張金武，馮 毅，李 文

（華南理工大學 化工機械與安全工程研究所，廣東 廣州510640）

基于一種改進閾值函數(shù)的小波去噪方法研究

張金武，馮 毅，李 文

（華南理工大學 化工機械與安全工程研究所，廣東 廣州510640）

針對傳統(tǒng)的閾值函數(shù)方法和閾值選取方法存在的一些不足，在現(xiàn)有的研究成果基礎上，本文采用了一種改進的閾值函數(shù)方法，既克服了硬閾值函數(shù)的缺點，又減小了軟閾值函數(shù)的偏差。通過MATLAB仿真，得出用本文方法去噪后的信噪比均在37.326以上，高于硬閾值函數(shù)的37.164和軟閾值函數(shù)的37.265；均方差均在5.680以下，低于硬閾值函數(shù)的5.787和軟閾值函數(shù)的5.720，說明本文改進的閾值函數(shù)方法去噪效果優(yōu)于軟、硬閾值函數(shù)，適用于含噪信號的分析和處理。

小波閾值去噪；MATLAB仿真；信噪比；均方誤差

聲音信號和圖像信號的輸入、采集、處理的每一個環(huán)節(jié)以及輸出結果的全過程都不可避免的受到噪聲的影響[1]。噪聲一般都是隨機信號，是不可預測的，如何剔除聲音信號中的噪聲，一直是信號處理過程中的重要研究內容。一般的去噪方法有線性濾波和非線性濾波，即把原始數(shù)據(jù)對應通過算術運算和邏輯運算得到濾波結果，這兩種方法都會使得變換后的熵增高，而且信號的相關性也難以得到[2]。小波變換的低熵性、多分辨特性、去相關性使其在信號去噪方面占據(jù)了很大的優(yōu)勢，它的成果在語聲人工合成、天體識別以及機器視覺等眾多領域應用廣泛。

在眾多的小波去噪方法中，Donoho提出的閾值方法[3]最常用，該方法計算量小，實現(xiàn)簡單，但也存在一定的缺陷。硬閾值方法對較大的小波系數(shù)不進行處理，將較小的小波系數(shù)置零，這就造成了門限閾值處的不連續(xù)，在重構信號時容易產生震蕩[4]；而軟閾值方法是把較大的小波系數(shù)均減去一個常數(shù)，導致重構信號時產生較大的均方差[5-7]?；诖耍闹刑岢隽艘环N改進的閾值函數(shù)方法，既克服了硬閾函數(shù)的缺點，又減小了軟閾值函數(shù)的偏差。

1 小波閾值聲音去噪方法

一個含噪聲的一維信號模型可以表示為 f（t）=s（t）+σe（t），其中s（t）是原始信號，f（t）是含噪聲信號，e（t）為噪聲。由于小波變換是線性變換，所以對f（t）進行小波變換后，得到的小波系數(shù)分別對應著原始信號和噪聲信號。因此就可以利用相應的數(shù)學工具構造某種特定的系數(shù)選擇方式，最大限度的把由噪聲變換所得的小波系數(shù)剔除，把原始信號變換所得小波系數(shù)保留下來，再進行信號重構得到去噪后的信號。所以，去噪的關鍵步驟之一就是對小波系數(shù)的量化處理。常用的方法有基于模極大值去噪法，平移不變量法，閾值法。

1.1 小波閾值去噪原理

一般情況下，含噪信號經過小波分解后，噪聲的系數(shù)通常要比信號的系數(shù)小。因此就可以選定一個合適的數(shù)λ作為閾值，若小波系數(shù)大于這個值，就認為這個系數(shù)是由信號引起的，系數(shù)則保留下來；若小波系數(shù)小于這個值，便認為這個系數(shù)是由噪聲引起的，剔除這部分系數(shù)[8-10]。因此，信號的降噪過程可以按照下列方法進行：首先對含有噪聲的信號S進行小波分解，三層分解過程如圖1所示，則分解噪聲所得到的小波系數(shù)通常在CD1、CD2、CD3。這樣一來，就可以設定一個門限值，對這些小波系數(shù)進行處理，再進行小波逆變換重構過程，就可以達到降噪的目的。

圖1 三層小波分解示意圖

綜上，小波閾值去噪大致可以分為以下3個步驟[11]：1）小波分解：分解含噪信號得到各層的小波系數(shù)；2）閾值量化：對每一層的高頻小波系數(shù)進行處理，得到估計的小波系數(shù)；

3）信號重構：根據(jù)低頻小波系數(shù)和估計的高頻小波系數(shù)，進行一維信號小波重構。

為了得到更好的降噪效果，選取合適小波和分解層數(shù)，合適的閾值和量化方法是至關重要的，往往需要通過大量的仿真實驗來對這些方法進行實驗并進一步改進，來使得去噪方法具有較好的通用性。

1.2 小波閾值函數(shù)的選取

1.2.1 硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)

閾值函數(shù)的選取在重構信號的過程是起著至關重要的作用，Donoho提出了如下兩種閾值函數(shù)，這兩種閾值函數(shù)去噪法在工程中得到了廣泛的應用。

其中sign（n）為符號函數(shù)，其表達式如下：

式中λ為門限閾值，ωj，k為原始信號經小波變換后所得的小波系數(shù)，ω?j，k為估計的小波系數(shù)。兩種閾值函數(shù)的示意圖如下，從圖中我們可以看出，硬閾值函數(shù)在門限閾值處是不連續(xù)的，這將使得重構信號產生震蕩；軟閾值函數(shù)雖然連續(xù)，但經過處理的小波系數(shù)與原信號小波系數(shù)存在固定的偏差，重構之后聲音信號可能會產生一定程度的失真。

圖2 軟、硬閾值函數(shù)示意圖

1.2.2 改進的小波閾值函數(shù)

為了獲得更好的去噪效果，諸多學者對閾值函數(shù)提出了改進，有學者提出了一種軟硬閾值折衷函數(shù)，對上文的量化方法定義作稍微的修改，引入新的定義如下：

式中，0≤a≤1，當a取0時，上式便成為硬閾值方法；取1時成為軟閾值方法。雖然該方法對軟硬閾值函數(shù)進行了折衷 ，但其卻同時具備了軟硬閾值法的缺點?；谙嚓P文獻中改進閾值函數(shù)的思想[12]，本文對折衷法進行了改進，改進的閾值函數(shù)如下：

式中，0≤a≤0.1，a的取值上限做適度微調，可能會取得更好的去噪效果，當a=0時，該式即為軟閾值函數(shù)。由小波變換去噪的知識可知，較小的小波系數(shù)也是由有用信號和噪聲信號構成的，只是有用信號對較小的小波系數(shù)貢獻小，上述幾種閾值方法中均將較小的小波系數(shù)直接置零，這都使得有用信號產生了一定的損失。文中，將較小的小波系數(shù)乘以一個較小的常數(shù)，這就保留了小波系數(shù)中對應的部分有用信號，對于較大的小波系數(shù)，處理方法與軟閾值函數(shù)類似，但并不是直接減去門限閾值。該方法既有連續(xù)性，又一定程度上降低了重構信號時產生的均方差，具有較好的降噪效果。其函數(shù)圖像如圖3所示。

圖3 改進閾值函數(shù)示意圖

1.3 閾值的選取

閾值的估計也是去噪過程當中的一個重要環(huán)節(jié)，閾值選取過大，則在量化過程中較多有用信號將被舍棄；閾值選取過小，則去噪不夠徹底。通常有4種可供選擇的估計方法[13]：

2）自適應閾值：自適應閾值是基于閾值必須能隨著小波系數(shù)的變化而改變的思想提出來的。自適應閾值取為，其中t為給定閾值的似然估計。

3）啟發(fā)式閾值：采用固定和自適應閾值方法的結合。設M為小波分解某一層所有的N個小波系數(shù)的平方和，令m=（M-N）/N，n=（log2N）1.5，則混合閾值λb為：

4）極大極小閾值：該方法采用的也是一種固定的閾值。

在實際工程應用中，往往對固定閾值進行適度改進，有學者以尺度的不同選取每一分解層的固定閾值λj，取，本文將在該方法基礎上進行進一步改進。

2 基于MATLAB的實驗仿真

2.1 去噪效果評價指標

為了比較不同閾值降噪方法的降噪效果，此處引入如下兩種評價指標。

1）信噪比[14]：信噪比常用來作為去噪效果的判斷依據(jù)。國際上信噪比的單位是分貝（dB），信噪比通常定義為:SNR=10log

2）均方誤差[15]：

2.2 實驗仿真

文中的仿真實驗對象是leleccum信號，采樣點數(shù)為1 024，并加入高斯白噪聲形成待處理的信號，用 db3小波進行 5層分解處理，閾值取 λj=，符合噪聲對應的高頻小波系數(shù)隨著分解層次的增大而減小的規(guī)律，其中dj為第j層高頻小波系數(shù)。在此說明，這里的閾值選取并不是最優(yōu)的，如果閾值選取恰當，則更能體現(xiàn)出本文所提方法的優(yōu)越性。對該信號分別進行軟、硬閾值和改進閾值方法去噪實驗，實驗中參數(shù)a的值分別選0.01，0.04，0.07，0.10，實驗結果如圖4圖5所示。

通過仿真圖可以看出，用改進的閾值函數(shù)處理信號后進行小波重構比其他兩種方法更加接近原信號，因而能更好地還原原始信號所包含的信息。為了更加精確評價去噪效果，分別計算上述方法的信噪比和均方誤差，計算結果如表1所示。

3 結 論

文中首先對小波閾值去噪的基本原理進行了分析，并進一步闡述了其一般步驟，然后在介紹閾值函數(shù)和閾值選取的基本類型的基礎上，綜合分析了硬閾值和軟閾值函數(shù)方法的不足，采用了一種新的閾值取法，并提出了閾值函數(shù)改進方法，該方法繼承了軟閾值函數(shù)連續(xù)性的優(yōu)點，能更加真實地還原原信號。

最后通過MATLAB仿真實驗，對比去噪效果圖和評價指標（SNR、MSE）可知，相比傳統(tǒng)閾值函數(shù)，本文提出的新閾值函數(shù)得到的信噪比更大，均方誤差更小，因此具有更好的去噪效果。

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圖4 軟、硬閾值函數(shù)去噪效果圖

圖5 改進閾值函數(shù)去噪效果圖

表1 3種閾值函數(shù)的去噪效果比較

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Research on wavelet denoising method based on an improved threshold function

ZHANG Jin-wu，F(xiàn)ENG Yi，LI Wen
（Institute of Chemical Machinery and Safety Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China）

In view of the disadvantages of the traditional threshold function method and the threshold selection method，this paper proposes an improved threshold function method based onexisting research results，which not only overcomes the shortcomings of the hard threshold function，but also reduces the deviation of the soft threshold function.By conducting MATLAB simulation experiment，we conclude that the SNR of the method used in this paper is more than 37.326，which is higher than 37.164 ofthe hard threshold function and 37.265 of the soft threshold function；the MSE is below 5.680，which is less than 5.787 of the hard threshold function and 5.720 of the soft threshold function，the result shows that denoising effect of the improved threshold function is better than the traditional methods，and it is suitable for the noisy signal analysis and processing.

wavelet threshold denosing；MATLAB simulation；SNR；MSE

TN912.3

A

1674-6236（2017）09-0137-04

2016-05-30稿件編號：201605280

張金武（1990—），男，江西南昌人，碩士研究生。研究方向：機械設備的故障診斷。