算子空間，P(M)表示M的非平凡正交投影集.

1 主要結(jié)果

在這一部分，我們主要證明以下結(jié)果：

定理2.1 設(shè)H是復(fù)Hilbert空間且dimH≥2,M,N是H上的因子von Neumann代數(shù).若對任意的A,B∈M,φ:M→N是滿足條件φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*的雙射(非線性)，則φ是一個(gè)線性或共軛線性*-同構(gòu).

為了證明定理2.1，需要證明一些引理.以下設(shè)M，N是復(fù)Hilbert空間H(dimH≥2)上的因子von Neumann代數(shù)，φ:M→N是雙射且對任意的A，B∈M滿足條件

φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*.

(1)

引理2.1φ(0)=0；φ(Msa)=Nsa;φ(I)=I;φ(P(M))=P(N).

證明 因?yàn)棣帐菨M射，則有B0∈M使得φ(B0)=0.從而

φ(0)=φ(0B0-B00*)=φ(0)φ(B0)-φ(B0)φ(0)*=0.

對任意的B∈M,有φ(I)φ(B)-φ(B)φ(I)*=φ(IB-BI*)=φ(0)=0.從而存在λ0∈/{0}使得φ(I)=φ(I)*=λ0I.設(shè)A∈Msa,則有

因此φ(Msa)?Nsa.同理,對φ-1,有Nsa?φ(Msa),故φ(Msa)=Nsa.

設(shè)λ∈，則對任意A∈Msa,有

φ(A)φ(λI)-φ(λI)φ(A)=φ(A(λI)-(λI)(A))=φ(0)=0.

從而由φ(Msa)=Nsa可得φ(λI)∈I,故φ(I)?I.同理，對φ-1可得I?φ(I).因此φ(I)=I.

設(shè)P∈P(N)且有A∈M使得φ(A)=P.則對A∈Msa且B∈M有

φ({A,{A,{A,B}}})={P,{P,{P,φ(B)}}}={P,φ(B)}=φ({A,B}),

由φ是滿射可知{A，{A，{A，B}}}={A，B}，即對任意的B∈M,有

A3B-3A2BA+3ABA2-BA3=AB-BA.

(2)

另一方面，對任意的B∈Msa，有

φ({{A,B},A})={{P,φ(B)},P}={P,φ(B)}=φ({A,B}),

從而{{A，B}，A}={A，B}，即對任意的B∈Msa,有A2B-BA2=AB-BA.因此存在λ1∈,使得A2=A+λ1I.由此式與式(2)，對任意的B∈M，有4λ1(AB-BA)=0.

(3)

因?yàn)棣?I)=I且φ(A)=P?I,則存在B∈M,使得AB-BA≠0.由式(3)可得λ1=0,從而A=A2=A*∈P(M).同理,對φ-1,可證得φ(P(M))?P(N).從而φ(P(M))=P(N).證畢.

現(xiàn)在，我們選擇一個(gè)投影P1∈P(M)且P2=I-P1.設(shè)Qi=φ(Pi),i=1，2.由引理2.1,Qi∈P(N),i=1,2.因?yàn)閷θ我獾腂∈Msa,有{Q1，φ(B)}={φ(B),Q2}，故Q2=I-Q1.記Mij=PiMPj且Nij=QiNQj,其中i，j=1,2.則有以下引理.

引理2.2 設(shè)Xll∈Mll.若對任意的Til∈Mil,有TilXll=0,則Xll=0.

證明 顯然.

引理2.3 設(shè)i,j=1,2且i≠j.則有φ(Mij)=Nij.

證明 設(shè)A∈Mij,由A={Pi,A}={Pi，{Pi,A}}可得

φ(A)=Qiφ(A)Qj-Qjφ(A)Qi

與

φ(A)=Qiφ(A)Qj+Qjφ(A)Qi,

以上兩式相加可得φ(A)=Qiφ(A)Qj.從而有φ(Mij)?Nij.對于φ-1，同理可證Nij?φ(Mij).因此φ(Mij)=Nij.證畢.

引理2.4 設(shè)i,j,k,l=1，2.則對任意的Aij∈Mij與Bkl∈Mkl,有φ(Aij+Bkl)=φ(Aij)+φ(Bkl).

φ(TX-XT*)=φ(TAij-AijT*)+φ(TBkl-BklT*)

(4)

與

φ(TX-TX*)=φ(AijT-TAij*)+φ(BklT-TBkl*).

(5)

情形1 若i=j且k≠l,則有k=i,l≠i或l=i,k≠i.

從而

故對任意的Til∈Mil,有φ(XiiTil)=φ(AiiTil),從而Xii=Aii.因此φ(Aii+Bil)=φ(Aii)+φ(Bil).

對l=i,k≠i,可類似證明結(jié)論也成立.

情形2 若i≠j且k≠l,則k=j,l=i或k=i,l=j.

對k=j,l=i,在式(4)中取T=Pi,可得φ(Xij-Xji)=φ(Aij)+φ(-Bji).從而φ({Pi,Xij-Xji})=φ({Pi,Aij})+φ({Pi-Bji}).即,

φ(Xij+Xji)=φ(Aij)+φ(Bji).

(6)

在式(5)中分別用Pi和Pj代替T，可得

與

由此可得Xji=Bji且Xij=Aij.由式(6)可知，φ(Aij+Bji)=φ(Aij)+φ(Bji).

當(dāng)k=i,l=j，有

由情形1，及φ(Mij)=Nij,有

從而φ(Aij+Bij)=φ(Aij)+φ(Bij).

情形3 若i=j且k=l,則i=k或i≠k.

φ(Xii)=φ(Aii)+φ(Bii).

(7)

在式(5)中用Tis替換T，則有

φ(XiiTis)=φ(AiiTis)+φ(BiiTis)=φ(AiiTis+BiiTis),

從而Xii=Aii+Bii.由此式與式(7)可得φ(Aii+Bii)=φ(Aii)+φ(Bii).

當(dāng)i≠k,在式(4)中取T=Pi，則φ(Xik-Xki)=0,故Xik=Xki=0,從而X=Xii+Xkk.在式(4)與式(5)中分別取T=Tik，可得

與

從而對任意的Tik∈Mik,有

(8)

與

(Xii-Aii)Tik=Tik(Xkk-Bkk)*.

(9)

由式(8)或得Xkk=Bkk,再由式(9)可得Xii=Aii.故φ(Aii+Bkk)=φ(Aii)+φ(Bkk).證畢.

(10)

在式(10)中取T=P1，由引理2.3可得

φ(X12-X21)=φ(A12)+φ(-A21)=φ(A12-A21),

由此可得X12=A12,X21=A21,故X=X11+A12+A21+X22.在式(10)中分別用T12與T21替換T，則有

與

即

與

因此，對任意的T12∈M12，有

(11)

且對任意的T21∈M21，有

(12)

引理2.6 對任意的A，B∈M,有φ(A+B)=φ(A)+φ(B).

由引理2.6及φ(I)=I可知，存在可加的雙射ρ∶→，使得對任意的λ∈且ρ(1)=1，有φ(λI)=ρ(λ)I.

引理2.7 對任意的A∈M與λ∈,有φ(λA)=ρ(λ)φ(A).

證明 設(shè)x∈是任意實(shí)數(shù)，則有

-2ρ(x)I=φ((ixI)(iI)-(iI)(ixI)*)=2ρ(ix)ρ(i)I.

從而對任意的x∈,有

ρ(ix)ρ(i)=-ρ(x).

(13)

對任意的A∈M,有

特別，有φ(-iA)=-ρ(i)φ(A)與φ(xA)=ρ(ix)φ(-iA).由此結(jié)果與式(13)可知，對任意的x∈與A∈M,有φ(xA)=ρ(x)φ(A).因此對任意的λ=x+iy∈(x,y∈)及A∈M,有

φ(λA)=φ(xA)+φ(iyA)=ρ(x)φ(A)+ρ(iy)φ(A)=ρ(λ)φ(A).

引理2.8φ是線性映射或共軛線性映射.

證明 由引理2.6與2.7，只需證ρ是恒等映射或共軛恒等映射.由ρ的可加性可知，對任意有理數(shù)r，有ρ(r)=r.由引理2.6可知，對任意的λ,β∈,有ρ(λβ)=ρ(λ)ρ(β)，又因?yàn)棣?Msa)=Nsa,則若ρ(λ)>0當(dāng)且僅當(dāng)λ>0.從而對有理數(shù)r與實(shí)數(shù)x,y，當(dāng)|x-y|

定理2.1的證明 由ρ(i)2=-1,對任意的A，B∈M,由引理2.7可知，

再由定理2.1所給條件可知，

φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*.

由以上兩式及引理2.6可知,對任意的A，B∈M，有

φ(AB)=φ(A)φ(B)

(14)

與

φ(BA*)=φ(B)φ(A)*.

(15)

在式(15)中取B=I，可得φ(A*)=φ(A)*,從而φ是一個(gè)線性或共軛線性*-同構(gòu).

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(編校：吳炎)

Nonlinear Maps Preserving *-Lie Productson Factor von Neumann Algebras

YU Wei-yan

(College of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou 571158, China)

Let M and N be factor von Neumann algebras acting on a complex Hilbert space H with dim H≥2.We prove that every bijective map φ∶M→N satisfying φ(AB-BA*)=φ(A)φ(B)-φ(B)φ(A)*for all A,B∈M is a linear or conjugate linear *-isomorphism.

nonlinear preserver;*-Lie products; von Neumann algebra.

格式：余維燕.von Neumann代數(shù)上的非線性保持*-Lie積的雙射[J].海南熱帶海洋學(xué)院學(xué)報(bào),2017，24(2)：34-38.

2017-03-11

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11461018);海南省自然科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(20151012);海南省教育廳高校科研項(xiàng)目(hjkj2014-16)

余維燕(1969-),女,四川資中人,海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授,博士,研究方向?yàn)樗阕永碚撆c算子代數(shù).

O177.1

A

2096-3122(2017) 02-0034-05

10.13307/j.issn.2096-3122.2017.02.07