徐婷

抽屜原理是德國(guó)數(shù)學(xué)家狄里克雷最早發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用于數(shù)論研究的。后人為了紀(jì)念他，就把抽屜原理叫做狄里克雷重疊原理。即把多于n個(gè)的蘋果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，那么，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。如果把蘋果換成了鴿子，把抽屜換成了籠子，同樣有類似的結(jié)論，所以有時(shí)也把抽屜原理叫做鴿巢原理。不要小看這個(gè)原理，利用它可以解決一些表面看來(lái)似乎很難的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【例1】一個(gè)班里有59名同學(xué)，說(shuō)明其中至少有2名同學(xué)在同一個(gè)星期里過(guò)生日。

【分析與解】把59名同學(xué)看作59個(gè)蘋果，把一個(gè)星期看作一個(gè)抽屜，一年有52個(gè)星期，即52個(gè)抽屜。把59個(gè)蘋果放入52個(gè)抽屜，一定有一個(gè)抽屜里至少放入兩個(gè)蘋果，也就是總有一個(gè)星期里至少有2名同學(xué)過(guò)生日。

【例2】在1米長(zhǎng)的線段上隨意點(diǎn)上5個(gè)點(diǎn)，說(shuō)明至少有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于25厘米。

【分析與解】把1米長(zhǎng)的線段平均分成四段，每段長(zhǎng)25厘米。把每一段看作一個(gè)抽屜，把5個(gè)點(diǎn)看作5個(gè)蘋果，5個(gè)蘋果放入4個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜里至少放入兩個(gè)蘋果，也就是有一段里至少有兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離一定不大于25厘米，所以結(jié)論是成立的。

【例3】有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。請(qǐng)你證明，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。

【分析與解】首先要確定3枚棋子可以有多少種不同的配組情況，可以有“3黑、2黑1白、1黑2白、3白”共4種，即4個(gè)抽屜。把每人的3枚棋子作為一組當(dāng)作一個(gè)蘋果，即有5個(gè)蘋果，比抽屜個(gè)數(shù)多，所以根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里，也就是至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子顏色配組是一樣的。

【例4】上衣和褲子分別有紅、黃、藍(lán)3種顏色，同學(xué)們可以任意選擇上衣和褲子穿上。至少要有幾名學(xué)生，才能保證有兩名學(xué)生穿的上衣和褲子顏色相同？

【分析與解】本題中，我們把上衣和褲子的幾種搭配情況看作抽屜，問(wèn)題就可解決。3種顏色的上衣和褲子的搭配情況有以下9種：紅上衣紅褲子、紅上衣黃褲子、紅上衣藍(lán)褲子、黃上衣紅褲子、黃上衣黃褲子、黃上衣藍(lán)褲子、藍(lán)上衣黃褲子、藍(lán)上衣紅褲子、藍(lán)上衣藍(lán)褲子。把每一種搭配看作一個(gè)抽屜，共9個(gè)抽屜。要保證有兩名學(xué)生穿的上衣、褲子顏色都相同，即要保證有一個(gè)抽屜至少放兩個(gè)蘋果，所以至少要9+1=10（個(gè)）蘋果，也就是說(shuō)至少要有10名學(xué)生，才能保證有兩名學(xué)生穿的上衣和褲子的顏色相同。

【例5】某人步行10小時(shí)，共走了45千米。已知他第1小時(shí)走了5千米，最后1小時(shí)走了3千米，其余各小時(shí)都走了整數(shù)千米。說(shuō)明：在中間的8小時(shí)當(dāng)中，一定存在連續(xù)的2小時(shí)，這人至少走了10千米。

【分析與解】為了明確題目中的數(shù)量關(guān)系，可根據(jù)問(wèn)題的條件找出“蘋果”，構(gòu)成“抽屜”，使問(wèn)題得解。中間8小時(shí)共走了45 5 3=37（千米），把37千米看作37個(gè)蘋果；這8小時(shí)按順序分成4段（第2、3小時(shí)、第4、5小時(shí)、第6、7小時(shí)、第8、9小時(shí)），把這4段看作4個(gè)抽屜。由37=9€？+1知，必有一個(gè)抽屜，至少放有10個(gè)蘋果，即必有一個(gè)連續(xù)的2小時(shí)，這人至少走了10千米。

【例6】用1、2、3這3個(gè)數(shù)字任意寫出一個(gè)2003位數(shù)。從這個(gè)數(shù)中任意截取相鄰的3個(gè)數(shù)字，可以得到許多3位數(shù)。這些3位數(shù)中至少有多少個(gè)是相同的？

【分析與解】因?yàn)槭乔髲倪@個(gè)2003位數(shù)中截取的相鄰的3位數(shù)有多少個(gè)是相同的，所以“蘋果”應(yīng)該是截取的所有3位數(shù)，而“抽屜”應(yīng)該是用1、2、3組成的不同的3位數(shù)的個(gè)數(shù)。在這個(gè)2003位數(shù)中，共能截取出相鄰的3位數(shù)的個(gè)數(shù)有2003 2=2001（個(gè)）。用1、2、3這3個(gè)數(shù)字可以組成的不同的3位數(shù)的個(gè)數(shù)是3€？€？=27（個(gè)）。2001€？7=74（組）……3（個(gè)）。所以在這些3位數(shù)中，至少有75個(gè)是相同的。

【小結(jié)與提示】在抽屜原理的運(yùn)用中，主要考慮三個(gè)數(shù)：蘋果數(shù)、抽屜數(shù)和結(jié)論數(shù)。在解題時(shí)，我們首先要準(zhǔn)確判斷哪個(gè)量代表抽屜，哪個(gè)量代表蘋果，哪個(gè)量代表結(jié)論。當(dāng)題目中沒有直接告訴我們蘋果和抽屜時(shí)，我們就要選取和構(gòu)造蘋果和抽屜，再利用抽屜原理進(jìn)行解答。

【練一練】

1.某校的小學(xué)生年齡最小的6歲，最大的13歲，從這個(gè)學(xué)校中任選幾位同學(xué)就一定保證其中有兩位同學(xué)的年齡相同？

2.證明：任取6個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)。

3.學(xué)校體育用品倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球?，F(xiàn)有66名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，要求每人至少拿一個(gè)球，至多拿2個(gè)球。問(wèn)：至少有多少名同學(xué)所拿的球是完全一樣的？

4.口袋中放有紅、黃、白、黑四種顏色的襪子各10只，只許用手摸，不許用眼看，至少要從口袋中取出多少只襪子，才能保證配成5雙。

5.“華杯”賽獲獎(jiǎng)的87名學(xué)生來(lái)自12所小學(xué)，證明至少有8名學(xué)生來(lái)自同一所學(xué)校。

6.用紅、白、黃三種顏色給一個(gè)3€譶的長(zhǎng)方形中的每一個(gè)小方格隨意涂上一種顏色。n至少為多少時(shí)，才能保證至少有2列涂色的方式完全相同？