李 杰

（天津航天瑞萊科技有限公司上海分部，上海 201199）

有限元?jiǎng)討B(tài)模型的修正方法綜述

李 杰

（天津航天瑞萊科技有限公司上海分部，上海 201199）

結(jié)構(gòu)在進(jìn)行有限元仿真分析時(shí)，對(duì)比計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測試數(shù)據(jù)，往往存在一定的偏離。針對(duì)有限元?jiǎng)討B(tài)模型，基于實(shí)際測試獲取的少量數(shù)據(jù)，采用一定的修正算法，從而減小模型修正后的仿真結(jié)果與實(shí)測響應(yīng)數(shù)據(jù)的誤差。通過文獻(xiàn)調(diào)研，對(duì)有限元模型修正的一般方法及其發(fā)展進(jìn)行了歸納和總結(jié)。

有限元法；模型修正；優(yōu)化問題

概述

目前，有限元法已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于航天、船舶、橋梁等工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析。要得到準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果，首要的問題就是建立精確的結(jié)構(gòu)有限元模型。但由于對(duì)結(jié)構(gòu)（包括數(shù)學(xué)模型以及物理參數(shù)）缺少全面深入的了解，同時(shí)有限元分析方法作為工程上一種近似的計(jì)算方法，通過建立的有限元模型，常常不能得到結(jié)構(gòu)的真實(shí)情況。模型修正技術(shù)正是在這樣的背景下，通過特定的模型修正來較大地減小分析結(jié)果的誤差，在解決實(shí)際工程問題發(fā)揮了重要的作用，也得到了很大程度的發(fā)展。同時(shí)需要注意的是，有限元模型修正是基于實(shí)測或試驗(yàn)結(jié)果的方法，實(shí)測或試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性會(huì)較大影響模型的修正有效性。當(dāng)測試結(jié)果本身存在過大的誤差，用來修正有限元模型也就意義不大了。

1 動(dòng)力學(xué)模型修正方法

模型修正方法是從20世紀(jì)60年代發(fā)展起來的，Gravitz[1]首次提出通過飛機(jī)地面共振實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來修正飛機(jī)的柔度矩陣。傳統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型修正方法分為矩陣型法和元素型法。

1.1 矩陣型法

矩陣型法常用的修正參數(shù)包括剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和子結(jié)構(gòu)校正因子等。Baruch[2]、Berman[3]等人對(duì)該修正方法進(jìn)行了開創(chuàng)性的工作。張德文基于質(zhì)量陣和剛度陣的相關(guān)性，提出了通過正交性條件和特征方程分別來修正質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的方法。1980年，J. C. Chen[4]提出了矩陣攝動(dòng)法。該方法在修改結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)時(shí)直接采用實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析所得的模態(tài)矩陣和特征值矩陣。Berman[5]利用模態(tài)正交性條件對(duì)上述方法進(jìn)行了修正，該方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要完整的模態(tài)集。矩陣型法的缺點(diǎn)是改變了原矩陣的稀疏特性，且物理意義不明確。

矩陣型法中常用的方法包括全元素修正、非零元素修正、子結(jié)構(gòu)校正因子修正等，這里簡要介紹全元素修正法和子結(jié)構(gòu)校正因子修正法的一般思路及方法。

1.1.1 全元素修正法

該修正方法的原理為在質(zhì)量正則化條件[Φe]T[M][Φe]下，最小化矩陣各元素的相對(duì)誤差范數(shù)。得到修正的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為

其中

從式（1）可以看出，由于該方法只考慮了正則化條件，而忽略了動(dòng)力學(xué)方程，僅作為一種純數(shù)學(xué)處理手段，且修正后的結(jié)構(gòu)矩陣一般情況下不再能正確反映結(jié)構(gòu)的連接情況，同時(shí)矩陣的稀疏性和窄帶性會(huì)受到破壞，給后續(xù)的計(jì)算和存儲(chǔ)帶來了很大的代價(jià)，很難應(yīng)用于實(shí)際的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)。

1.1.2 子結(jié)構(gòu)校正因子修正法

有限元模型的剛度矩陣可以用r個(gè)子結(jié)構(gòu)剛度矩陣之和表示

其中為經(jīng)過擴(kuò)充和坐標(biāo)變換的子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣（如最簡單情況為單元?jiǎng)偠染仃嚕?。而修正后的剛度矩陣可表示為的加?quán)和形式，即

由式（6）的表達(dá)式可以看出，在修正矩陣中，子結(jié)構(gòu)本身的特性不受任何影響，只是改變了其對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)矩陣的貢獻(xiàn)大小。把式（6）帶入模型的動(dòng)力學(xué)方程

得到

式（8）中含m的方程，r個(gè)未知數(shù)。當(dāng)r ≤ m時(shí)，求解方程組可得到精確解或最小二乘解。通過求解出的向量（b1, b2, … , bn）T，代入式（6）即可得到修正后的剛度矩陣。對(duì)于質(zhì)量矩陣的修正，同樣可以按照這種方法進(jìn)行。

1.2 元素型法

從80年代末起，元素型法逐漸成了研究的重點(diǎn)。該方法的修正對(duì)象為矩陣元素或結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)（包括幾何尺寸、材料屬性、邊界條件和連接剛度等）。

這種修正方法通過對(duì)幾何尺寸、材料屬性、邊界條件和連接剛度等一些在有限元建模過程中不容易確定的參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，從而使結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和模態(tài)振型發(fā)生變化。Q. Zhang和G. Lanllent在研究中，通過對(duì)子結(jié)構(gòu)修正因子的靈敏度分析，獲得了建立有限元模型的誤差并修正未知的結(jié)構(gòu)參數(shù)。J. C. Chen在文獻(xiàn)[5]中建立了有限元模型的模態(tài)頻率函數(shù)，修正變量為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)Pj（Pj表示第j個(gè)參數(shù)），通過泰勒級(jí)數(shù)將在初值P0j處展開

應(yīng)使設(shè)計(jì)參數(shù)Pj修正后模型的模態(tài)頻率ωi與試驗(yàn)頻率ωri接近，應(yīng)使兩者的偏差

最小，即同樣對(duì)于模態(tài)振型，可表示為

前述方法是基于模態(tài)參數(shù)的，另一種元素型法是基于頻響函數(shù)的。這方面的工作可追溯到1977年Natke[7]的研究，即采用加權(quán)最小二乘法處理無阻尼問題。后續(xù)，Larsson[8]等在利用動(dòng)剛度矩陣的泰勒級(jí)數(shù)展開得到新的殘差形式后，通過動(dòng)態(tài)縮聚方法，解決了仿真模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g自由度不同的問題。在國內(nèi)，黃東勝[9]、朱安文[10]等人分別對(duì)基于頻響函數(shù)的模型修正方法進(jìn)行了相關(guān)的研究。

2 動(dòng)力學(xué)模型修正技術(shù)的發(fā)展

在文獻(xiàn)[11]中，吳小菊對(duì)當(dāng)前動(dòng)力學(xué)有限元模型修正中的5項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了總結(jié)如下：①修正參數(shù)的選取；②計(jì)算模型與試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木S數(shù)匹配；③靈敏度分析；④（加權(quán)）最小二乘求解正反問題時(shí)條件數(shù)差的解決方法；⑤修正方法的正確性判斷。

有限元?jiǎng)討B(tài)模型修正技術(shù)近年來有了較大的發(fā)展。王樂等[12]基于模態(tài)頻率來修正模型的剛度矩陣。張以帥[13]提出了一種不依賴于靈敏度分析的參數(shù)性修正方法，拓展了基于頻響函數(shù)的矩陣型模型修正方法。周瑞等[14]提出一種新的模型迭代技術(shù)—IOR技術(shù)應(yīng)用于基于可測點(diǎn)數(shù)據(jù)的模型修正。

3 結(jié)束語

目前，模型修正技術(shù)已廣泛應(yīng)用于航天、航空、汽車、船舶、土木和機(jī)械等領(lǐng)域。如加拿大波音公司某飛機(jī)模型的修正，美國通用公司轎車白車身的模型修正，斜拉橋有限元模型修正等。對(duì)于修正技術(shù)的未來發(fā)展，當(dāng)前的一些問題還需要解決：①適用范圍窄；②由測量結(jié)果的不完整引起的結(jié)果不唯一性；③建模中的誤差定位，包括模型簡化誤差、測量誤差和模態(tài)截?cái)嗾`差；④修正模型主要針對(duì)低階模態(tài)；⑤軟件實(shí)現(xiàn)效率。這些都需要研究者更進(jìn)一步地探討和研究。

[1] Gravitz. An Analytical Procedure for orthognalization of Measured [J]. MJAS, 1958, 25(11): 721-722.

[2] Baruch M. and Bar Itzhack I Y. Optimal weighted orthognalization of measured models [J]. AIAA Journal, 1978, 16(3):83-86.

[3] Berman, Flannelly. Theory of incomplete models of dynamic structures [J]. AIAA Journal, 1971, 9(8).

[4] J C Chen, Garba J A. Analytical Model Improvement Using Modal Test Results [J]. AIAA Journal, 1980, 18(6).

[5] Berman A and Nagy E J. Improvement of a Large Analytical model Using Test Data[J]. AIAA Journal, 1983, 21(8): 26-30.

[6] SLJ Hu, H Li, S Wang. Cross-model cross-mode method for model updating [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2007, 21(4):1960-1703

[7] Natke, H.G., Die Korrektur. Rechenmodells Eines Elastomechanischen Systems Mittels Gemessener Erzwungener Schwinggungen [J]. Ingenieur-Archiv, 1977, 4(6): 169-184.

[8] Larsson, P.O. Model Updating Based on Forced Vibrations[C]. Proceedings of the 4th Conference on Recent Advances in Structural Dynamics. 1991:95-98.

[9]黃東勝, 黃方林, 顧松年.一種改進(jìn)的動(dòng)力縮聚及模型修正的方法[J]. 長沙鐵道學(xué)院學(xué)報(bào), 1996, 14(4): 72-77.

[10]朱安文, 曲廣吉, 高耀南. 航天器結(jié)構(gòu)模型修正技術(shù)的工程應(yīng)用研究[C]. 2002年全國振動(dòng)（診斷、模態(tài)、噪聲與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)）工程及應(yīng)用學(xué)術(shù)會(huì)議論文集, 北京: 2002.10.16.

[11]吳小菊. 結(jié)構(gòu)有限元模型修正綜述[J]. 特種結(jié)構(gòu), 2009, 26(1): 39-45.

[12]王樂, 楊智春, 李文斌, 譚光輝, 劉江華. 基于固有頻率向量的模型修正方法[J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2008,26(1): 93-98.

[13]張以帥. 基于頻響函數(shù)的有限元模型修正方法及試驗(yàn)研究[D]. 上海:上海交通大學(xué), 2009.

[14]周瑞, 陳力奮. 基于可測點(diǎn)信息的模型參數(shù)修正方法[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2007, 26(6): 70-74.

李杰，碩士研究生，中級(jí)工程師。主要研究結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及動(dòng)力學(xué)仿真、動(dòng)力學(xué)試驗(yàn) 。

A Review of Updating Method of FE Dynamic Model

LI Jie
(Shanghai Branch of Tianjin Aerospace Ruilai Technology Co. Ltd., Shanghai 201199)

TDiscrepancies exist between results from a structural FEA model and experimental data from laboratory. The updating method of FE dynamic model is developed to decrease errors by using the measured data of structure. This paper presents the general theory and recent development by review of previous work of modal updating method.

finite element method; model modification; optimization prcldem

O326

A

1004-7204（2017）02-0034-03