支穎， 劉相華，2， 孫濤， 吳志強， 張廣基

(1.東北大學 軋制技術及連軋自動化國家重點實驗室，遼寧 沈陽 110819； 2.東北大學 研究院，遼寧 沈陽 110819)

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變厚度軋制過渡區(qū)的數(shù)學模型

支穎1， 劉相華1，2， 孫濤1， 吳志強1， 張廣基1

(1.東北大學 軋制技術及連軋自動化國家重點實驗室，遼寧 沈陽 110819； 2.東北大學 研究院，遼寧 沈陽 110819)

為了實現(xiàn)變厚度過渡區(qū)軋制形狀尺寸的精確控制，本文提出了四種類型過渡區(qū)，并建立了四種類型過渡區(qū)曲線的數(shù)學模型，分析了差厚板過渡區(qū)軋制中軋輥中心運動軌跡，建立了過渡區(qū)軋制軋件出口水平速度與軋輥垂直壓下速度的匹配關系。帶有直線主導型過渡區(qū)的差厚板應用于上汽集團汽車儀表板橫梁鋼管的制作，取得了良好的減重效果。按照本文給出的理論與方法控制過渡區(qū)厚度，其實測厚度結果與設定值符合很好，其最大偏差為0.056 mm，偏差標準差為0.014 mm。研究結果對加快國產差厚板在汽車輕量化中應用提供了參考。

變厚度軋制；差厚板；過渡區(qū)；曲線模型；速度關系；軋輥中心軌跡

變厚度板生產與應用作為鋼鐵生產領域中一項具有特色的節(jié)能節(jié)材新技術，成為近期本領域的研究熱點[1-2]。冷軋差厚板(tailor rolled blank，TRB)是一種部分取代激光拼焊板(tailor weld blank，TWB)的變厚度板，主要用于汽車輕量化[3-4]。冷軋差厚板與激光拼焊板相比具有明顯的優(yōu)點[5-7]：降低生產成本，沒有焊縫，表面質量好，組織性能均勻性好，過渡區(qū)的長度和形狀可以控制，可根據(jù)沖壓件服役時的受力狀況設計過渡曲線。20世紀90年代差厚板研發(fā)在德國率先開展，所生產TRB板廣泛應用于奧迪、BMW等各種歐系70多種車型[8-9]。國內汽車減重差厚鋼板的開發(fā)處于跟隨國外技術的階段，其使用不如國外普遍。劉相華教授為首的差厚板團隊，于本世紀初開始開展了多項生產變厚度鋼材的研究[10-17]，掌握了軋制差厚板的核心技術，成功開發(fā)出差厚板產品，填補了國內差厚板生產的空白，并已經將所生產的差厚板產品批量供貨用于制作汽車輕量化零部件。差厚板的厚區(qū)與薄區(qū)之間有過渡區(qū)，在差厚板開發(fā)技術中過渡區(qū)的曲線形狀、尺寸控制至關重要，不僅決定了沖壓件成品的整體和局部承載能力，也影響到沖壓生產和模具設計，同時還與軋制過程的控制水平密切相關。本文提出的四種過渡曲線不僅僅具有幾何方面的特征[16]，它的深層意義是為軋制成形過程確定軋輥輥縫調整量提供依據(jù)。其思路是：首先確定出過渡曲線，然后求出能夠獲得此目標曲線所需要的輥縫位移，進而求解出軋件水平速度與軋輥垂直壓下速度的匹配關系，過渡曲線居于非常重要的地位。因此為了實現(xiàn)變厚度過渡區(qū)軋制形狀尺寸的精確控制，建立變厚度鋼板過渡區(qū)數(shù)學模型具有重要的實際意義。

1 變厚度軋制過渡區(qū)類型

差厚板薄區(qū)和厚區(qū)之間有過渡區(qū)，軋制中把輥縫向下壓，軋件由厚變薄，軋件表面形成一條處處斜率小于0的單調下降曲線；反之輥縫向上抬，則軋件由薄變厚，軋件表面形成一條處處斜率大于0的單調上升曲線。這兩類曲線把帶材縱向兩種及以上不同的厚度區(qū)域連接起來，在連接點處光滑吻接、平緩過渡。根據(jù)負載條件對變厚度軋件過渡區(qū)優(yōu)化設計的思想，提出了如下四種類型過渡區(qū)，如圖1所示。通過這四種基本類型的過渡區(qū)的自組合和相互組合，可以得到多種類型的過渡區(qū)。圖1中，(a1)與(a2)互為鏡像，分別代表趨厚軋制和趨薄軋制，下面以趨厚軋制為研究對象來求取趨厚軋制的過渡曲線；所得結果取其鏡像，可得到趨薄軋制的過渡曲線。

1)雙弧主導型過渡區(qū)：過渡區(qū)由兩段弧度小于90°的相切圓弧在相切處反向光滑連接而成，如圖1中(a1)和(a2)所示；這種過渡區(qū)的優(yōu)點是其與薄區(qū)和厚區(qū)在連接點處相吻接，過渡平滑無突變，適用于較短的過渡區(qū)。

2)直線主導型過渡區(qū)：過渡區(qū)由一次曲線光滑連接而成，在直線與直線相交處加修圓處理，如圖1中(b1) 和(b2)所示；這種過渡區(qū)的形狀比較簡單，實現(xiàn)難度小，較長、較短的過渡區(qū)均可適用。

3)凹弧主導型過渡區(qū)：過渡區(qū)由一段弧度小于90°的圓弧光滑連接而成，在凹弧與直線相交處加修圓處理，如圖1中(c1) 和(c2)所示；這種過渡區(qū)的與雙弧主導型過渡區(qū)相比能節(jié)省金屬，但實現(xiàn)難度較大，適用于較短的過渡區(qū)。

4)冪函數(shù)主導型過渡區(qū)：過渡區(qū)由高次曲線光滑連接而成，典型例可取為三次冪函數(shù)曲線，如圖1中(d1) 和(d2)所示。這種過渡區(qū)能夠適應不同的形狀要求，實現(xiàn)難度適中，適用于較長的過渡區(qū)。

圖1 變厚度軋制四種類型過渡區(qū)示意圖Fig.1 Schematic diagram on four types of transition zone for variable gauge rolling

2 變厚度軋制過渡區(qū)曲線數(shù)學模型

2.1 四種過渡區(qū)曲線數(shù)學模型

圖2所示為四種類型的過渡曲線在直角坐標系中的示意圖，取左手坐標系，軋制方向指向右邊，坐標原點取在過渡區(qū)左端點，按照過渡曲線光滑、連續(xù)的要求，依據(jù)求解條件有

(1)

(2)

由此可以推導圖2中的4種類型的過渡曲線。

2.1.1 雙弧主導型過渡曲線數(shù)學模型

如圖2(a)所示，選取半徑R相等的兩段圓弧在b點相切，差厚板的薄區(qū)與過渡曲線在a點相連，連接點光滑平緩，差厚板的厚區(qū)與過渡曲線在d點相連，連接點光滑平緩；c點、e點分別為兩段圓弧的圓心。為處理方便，坐標原點取在薄區(qū)與過渡曲線相連的a點，yd為厚區(qū)與薄區(qū)的厚差之半。設過渡區(qū)的長度為l，薄區(qū)和厚區(qū)的厚度分別為ha和hb，依據(jù)求解條件能夠得出

(3)

(4)

(5)

圖2 四種類型的過渡曲線在直角坐標系中的示意圖Fig.2 Schematic diagram on four types of curve of transition zone in cartesian coordinate system

(6)

式(5)、(6)即為雙弧主導型過渡曲線的數(shù)學模型表達式。按照這樣的曲線連接厚區(qū)與薄區(qū)，能夠保證連接點連續(xù)、光滑、平緩。

2.1.2 直線主導型過渡曲線的數(shù)學模型

如圖2(b)所示，過渡曲線在a點與差厚板的薄區(qū)相連，在b點與差厚板的厚區(qū)相連。設過渡區(qū)的長度為l，依據(jù)求解條件能夠得出

(7)

為了保證過渡曲線的光滑性，考慮對直線主導型過渡曲線中直線與直線相交之處需加修圓處理，如圖3所示。設過渡區(qū)直線與厚區(qū)相交處修圓的圓弧方程為

(x-p)2+(y-q)2=R02

(8)

式中：s為初始設定值，經推導可得

(9)

設過渡區(qū)直線與薄區(qū)相交處修圓的圓弧方程為

(x-e)2+(y-f)2=R02

(10)

式中：s為初始設定值，經數(shù)學推導可得

(11)

由此整理可以得到能夠保證連接點連續(xù)、光滑、平緩的直線主導型過渡區(qū)曲線的數(shù)學模型表達式為

(12)

當

(13)

(14)

圖3 直線主導型過渡曲線修圓示意圖Fig.3 Schematic diagram of rounding on curve of linear transition zone

2.1.3 凹弧主導型過渡曲線的數(shù)學模型

如圖2(c)所示，取圓弧曲線的一般形式為

(x-xc)2+(y-yc)2=R2

(15)

依據(jù)求解條件可得

(16)

為了保證過渡曲線的光滑性，考慮對凹弧主導型過渡曲線中圓弧與直線相交之處需加修圓處理，如圖4所示。設過渡區(qū)直線與厚區(qū)相交處修圓的圓弧方程為

(x-g)2+(y-k)2=R12

(17)

式中：t為初始設定值，經幾何數(shù)學推導可得：

(18)

由此整理可得能夠保證連接點連續(xù)、光滑、平緩的凹弧主導型過渡區(qū)曲線的數(shù)學模型表達式為

(19)

(20)

圖4 凹弧主導型過渡曲線修圓示意圖Fig.4 Schematic diagram of rounding on curve of concave transition zone

2.1.4 曲線主導型過渡曲線的數(shù)學模型

如圖2(d)所示，選擇三次冪函數(shù)曲線作為曲線主導型過渡曲線，取三次冪函數(shù)曲線的一般形式為

y=c0+c1x+c2x2+c3x3

(21)

由圖2(d)所示的坐標系以及連接點光滑平緩，一階導數(shù)為零，及求解條件能夠得出曲線主導型過渡曲線采用三次冪函數(shù)曲線時的數(shù)學模型表達式：

(22)

代入不同的參數(shù)，可以得到具體的表達式。按照這樣的曲線連接厚區(qū)與薄區(qū)，能夠保證連接點連續(xù)、光滑、平緩。

2.2 軋輥中心運動軌跡

變厚度軋制過程有兩種類型：趨薄軋制和趨厚軋制，如圖5。其中趨厚軋制時軋輥逐漸抬起，輥縫隨之加大，軋件出口厚度逐漸變大；而趨薄軋制時軋輥逐漸壓下，輥縫隨之減小，軋件出口厚度逐漸變小，直到完成過渡區(qū)軋制。過渡區(qū)的形狀尺寸與輥縫的變化規(guī)律有關，上下兩個工作輥在垂直方向分離或者靠近的速度及其與軋件水平速度的關系決定了過渡區(qū)的形狀尺寸。

圖5 簡單軋制與變厚度軋制示意圖Fig.5 Schematic diagram of variable gauge rolling

在變厚度軋制過程中，軋輥除轉動外，只在垂直方向有上下移動形成垂直位移；而軋件中心線則是水平方向有位移，而垂直方向無位移。軋輥中心的運動軌跡極其簡單，就是一條垂直于軋件表面的直線(因為沒有水平移動)，移動距離等于壓下量Δh的一半。為研究軋輥中心與軋件過渡區(qū)輪廓曲線的相對位置，取原點在變形區(qū)出口的軋件幾何中心，速度等于軋件出口速度的移動坐標系，以此研究軋輥的運動軌跡。如圖6所示，虛線為趨厚軋制過程軋輥中心位置曲線，表示了軋輥中心在垂直方向的位移隨軋制時間的變化軌跡。

軋輥中心的垂直位移速度不是常數(shù)，可以有兩種類型：1)先以一定的加速度到最大速度后再以一定的加速度減速到零；2)以一定的加速度加速到最大速度后，有一段等速(或者按照過渡曲線形狀來控制速度)，再以一定的加速度減速到零，如圖7所示。這兩種類型的選擇，可以根據(jù)壓下執(zhí)行機構的動作參數(shù)液壓缸響應頻率與變厚度范圍來確定。當液壓缸響應頻率足夠大，且變厚度范圍不是很大的情況下，軋輥中心的垂直位移速度可以近似假設為勻速，或可以用軋輥垂直位移

平均速度來代替。

圖6 趨厚軋制過程軋輥中心位置曲線示意圖Fig.6 Schematic diagram of position curve of roll center during upwards rolling

除此之外，軋輥中心的垂直位移速度要滿足在規(guī)定的時間點軋輥中心到達指定的位置，即軋輥垂直速度與軋件水平速度的匹配才能控制過渡區(qū)曲線形狀尺寸。

圖7 變厚度軋制過程軋輥中心垂直速度兩種類型示意圖Fig.7 Schematic diagram of two kinds of vertical velocity of roll center during variable gauge rolling

2.3 軋件水平速度與軋輥垂直速度的匹配關系

在等厚度穩(wěn)定軋制過程中，質量守恒定律通常被表述為秒流量相等原則。劉相華等[17]已經論證了變厚度軋制時秒流量相等關系不再成立，秒流量差與軋輥垂直方向剛性位移速度有關。在軋輥旋轉角速度給定的條件下，趨厚軋制時秒流量逐漸增大，趨薄軋制時秒流量逐漸減小。變厚度軋制過程，質量守恒定律可以表述為變形區(qū)及各個微元體發(fā)生塑性變形時體積保持不變，但不能表述為秒流量相等。

變厚度軋制過程中，過渡區(qū)金屬的流動規(guī)律為：沿軋件水平方向入口體積等于軋件水平方向軋件水平方向出口體積與上下兩個工作輥在垂直方向分離或者靠近帶來的變性區(qū)體積增加或減少量之和。對于圖8所示的趨厚軋制過渡區(qū)軋制中，忽略軋件寬展，由于軋制對稱性，取任意1/2橫斷面金屬為研究對象，流入軋件入口斷面AA′的金屬并沒有完全從BB′斷面流出，有一部分金屬留在了變性區(qū)A′A″B″B′，這部分的體積ΔQ可表示為

ΔQ=0.5ΔlvyΔt

(23)式中：vy為軋輥在垂直方向的剛性位移平均速度，Δl為過渡區(qū)變形區(qū)接觸弧長，Δt為軋件過渡區(qū)上任意橫斷面金屬由軋制入口到軋制出口經歷的時間。

圖8 變厚度軋制秒流量關系示意圖Fig.8 Schematic diagram of constant mass flow during upwards rolling

變厚度軋制體積不變定律可描述[17]為

h0v0=hxvx+kΔlvy

(24)

由變厚度過渡區(qū)軋制接觸弧計算公式[17]為

(25)

趨厚軋制時，k=+1；趨薄軋制時，k=-1； Δh=h0-hx，h0為過渡區(qū)軋制軋件入口厚度，hx為過渡區(qū)軋制軋件出口厚度，θ為變厚度軋制楔形角，α為軋件和軋輥最先接觸點和軋輥中心連線與軋輥中心線構成的圓心角，R為軋輥半徑，v0為過渡區(qū)軋制軋件入口處水平速度，vx為軋件在過渡區(qū)軋制出口的水平速度。將式(25)代入式(24)可得軋件在過渡區(qū)軋制出口的水平速度與軋輥垂直方向速度的匹配關系為

h0v0=hxvx+kR(α-kθ)vy

(26)

(27)

(28)

在關系式(28)中，變厚度軋制楔形角θ是決定軋件在過渡區(qū)軋制出口的水平速度與軋輥垂直方向速度的匹配關系的主要因素。不同類型過渡區(qū)曲線對應不同的軋制楔形角θ，而tanθ即為軋件出口處過渡區(qū)曲線在這點的切線斜率即導數(shù)。在過渡區(qū)軋制軋件出口處任一點滿足tanθ=f′(x)。

變厚度板過渡區(qū)軋制的速度變量有3個：軋件入口處水平速度v0、軋輥在垂直方向的剛性位移平均速度vy、軋件出口的水平速度vx。為了獲得不同類型曲線的過渡區(qū)，必須合理匹配這3個速度，其匹配方式通常有兩種。第一種方式：設定軋件入口處水平速度

v0在過渡區(qū)段軋制采用降速(趨薄軋制)或升速軋制(趨厚軋制)；在滿足液壓缸響應頻率的條件下，給定軋輥在垂直方向的壓下或抬起平均速度vy；獲得不同類型曲線的過渡區(qū)軋件出口的水平速度vx分布。第二種方式：設定軋件入口處水平速度v0在過渡區(qū)段軋制時保持勻速；在滿足液壓缸響應頻率的條件下，給定軋輥在垂直方向的壓下(趨薄軋制)和抬起(趨厚軋制)平均速度vy；獲得不同類型曲線的過渡區(qū)軋件出口的水平速度vx分布。下面以趨薄軋制為例，分析采用第一種方式過渡區(qū)軋制中3個速度變量的匹配關系。

圖9 過渡區(qū)軋制軋件入口水平速度設定值Fig.9 The set value of rolling level speed at the entrance of the transition zone

圖10 趨薄軋制過渡區(qū)軋件出口水平速度與軋輥垂直速度的關系(入口速度降速)Fig.10 The matching relation between the rolling speed of workpiece and vertical velocity of roller pressure in the transition zone during upwards rolling (entrance speed is drop)

設過渡區(qū)長度100mm，厚區(qū)厚度2.0mm，薄區(qū)厚度1.0mm。過渡區(qū)軋制軋件入口水平速度v0采用如圖9所示的降速方式，軋輥半徑為110mm，軋輥在垂直方向的壓下平均速度分別取為0.001、0.005、0.01、0.05、0.1m/s，根據(jù)式(28)及表1數(shù)據(jù)可分別計算得到如圖10所示的兩種類型過渡區(qū)軋制軋件出口水平速度與軋輥垂直方向速度的匹配關系。從圖10中可以看出，對于同一類過渡區(qū)，隨著軋輥垂直壓下平均速度的增加，過渡區(qū)軋件出口的水平速度也隨之增加；對于相同的軋輥垂直壓下平均速度，當軋輥壓下平均速度為0.01、0.05、0.1m/s時，隨著趨薄軋制的進行，過渡區(qū)軋件出口的水平速度隨軋制軋件入口水平速度的減少而呈增加趨勢；當軋輥壓下平均速度為0.001m/s和0.005m/s時，過渡區(qū)軋件出口的水平速度保持相對勻速或略有增加趨勢；對于不同類型曲線的過渡區(qū)，其軋件出口水平速度的增加趨勢不同。圖11所示為軋件入口采用如圖9所示的降速方式，軋輥垂直壓下速度為0.004m/s時，趨薄軋制直線主導型過渡區(qū)軋件出口水平速度計算與實測值對比，從圖中可看出，計算值與實際值吻合較好。

2.4 變厚度軋件過渡區(qū)尺寸控制的實測值與設定值對比分析

變厚度軋制過渡區(qū)的設計與控制理論在工業(yè)化生產中得到應用，圖12(a)所示為某廠生產的帶有一個直線主導型過渡區(qū)和兩個厚度區(qū)的差厚板的尺寸示意圖[9]。差厚板的厚區(qū)的厚度為2 mm，長度為82 mm，薄區(qū)的厚度為1 mm，長度為681.3 mm，過渡區(qū)長度為100 mm，采用的過渡區(qū)類型為直線主導型。圖12(b)所示經差厚板沖壓成形后的儀表板橫梁鋼管的實物及示意尺寸，此差厚管相比之前的等厚壁管節(jié)材減重42%，實現(xiàn)了儀表板橫梁鋼管的壁厚差異化和結構輕量化。

圖11 趨薄軋制過渡區(qū)軋件出口水平速度計算與實測值對比(直線主導型)Fig.11 Comparison of calculated and measured values of the rolling speed of workpiece in the linear transition zone during upwards rolling

圖12 直線主導型過渡區(qū)的差厚板及差厚管產品尺寸Fig. 12 Dimension of TRB and the finished product CCB with linear transition zone

實際測量了所生產的帶有直線主導型的多個差厚板樣件，將不同過渡區(qū)位置的厚度尺寸的實際測量值與本文的理論計算值(設定值)進行比較，如圖13所示。按照本文給出的理論與方法控制過渡區(qū)厚度，其實測厚度結果與設定值符合很好，其最大偏差為0.056 mm，偏差標準差為0.014 mm。

圖13 直線主導型過渡區(qū)厚度控制理論計算值與實測值對比Fig.13 Comparison of calculated and measured values of workpiece thick on linear transition zone

3 結論

提出了四種類型變厚度過渡區(qū)，建立了四種過渡區(qū)曲線的函數(shù)方程。分析了變厚度過渡區(qū)軋制過程軋輥中心運動軌跡，并獲得了過渡區(qū)軋制軋件出口水平速度與軋輥垂直壓下速度的匹配關系。

1) 帶有直線主導型過渡區(qū)的差厚板應用于上汽集團汽車儀表板橫梁鋼管的制作，取得了良好的減重效果；

2)按照本文給出的理論與方法控制過渡區(qū)厚度，其實測厚度結果與設定值符合很好，其最大偏差為0.056 mm，偏差標準差為0.014 mm。

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Investigation of mathematical model for the transition zone of tailor rolled blank for variable gauge rolling

ZHI Ying1， LIU Xianghua1，2， SUN Tao1， WU Zhiqiang1， ZHANG Guangji1

(1.State Key Laboratory of Rolling and Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China; 2.Research Institute of Science and Technology， Northeastern University， Shenyang 110819， China)

To achieve precise control in rolling the transition zone of tailor rolled blanks， we propose four types of transition zone and derive four equations for the transition zone curves. We analyzed the trajectory of the roll center and established the matching relation between the rolling speed of the workpiece and the vertical velocity of the roller pressure in the transition zone of tailor rolled blanks. We applied a tailor rolled blank with a linear transition zone to the manufacturing of crossbeams for car meter panels， achieving a good reduction in weight. Based on the theory and method used in our study， we were able to control the thickness of the transition zone. The measured thickness was in good agreement with the set value， the maximum deviation was 0.056 mm， and its standard deviation was 0.014 mm. Thus, the research results provide a reference for promoting the application of tailor rolled blanks in domestic automobile manufacturing.Keywords：variable gauge rolling; tailor rolled blank; transition zone; curve model; trajectory of the roll center

2016-07-21.

日期：2017-03-17.

國家自然科學基金項目(51504062，51374069)；國家國際科技合作專項資助項目(2015DFA50780).

支穎(1978-)， 女， 講師， 博士； 劉相華(1953-)， 男， 教授，博士生導師.

支穎，E-mail: zhiying@ral.neu.edu.cn.

10.11990/jheu.201607054

TG335.5

A

1006-7043(2017)04-0602-08

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