（南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016）

航空領(lǐng)域?yàn)榱藵M足高性能飛機(jī)的制造要求，自動(dòng)化裝配技術(shù)被廣泛應(yīng)用于飛機(jī)制造裝配[1-2]。其中，自動(dòng)鉆鉚技術(shù)作為飛機(jī)自動(dòng)化裝配技術(shù)中關(guān)鍵技術(shù)之一越來越受到重視，其鉆鉚質(zhì)量是保證飛機(jī)裝配質(zhì)量的關(guān)鍵因素[3]。而在自動(dòng)鉆鉚中法向調(diào)姿是其技術(shù)基礎(chǔ)并且是提高制孔質(zhì)量的技術(shù)保證[4]。在鉆鉚前，根據(jù)飛機(jī)零部件上鉆鉚點(diǎn)位置及矢量信息通過反解算法獲得自動(dòng)鉆鉚機(jī)各軸驅(qū)動(dòng)量，再通過自動(dòng)鉆鉚機(jī)的控制系統(tǒng)使刀具軸線和鉆鉚點(diǎn)法向重合[5-6]，實(shí)現(xiàn)法向調(diào)姿。因而，自動(dòng)鉆鉚機(jī)位置反解精度直接決定了法向調(diào)姿的準(zhǔn)確性。

在求解運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正反解的過程中，Denavit-Hartenberg(D-H)參數(shù)法[7]作為一種較為廣泛的建模方法，其正反解算法已經(jīng)相當(dāng)成熟。雖然機(jī)器人和機(jī)床的位置正反解通常采用它，但是其在建模過程中需要對(duì)每個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)建立局部坐標(biāo)系，并計(jì)算獲取相鄰運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)之間的位置變換矩陣，建模過程較為復(fù)雜，且其幾何意義較不明顯。而旋量法[8]采用全局坐標(biāo)系來描述剛體的運(yùn)動(dòng)情況，在反解過程中目標(biāo)點(diǎn)位置及矢量信息均是相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的，減少了局部坐標(biāo)系的建立以及坐標(biāo)系間的變換矩陣計(jì)算，在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正反解中應(yīng)用較為常見。李盛前等[9]基于旋量理論建立了多自由度串聯(lián)機(jī)器人的矩陣指數(shù)積運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并推導(dǎo)了其反解算法。于常娟等[10]等利用旋量理論和指數(shù)積方法建立六足仿生機(jī)器人的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并通過消元方法求得反解。與D-H法相比，其建模簡(jiǎn)單且?guī)缀我饬x明顯，同時(shí)可避免D-H法局部坐標(biāo)系描述帶來的奇異性問題[11]。同時(shí)與機(jī)器人運(yùn)動(dòng)相比，在求解自動(dòng)鉆鉚機(jī)的位置反解中旋量理論的應(yīng)用較少。

本文以南航自主研制的龍門式自動(dòng)鉆鉚機(jī)床為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，采用旋量理論法建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。并利用Paden-Kahan子問題與幾何關(guān)系法相結(jié)合的方法獲得運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的解析式。為了進(jìn)一步驗(yàn)證自動(dòng)鉆鉚機(jī)床反解算法的有效性，在CATIA中通過一個(gè)反解算例進(jìn)行仿真驗(yàn)證其正確性。

1 自動(dòng)鉆鉚系統(tǒng)介紹

本文中的自動(dòng)鉆鉚系統(tǒng)包括了上、下末端執(zhí)行器、龍門定位系統(tǒng)、托架調(diào)姿系統(tǒng)等組成，如圖1所示。龍門定位系統(tǒng)和托架調(diào)姿系統(tǒng)協(xié)同定位調(diào)姿，以保證末端執(zhí)行器的加工動(dòng)力頭軸線始終在壁板鉆鉚點(diǎn)的外法線上，并帶動(dòng)末端執(zhí)行器在整個(gè)飛機(jī)壁板組件的裝配范圍內(nèi)完成裝配動(dòng)作。其中龍門定位系統(tǒng)由龍門、底座、滑枕、旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、導(dǎo)軌、絲杠、帶輪電機(jī)等組成，可實(shí)現(xiàn)X、Y、Z向移動(dòng)和A角擺動(dòng)。托架調(diào)姿系統(tǒng)由4個(gè)POGO柱單元和托架組成，實(shí)現(xiàn)托架Z向移動(dòng)和A、B角的擺動(dòng)。在龍門定位系統(tǒng)和托架調(diào)姿系統(tǒng)的共同作用下實(shí)現(xiàn)自動(dòng)鉆鉚系統(tǒng)的X、Y、Z、A、B五坐標(biāo)定位，滿足自動(dòng)鉆鉚的工藝要求。

圖1 自動(dòng)鉆鉚機(jī)模型Fig.1 Model of automatic drilling and riveting machine

2 自動(dòng)鉆鉚機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解

根據(jù)該自動(dòng)鉆鉚機(jī)的工作原理，可以得到自動(dòng)鉆鉚機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖2所示。并在運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖中建立基坐標(biāo)系Ob_XbYb Zb、托架工作臺(tái)坐標(biāo)系Ow_XwYw Zw和工具坐標(biāo)系Ot_XtYt Zt。并記圖2中所標(biāo)注點(diǎn)在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值為Ow（xw,yw,zw）、Ot（xt,yt,zt）、PA1（xA1,yA1,zA1）和PA2（xA2,yA2,zA2）。

同時(shí)由于自動(dòng)鉆鉚機(jī)托架工作臺(tái)與上下末端執(zhí)行器的相關(guān)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)相互獨(dú)立，可將自動(dòng)鉆鉚機(jī)的運(yùn)動(dòng)分成3條。開式運(yùn)動(dòng)鏈分別是上末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈、下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈和托架工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈。其中在上末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈中實(shí)現(xiàn)了上末端執(zhí)行器沿X、Y1和Z5軸向的移動(dòng)及繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)A1；在下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈中實(shí)現(xiàn)了下末端執(zhí)行器沿X和Y2軸向的移動(dòng)及繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)A2；在托架工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈中通過POGO柱Z1～Z4軸的高度z1，z2，z3，z4的調(diào)整實(shí)現(xiàn)托架Z向調(diào)整和繞Y軸旋轉(zhuǎn)的B角調(diào)節(jié)，如圖2所示。上末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈與托架工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈、下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈與托架工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈可以分別構(gòu)成上、下末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈。

為了便于自動(dòng)鉆鉚機(jī)位置反解算法的推導(dǎo)，本文將自動(dòng)鉆鉚機(jī)的反解分成兩部分：（1）先采用旋量法求解下末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈中相關(guān)的位置反解；（2）在確定下末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈中各個(gè)運(yùn)動(dòng)單元運(yùn)動(dòng)位置的前提下，利用上、下末端執(zhí)行器的位置幾何關(guān)系分析推導(dǎo)上末端執(zhí)行器的位置反解。

圖2 自動(dòng)鉆鉚機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Automatic drilling and riveting machine kinematic diagram

2.1 下末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈反解

2.1.1 下末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

本文采用旋量理論建立機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。其中旋量將剛體的運(yùn)動(dòng)描述為繞某一條直線轉(zhuǎn)動(dòng)和沿該直線平移的復(fù)合運(yùn)動(dòng)[12]。

在旋量運(yùn)動(dòng)表示剛體的運(yùn)動(dòng)中，對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，,v=-ω×q，其中ω∈R3為旋轉(zhuǎn)方向上的單位矢量，q∈R3為軸線上的任意一點(diǎn)。對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)，是指移動(dòng)方向上的單位矢量。

由旋量理論可知，剛體變換可以用運(yùn)動(dòng)旋量的指數(shù)來表示[8]，即：

式中，為運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)量。

同時(shí)由旋量理論可知，機(jī)床中工具坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的位姿變換表達(dá)形式為：

對(duì)于下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈，由公式（2）得其下末端執(zhí)行器工具坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的變換矩陣表達(dá)式為:

對(duì)于托架工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈，由公式（2）得其托架工作臺(tái)坐標(biāo)系相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的變換矩陣表達(dá)式為:

由公式（3）、（4），可得下末端執(zhí)行器坐標(biāo)系相對(duì)于托架工作臺(tái)坐標(biāo)系的變換矩陣表達(dá)式為：

即下末端執(zhí)行器墩頭點(diǎn)相對(duì)于托架工作臺(tái)坐標(biāo)系的位置和方向向量為：

式中，P=（xP，yP，zP）T，O=（dx，dy，dz）T，rpt=（0，0，0）T，rot=（0，0，1）T

2.1.2 下末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈位置反解

（1）旋轉(zhuǎn)角求解。

由于在整個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈中移動(dòng)關(guān)節(jié)對(duì)方向向量不起到作用[15]，可以由公式（6）得到:

根據(jù)Paden_Kahan子問題2[8]中求解2個(gè)旋轉(zhuǎn)角的方法，公式（7）可以改寫成:

式中，u表示工具相對(duì)于刀具坐標(biāo)系的方向向量，v為鉆鉚點(diǎn)法矢，ωA表示A旋轉(zhuǎn)軸的軸向，ωB表示B旋轉(zhuǎn)軸的軸向。

再根據(jù)Paden_Kahan子問題1[8]的方法求解

將u=（0，0，1）T，ωA=（0，0，1）T，ωB=（0，1，0）T和v=（dx，dy，dz）T代入（8）、（9）、（10）公式，可以化簡(jiǎn)求得θAt和θBw如下：

（2） 平移位置求解。

根據(jù)Ow（xw，yw，zw）、Ot（xt，yt，zt）在基坐標(biāo)系中的初始位置可知下末端執(zhí)行器坐標(biāo)系與托架坐標(biāo)系的初始位形為：

根據(jù)設(shè)定各點(diǎn)坐標(biāo)值和指數(shù)積公式（1），同時(shí)取A、B旋轉(zhuǎn)軸上的點(diǎn)分別為PA2、PW，得各個(gè)運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)指數(shù)積的表達(dá)形式如下：

式中，x、y2、z1分別表示沿X、Y、Z軸的運(yùn)動(dòng)量；A2=θAt、B=ωB表示下末端執(zhí)行器繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。

由于整個(gè)閉式運(yùn)動(dòng)鏈中，兩個(gè)移動(dòng)軸間不存在旋轉(zhuǎn)軸，則機(jī)床平移運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解可以表示為：

公式（12）可轉(zhuǎn)換為：

由于B角是由Z1、Z2、Z3與Z4的差動(dòng)實(shí)現(xiàn)，將A2、B旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)指數(shù)積、下末端執(zhí)行器坐標(biāo)系與托架坐標(biāo)系的初始位形、鉆鉚點(diǎn)坐標(biāo)代入公式（13）化簡(jiǎn)，并綜上所述可得下末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)鏈與托架工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)鏈構(gòu)成的閉式運(yùn)動(dòng)鏈中相關(guān)位置反解如下：

2.2 上末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈位置反解

根據(jù)自動(dòng)鉆鉚機(jī)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及下末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈的分析結(jié)果，對(duì)于上末端閉式運(yùn)動(dòng)鏈而言，其未確定的驅(qū)動(dòng)變量有旋轉(zhuǎn)角A2、Y方向上驅(qū)動(dòng)量Y1和Z方向上驅(qū)動(dòng)量Z5。同時(shí)根據(jù)機(jī)床工作時(shí)，刀具點(diǎn)、鉆鉚點(diǎn)和鐓頭點(diǎn)三點(diǎn)一線的原理，上、下末端執(zhí)行器的幾何關(guān)系如圖3。假設(shè)此時(shí)上末執(zhí)行器旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)位置為P'A1（x'A1，y'A1，z'A1）T，下末端執(zhí)行器旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)位置為P'A2（x'A2，y'A2，z'A2）T，上下末端執(zhí)行器旋轉(zhuǎn)角度為A1和A2以及上下末端執(zhí)行器端點(diǎn)距各自轉(zhuǎn)軸中心距離為lT1和lT2。由于下末端執(zhí)行器的旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)初始位置為PA2（xA2，yA2，zA2）T，根據(jù)以上旋量法求解位置反解的結(jié)果可以求得此時(shí)下末端執(zhí)行器旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)位置為PA2（xA2+yA2+zA2）T。

再由P'A1和P'A2點(diǎn)位置的幾何關(guān)系可以得到P'A1的坐標(biāo)位置為：

圖3 上下末端執(zhí)行器的幾何關(guān)系Fig.3 Upper and lower end effector geometry diagram

同時(shí)由于上末端執(zhí)行器的旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)初始位置為PA1（xA1，yA1，zA1）T，則上末端執(zhí)閉式運(yùn)動(dòng)鏈的其余位置反解為：

綜上所述，公式（14）、（16）是五軸自動(dòng)鉆鉚機(jī)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解的解析式。

3 基于CATIA的位置反解仿真驗(yàn)證

CATIA V5的DMU數(shù)字樣機(jī)功能由專門的模塊完成，能夠完成與物理樣機(jī)同樣的分析、模擬功能，從而減少制造物理樣機(jī)的費(fèi)用及時(shí)間，并能進(jìn)行更多的設(shè)計(jì)方案的驗(yàn)證。

為了驗(yàn)證所自動(dòng)鉆鉚機(jī)反解算法的正確性，在CATIA的DMU仿真功能模塊進(jìn)行相關(guān)仿真驗(yàn)證,其流程如圖4所示。

在CATIA仿真環(huán)境以仿真世界坐標(biāo)系為基坐標(biāo)系，測(cè)得相關(guān)參數(shù)值如下：托架S1到S2距離l12=4420mm，托架S2到S3距離l23=1400mm；上末端執(zhí)行器轉(zhuǎn)軸中心的初始位置坐標(biāo)為PA1（630.35，106.23，2524.891）T，且刀具點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸中心距離為lT1=478.5mm；下末端執(zhí)行器的鐓頭點(diǎn)初始位置坐標(biāo)為Ot（-600.35，637.486，1838.823）T、轉(zhuǎn)軸中心的初始位置坐標(biāo)為PA2（-600.35，637.486，1271.823）T，則鐓頭點(diǎn)距 轉(zhuǎn)軸中心距離為lT2=567mm；托架工作臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)為Ow（2205,-481.27, 1502.977）T。托架工作臺(tái)坐標(biāo)系Ow-XwYw Zw中鉆鉚點(diǎn)P=（-3009.117,533.120,522.966）T和其方向向量O=（-0.0077771,-0. 310949,0.950395）T。計(jì)算得出鉆鉚機(jī)各軸調(diào)整量如表1所示。

根據(jù)以上調(diào)整量，在CATIA中進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，驅(qū)動(dòng)自動(dòng)鉆鉚機(jī)模型的運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)仿真機(jī)制，如圖5所示。

測(cè)得在仿真世界坐標(biāo)系下鉆鉚點(diǎn)、刀尖點(diǎn)和墩頭點(diǎn)的坐標(biāo)值如表2所示。

從以上數(shù)據(jù)分析對(duì)比可以得到：刀尖點(diǎn)、墩頭點(diǎn)與鉆鉚點(diǎn)基本重合，從而驗(yàn)證了自動(dòng)鉆鉚機(jī)反解算法的正確性。

圖4 仿真驗(yàn)證流程圖Fig.4 Simulation flow chart

表1 各軸調(diào)整量

表2 各點(diǎn)坐標(biāo)值 mm

圖5 仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results

4 結(jié)論

（1）基于旋量理論，搭建了自動(dòng)鉆鉚機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。將Paden-Kalan子問題模型引入到運(yùn)動(dòng)學(xué)反解過程中，同時(shí)結(jié)合機(jī)床幾何關(guān)系，獲得了自動(dòng)鉆鉚機(jī)所需調(diào)整量的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解算法。

（2）通過算例驗(yàn)證表明，運(yùn)動(dòng)學(xué)反解算法正確，為后續(xù)進(jìn)一步的鉆鉚機(jī)運(yùn)動(dòng)控制奠定了一定的技術(shù)基礎(chǔ)。

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