張英琪胡偉西南財經(jīng)大學(xué)保險學(xué)院

我國住房反向抵押貸款的長壽風(fēng)險分析
——基于Black-Scholes期權(quán)定價方法

張英琪胡偉西南財經(jīng)大學(xué)保險學(xué)院

一、背景介紹

自新中國成立以來，第一個五年經(jīng)濟(jì)計劃后，中國人口死亡率由1949年的20‰下降到1957年的10.8‰。在改革開放后，我國人口死亡率從1970年的7.6‰下降到2013年的5.86‰。中國人的平均預(yù)期壽命由1981年的67.77歲上升至2010年的74.83歲，且平均預(yù)期壽命延長的趨勢仍在繼續(xù)。

上個世紀(jì)80年代中期后，老年人口比重每年持續(xù)增加。根據(jù)世界衛(wèi)生組織（WHO）的定義：“一個國家65歲以上的人口占總?cè)丝诘?%以上（或60歲以上的人口占總?cè)丝诘?0%以上）即稱為老齡化社會，14%以上則稱老齡社會，20%以上則稱超老齡社會?！敝袊?000年時，65歲以上的人口占比就已經(jīng)達(dá)到了7%，截至2014年，我國60周歲及以上人口有21242萬人，占總?cè)丝诘?5.5%，65歲以上的人口占總?cè)丝诘?0.1%，人口老齡化不斷加劇。根據(jù)全國老齡辦的預(yù)測，到2020年，我國老年人口將達(dá)到2.48億，老齡化水平將達(dá)到17%。

綜上所述，在人口老齡化社會背景下，中國的長壽風(fēng)險與日俱增。對個人而言，長壽風(fēng)險是個人在其壽命期限內(nèi)的累計支出超過自身累積財富導(dǎo)致退休金短缺的風(fēng)險。對政府而言，我國政府是養(yǎng)老保險的主要提供者，長壽風(fēng)險會增加養(yǎng)老基金的支出，加重政府的財政負(fù)擔(dān)。

在中國，老年人的收入主要來自兒女的供給、社會養(yǎng)老保險、工作時積累的企業(yè)年金或者職業(yè)年金。由于上個年代的生育政策，我國現(xiàn)在大部分家庭結(jié)構(gòu)是“421”型和“8421”型，隨著二胎政策的開放，家庭結(jié)構(gòu)將走向“422”結(jié)構(gòu)，這使得傳統(tǒng)的家庭養(yǎng)老模式受到?jīng)_擊。企業(yè)年金和職業(yè)年金在我國普及范圍并不廣泛，2015年領(lǐng)取企業(yè)年金的僅有89.7萬人。對于大部分退休老人，收入的主要來源是社會養(yǎng)老保險，可是我國的社會養(yǎng)老保險從現(xiàn)收現(xiàn)付制轉(zhuǎn)向積累制，個人賬戶并未落實，社保基金也面臨巨額缺口。

?圖11953—2013年人口年齡結(jié)構(gòu)和撫養(yǎng)比

因此，在現(xiàn)在的時代背景下，探索新的養(yǎng)老方式，充分利用老年人生命周期內(nèi)的資源，借助于現(xiàn)有的金融和非金融體系，保證老年人的收入，保障老年人的老年生活幸福安康是十分必要的。

2013年，中國部分城市開展了“以房養(yǎng)老”養(yǎng)老產(chǎn)品的試點，該產(chǎn)品借鑒了美國的“以房養(yǎng)老”模式，而美國的“以房養(yǎng)老”模式的本質(zhì)是住房反向抵押貸款。住房反向抵押貸款主要會面臨利率風(fēng)險、長壽風(fēng)險、房價波動風(fēng)險和道德風(fēng)險。本文主要探究在老齡化背景下的中國，“以房養(yǎng)老”的養(yǎng)老模式是否會面臨長壽風(fēng)險。

二、選擇的死亡率情景

截至目前，我國有三張人壽保險生命表，但由于第三張人壽生命表于2017年1月1日正式啟用，故本文選取前兩張生命表即CL（1990-1993）和CL（2000-2003）運(yùn)用期間的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。通過對比2000年、2010年和2013年全國分年齡死亡率，我們發(fā)現(xiàn)十幾年來各年齡階段的死亡率明顯降低，特別是高年齡階段的死亡率下降得更為明顯。對年金類保險來說，沿用CL（2000-2003）會嚴(yán)重低估長壽風(fēng)險。

為了精確地衡量住房抵押反向貸款中的長壽風(fēng)險，我們納入日本死亡率作為參考。眾所周知，中國在擁有自己的第一張生命表之前，用的都是日本生命表，因為就人體內(nèi)在因素而言，中國人和日本人的基因構(gòu)成相似。基于HMD數(shù)據(jù)庫，我們用SPSS軟件，對中國2000年和2010年全國死亡率的數(shù)據(jù)與日本1947至2012年全國死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析，發(fā)現(xiàn)兩國人口死亡率相關(guān)性很強(qiáng)（我國2000年的死亡率與日本1978年和1980年相關(guān)性最高，而2013年死亡率與日本1991年的死亡率相關(guān)性最高）。因此，我們選取日本的人口死亡率作為預(yù)測未來我國人口死亡率變化的參考。

隨后我們進(jìn)一步分析兩國高齡人口死亡率的變化。

我們觀察圖4發(fā)現(xiàn)，隨著日本國內(nèi)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，日本65歲以上的人死亡率經(jīng)歷了一個快速下降到逐步穩(wěn)定的過程。

圖5顯示，最近20年來，中國老齡人口的死亡率呈下降趨勢。而中國是一個發(fā)展中國家，我們的醫(yī)療水平和相關(guān)健康意識都還有提高的余地，死亡率有可能會進(jìn)一步下降，也有可能逐步趨于穩(wěn)定。

在此假設(shè)三個死亡率的情景：情景一是好的情景，即未來死亡率和2000年的年金表中的死亡率一直保持一致；情景二是中等的情景，即中國現(xiàn)在死亡率還處于下降狀態(tài)，未來高齡人群死亡率會和日本2010年時穩(wěn)定的死亡率保持一致；情景三是最差的情景，相對于CL（2000-2003），未來我國高齡人群死亡率會下降一半。

三、房屋反向抵押貸款的期權(quán)定價模型

為了方便研究和考慮到家庭財富代際間傳遞的中國本土文化，我們將研究對象確定為有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款養(yǎng)老產(chǎn)品。

根據(jù)有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款的定義，我們將其視為一種歐式看跌期權(quán)，如果在抵押貸款合同到期時，房屋價值超過貸款人給付給借款人的貸款本息之和，借款人可以選擇償還其所有貸款贖回自有房屋；反之，如果房屋價格低于貸款人給付的貸款本息之和,借款人會放棄執(zhí)行贖回自有房屋的權(quán)利。

我們假設(shè)貸款人支付給借款人貸款的本息之和XeRt=K（R為貸款合同的利率水平），K為期權(quán)的執(zhí)行價格。當(dāng)合同結(jié)束時，如果房屋價格小于貸款人支付給借款人的貸款額度st＜K，借款人在合同到期后不執(zhí)行該期權(quán)；如果房屋價格大于貸款人支付給借款人的貸款額度st＞K，借款人在合同到期后有動機(jī)選擇執(zhí)行期權(quán)。所以，合同結(jié)束時，貸款人收入的現(xiàn)值等于房價期望的現(xiàn)值減去期權(quán)價格，即

根據(jù)等價原則，貸款人在合同生效時一次性支付給借款人的貸款總額等于貸款人在合同結(jié)束時從借款人處得到的收益的現(xiàn)值。為了計算貸款額，我們需要計算抵押房屋未來價格和贖回權(quán)的價值。

在金融市場中，一般都假設(shè)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價格變動服從幾何布朗運(yùn)動。因此我們假設(shè)房價的變化跟股價的變化相同，都服從幾何布朗運(yùn)動

其中：st表示合同已經(jīng)生效t時間長度的房屋價格，

μ表示房屋價格的預(yù)期收益率，

σ表示房屋價格的波動率，

wt表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

根據(jù)前面的分析，我們可以得到貸款人在合同結(jié)束時的收益的現(xiàn)值用公式表現(xiàn)為

由房屋價格服從幾何布朗運(yùn)動：

可求得：

到期具有贖回權(quán)的反向抵押貸款合同中期權(quán)價格為

綜合上述結(jié)果，我們可以得到合同到期貸款人能夠獲得的收益現(xiàn)值（也即借款人在合同生效時最多能夠獲得的一次貸款額度滿足以下公式：

其中：X是合同存續(xù)時間t的函數(shù)，X=X(t)。

X(t)表示擁有贖回權(quán)的借款人在參保t年后死亡，借款人能夠在合同生效時獲得的貸款額度，對于單個借款人的余命是不確定的，是一個隨機(jī)變量。

假設(shè)x歲的借款人的余命為t∈(0,w-x)，借款人合同生效時能夠借到的貸款X(t)，借款人的余命密度函數(shù)為fx(t)，則借款人能借到的貸款期望為L=X(t)×(t)dt。三部分的模型，求解兩種死亡率情景下的住房抵押貸款的一次性支付額。根據(jù)兩種情景下的定價結(jié)果，得到系統(tǒng)性長壽風(fēng)險對住房抵押貸款經(jīng)營的影響。

為了得到某種死亡率情景下，合同生效時借款人能夠獲得的貸款數(shù)額，首先對房屋價格服從的幾何布朗運(yùn)動過程的參數(shù)進(jìn)行估計，然后根據(jù)第三章模型得到不同余命的借款人合同生效時能夠獲得的一次性貸款數(shù)額，最后代入相應(yīng)的死亡率數(shù)據(jù)，得到借款人在合同生效時獲得一次性貸款的期望值。

以下實證分析采用成都市商品房2011年7月到2015年12月銷售價格作為房價數(shù)據(jù)。

四、實證分析

（一）房屋價格函數(shù)的參數(shù)估計

根據(jù)模型關(guān)于房價的假設(shè)，房價服從幾何布朗運(yùn)動：

為了度量系統(tǒng)性長壽風(fēng)險對保險機(jī)構(gòu)經(jīng)營住房反向抵押貸款的影響，我們根據(jù)第

2011年7月2011年8月2011年9月2011年10月2011年11月2011年12月2012年1月2012年2月2012年3月2012年4月2012年5月2012年6月2012年7月2012年8月2012年9月2012年10月2012年11月2012年12月2013年1月2013年2月2013年3月2013年4月2013年5月2013年6月2013年7月2013年8月2013年9月6984 6646 6612 6800 7011 6449 6582 6482 6311 6708 6538 6626 6260 5945 7057 7465 6945 6707 6962 6960 6939 7260 7212 7374 7489 7607 7413 2013年10月2013年11月2013年12月2014年1月2014年2月2014年3月2014年4月2014年5月2014年6月2014年7月2014年8月2014年9月2014年10月2014年11月2014年12月2015年1月2015年2月2015年3月2015年4月2015年5月2015年6月2015年7月2015年8月2015年9月2015年10月2015年11月2015年12月7506 8135 7481 8047 7737 7510 7745 7272 7455 8208 7687 7951 7703 7406 7846 6889 7352 7294 6983 7324 7794 7830 7690 7749 7744 7523 7857

通過表1中成都市商品房2011年7月到2015年12月的銷售價格，根據(jù)Yt性質(zhì)，可估計出房屋價格的預(yù)期收益率μ、房屋價格的波動率σ。

（二）住房反向抵押貸款一次性支付額

根據(jù)生命表的死亡數(shù)據(jù)，求解住房反向抵押貸款一次性支付額，假設(shè)借款人在合同生效的第k+1年內(nèi)死亡，且反向抵押房屋在年末變現(xiàn)，根據(jù)第三部分的模型變換，其在合同生效時刻能夠獲得的一次性貸款可以得到：

如果我們計算一次性貸款額時不考慮具有贖回權(quán)的期權(quán)價格，僅僅考慮合同到期時房屋期望價格的折現(xiàn)值，雖然與合理定價有差距，但是這可以視為

基于死亡率數(shù)據(jù)，住房反向抵押貸款合同的一次性貸款給付L（x）是合同生效后x歲的借款人在以后各年死亡時能獲得的一次性貸款現(xiàn)值在死亡概率下的平均值。

假設(shè)成都市的一位老人從2016年參加住房反向抵押貸款，則2016年初成都商品房價為s0，根據(jù)收集到的成都商品房價格數(shù)據(jù)，則s0=7857，同時設(shè)合同的無風(fēng)險利率r=0.02,合同利率R=0.035。首先根據(jù)上述分析求出，代入相應(yīng)的死亡率數(shù)據(jù)可得到相應(yīng)的房屋反向抵押貸款的定價。本文根據(jù)CL（2000-2003）（男）、日本2010年全國死亡率數(shù)據(jù)（男）和假設(shè)的第三個情景下的生命表，分別計算出相應(yīng)死亡率下，60歲到65歲的老年人在住房反向抵押貸款合同生效時一次性可以獲得的貸款額。為了分析方便，我們此處僅考慮每平方米的住房反向抵押貸款合同在合同生效時刻能夠獲得的一次性貸款額。

由表2可知，在同一張死亡率表下，借款人參保時年齡越大，能夠獲得的一次性貸款越小。這是因為根據(jù)生命表中的死亡率數(shù)據(jù)，年齡越大，其預(yù)期余命越短，從而合同的期限越短，合同期限越短，房屋未來的預(yù)期增值越小，導(dǎo)致借款人年齡越大，其獲得的一次性貸款反而越小。

對比在CL（2000-2003）下和在日本2010年全國不同年齡死亡率表，我們發(fā)現(xiàn)借款人能領(lǐng)取的每平方米一次性住房抵押貸款的差別不大，即使與最差的情景三（死亡率下降了50%）對比，每平方米一次性住房抵押貸款額度都相差不大。這意味著在現(xiàn)有的房屋價格增長情況下，如果中國未來的死亡率和日本一樣，排除醫(yī)療水平有很大的突破的情況，最終高齡人群死亡率收斂于同一值，長壽風(fēng)險將不是住房反向抵押貸款的主要風(fēng)險，并且長壽風(fēng)險在房地產(chǎn)市場中能被很好地分散掉。

年齡60 61 62 63 64 65 66 67 68 69情景一10902.28 10773.56 10648.19 10525.84 10406.54 10290.31 10177.15 10067.15 9960.34 9856.72情景二11324.48 11188.49 11055.72 10925.88 10798.90 10670.98 10547.89 10428.07 10308.86 10193.27情景二與情景一相差百分比3.87% 3.85% 3.83% 3.80% 3.77% 3.70% 3.64% 3.59% 3.50% 3.41%情景三11869.06521 11720.29399 11574.67966 11432.02378 11292.33884 11155.63468 11021.92437 10891.27395 10763.70341 10639.23354情景三與情景一相差百分比8.87% 8.79% 8.70% 8.61% 8.51% 8.41% 8.30% 8.19% 8.07% 7.94%

（三）住房反向抵押定價拓展--房價增長率對長壽風(fēng)險的影響

為了更進(jìn)一步分析房屋價格波動對住房反向抵押貸款面臨的系統(tǒng)性的長壽風(fēng)險的影響，我們假設(shè)住房價格波動率σ不變，μ值分別取不同的值，計算在CL（1990-1993）和CL（2000-2003）下的每平方米住房反向抵押貸款合同的一次性貸款額。在此我們引入自定義的盈利百分比概念：

其中：LJ為按照日本2010年死亡率計算得到的一次性貸款額，LC為按照CL（2000-2003）計算得到的一次性貸款額。

年齡6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6 7 6 8 6 9 u = 0 . 0 1 -3 . 0 8 % -3 . 0 7 % -3 . 0 6 % -3 . 0 5 % -3 . 0 4 % -2 . 9 9 % -2 . 9 5 % -2 . 9 2 % -2 . 8 6 % -2 . 8 0 % u = 0 . 0 1 5 -1 . 6 8 % -1 . 6 7 % -1 . 6 7 % -1 . 6 6 % -1 . 6 6 % -1 . 6 3 % -1 . 6 2 % -1 . 6 0 % -1 . 5 7 % -1 . 5 4 % u = 0 . 0 2 -0 . 2 4 % -0 . 2 4 % -0 . 2 4 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 5 % -0 . 2 6 % u = 0 . 0 2 1 0 . 0 5 % 0 . 0 5 % 0 . 0 4 % 0 . 0 4 % 0 . 0 4 % 0 . 0 3 % 0 . 0 3 % 0 . 0 2 % 0 . 0 1 % 0 . 0 0 % u = 0 . 0 2 5 1 . 2 3 % 1 . 2 2 % 1 . 2 1 % 1 . 2 0 % 1 . 1 9 % 1 . 1 6 % 1 . 1 4 % 1 . 1 2 % 1 . 0 9 % 1 . 0 6 % u = 0 . 0 3 2 . 7 3 % 2 . 7 1 % 2 . 6 9 % 2 . 6 7 % 2 . 6 5 % 2 . 6 0 % 2 . 5 6 % 2 . 5 2 % 2 . 4 5 % 2 . 3 9 %

從表3可以看出，如果我國的人口死亡率朝著日本2010年人口死亡率方向收斂，隨著房價預(yù)期增長率越大，住房反向抵押貸款面臨的長壽風(fēng)險越小，甚至給住房反向抵押貸款提供方帶來長壽機(jī)遇。當(dāng)房價預(yù)期增長率為0.021時，長壽風(fēng)險帶來的影響幾乎可以忽略；當(dāng)房價預(yù)期增長率大于0.021時，其面臨的長壽風(fēng)險會給住房反向質(zhì)押貸款提供方帶來正收益；當(dāng)房價預(yù)期增長率小于0.021時，住房反向質(zhì)押貸款提供方面臨的長壽風(fēng)險會給其帶來損失。

由此可得，住房反向質(zhì)押貸款提供方面臨的風(fēng)險具有交叉作用效應(yīng)。

五、結(jié)論與建議

如果未來房屋價格保持成都市2011年至2015年的增長速度、我國人口死亡率最終收斂于日本穩(wěn)定人口死亡率的狀態(tài)，那么長壽風(fēng)險將不是住房反向抵押貸款面臨的主要風(fēng)險，“以房養(yǎng)老”新型養(yǎng)老方式將會是有效地分散我國老齡化背景下長壽風(fēng)險的手段。

過去的十幾年間，我國的經(jīng)濟(jì)處于繁榮期，房地產(chǎn)市場欣欣向榮，房價波動式地向上增長。根據(jù)國內(nèi)研究表明，我國房價周期與經(jīng)濟(jì)周期同步，在經(jīng)濟(jì)繁榮期，房價會在大背景下有好的增長預(yù)期，可是如果經(jīng)濟(jì)周期進(jìn)入衰退或蕭條期，房價預(yù)期的增長則不可能實現(xiàn)。通過計算可以發(fā)現(xiàn)，在不考慮利率風(fēng)險的情況下，只要房屋價格預(yù)期增長率在2.1%以上，住房反向貸款面臨的長壽風(fēng)險可以被分散；可是如果房價低于2.1%的增長速度，房價波動的風(fēng)險會擴(kuò)大長壽風(fēng)險的影響。因此住房反向抵押貸款的提供方需要清楚地認(rèn)識提供產(chǎn)品時的經(jīng)濟(jì)周期的變化和房價未來預(yù)期的變化帶來的影響，當(dāng)房價預(yù)期增長率低于2.1%時，住房反向抵押貸款的提供方需要重新審核自己的風(fēng)險管理，并進(jìn)行新的資產(chǎn)配置，或者調(diào)整住房反向抵押貸款的定價水平。另外，本文假設(shè)中國未來人口死亡率收斂到日本目前穩(wěn)定的死亡率水平，但是如果未來中國的死亡率因為醫(yī)療水平的重大突破，發(fā)生更大的變化甚至進(jìn)一步降低，低于日本目前的死亡率，那么長壽風(fēng)險對住房反向抵押貸款提供方的影響需要根據(jù)房價預(yù)期增長率的大小具體測算。

本文通過將連續(xù)的模型離散化，引入與中國死亡率關(guān)聯(lián)程度高的日本死亡率作為中國未來死亡率的參考，根據(jù)兩張生命表得出的定價，比較分析長壽風(fēng)險對住房反向抵押貸款提供方的影響；且突出考慮了房價預(yù)期增長率變動時，長壽風(fēng)險對住房反向抵押貸款提供方影響的變化，得出結(jié)論：長壽風(fēng)險的破壞力因房地產(chǎn)市場的行情不同而不同。不足之處是：第一，沒有考慮利率風(fēng)險；第二，沒有考慮房屋土地使用權(quán)到期后需繳納的土地出讓金和房屋的折舊。SIM