諶 應(yīng) 瓊

(西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715)

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不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)(y+2)(y+3)的整數(shù)解

諶 應(yīng) 瓊

(西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 400715)

運(yùn)用Pell方程、遞歸數(shù)列、同余式及平方(非)剩余等一些初等方法以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，證明一種不定方程無(wú)正整數(shù)解，并得到了其全部整數(shù)解。

不定方程；整數(shù)解；遞歸數(shù)列；分類討論；平方剩余

對(duì)于形如mx(x+1)(x+2)(x+3)=ny(y+1)(y+2)(y+3),(m,n)=1,m,n∈N+的不定方程，國(guó)內(nèi)外學(xué)者一直表現(xiàn)出極大的研究興趣，尤其是對(duì)于形如x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)的不定方程[1-8]。1971年，Cohn曾證明，當(dāng)D=2時(shí)不定方程只有正整數(shù)解(x,y)=(5,4)[1]。1991年，羅明證明，當(dāng)D=7時(shí)不定方程只有正整數(shù)解(x,y)=(4,2)[3]。2007年，程瑤等人證明，當(dāng)D=11時(shí)沒(méi)有正整數(shù)解[4]。2014年，郭鳳明等人證明，當(dāng)D=13時(shí)沒(méi)有正整數(shù)解[6]。

在此，主要討論D=38時(shí)不定方程的正整數(shù)解以及整數(shù)解的情況，運(yùn)用遞歸數(shù)列、平方(非)剩余等一些初等方法及分類討論的數(shù)學(xué)方法，證明式(1)所示不定方程無(wú)正整數(shù)解，并求此不定方程的全部整數(shù)解。

x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)×
(y+2)(y+3)

(1)

首先將式(1)簡(jiǎn)化成式(2)：

(x2+3x+1)2-38(y2+3y+1)2=-37

(2)

通過(guò)整理知，方程x2-38y2=-37的全部整數(shù)解可以由以下2個(gè)(非結(jié)合)類給出：

(2x+3)2=4xn+5

(3)

(4)

由此推導(dǎo)出有關(guān)變量的關(guān)系式：

xn+1=74xn-xn-1,x0=1,x1=265

(5)

(6)

un+1=74un-un-1,u0=1,u1=37

(7)

vn+1=74vn-vn-1,v0=0,v1=6

(8)

u2n= 2un2-1,v2n= 2unvn

(9)

(10)

un+2h≡-un(moduh),vn+2h≡-vn(moduh)

(11)

(12)

下面將運(yùn)用以上遞推式及分類討論的數(shù)學(xué)思想，證明式(3)與式(4)當(dāng)且僅當(dāng)n=0時(shí)成立。由此得到不定方程(x2+3x+1)2-38y2=-37的全部整數(shù)解，從而得到式(1)的全部整數(shù)解。

1 方程(2x+3)2=4xn+5

在此，討論當(dāng)n為何值時(shí)4xn+5為完全平方數(shù)。

證明 因?yàn)?|n，所以由式(7)、式(8)易知，un≡1(mod 2)，un≡1(mod 4)，u2n≡1(mod 8)，un≡1(mod 3)，vn≡0(mod 3)，5un±152vn≡5(mod 8)，5un±152vn≡5(mod 19)。因此由式(9)可知：

引理2 設(shè)n≡0(mod 4×33×5×7)且n>0，則式(3)不成立。

(1)k≡1(mod 4)。

當(dāng)t≡0,1,2,6,7,8,9,10,13,14,16,17,20,23,27,29,31,32,33,34,36,37,38,39,40,41,43,44,45,48,50(mod 52)時(shí)，令m=2t；

當(dāng)t≡3,4,5,11,18,19,24,25,26,28,35,47,49,51(mod 52)時(shí)，令m=32·2t；

當(dāng)t≡12,21,22,30(mod 52)時(shí)，令m=3·7·2t；

當(dāng)t≡15,42,46(mod 52)時(shí)，令m=5·2t。

故，當(dāng)t(≥1)(mod 52)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51時(shí)，m

(mod 53)=1,2,3,4,7,9,10,11,17,19,21,22,23,24,28,30,31,33,35,36,38,39,40,41,42,44,45,46,47,50,51，對(duì)應(yīng){5um+152vm}(mod 211)=42,149,12,106,110,132,207,205,210,130,129,153,10,165,111,168,22,197,146,7,91,32,167,88,15,75,97,140,135,31,2，它們都是模211的平方非剩余。

根據(jù)式(10)、式 (12)及引理1，有：

4xn+5≡4x2m+5≡152v2m+5(modu2m)

故

從而得知4xn+5為非平方數(shù)，故式(3)不成立。

(2)k≡-1(mod 4)。

當(dāng)t≡1,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,15,17,18,19,22,24,26,27,28,32,33,34,35,36,39,40,42,43,46,49(mod 52)時(shí)，令m=2t；

當(dāng)t≡0,2,9,21,23,25,29,30,31,37,44,45,50,51(mod 52)時(shí)，令m=32·2t；

當(dāng)t≡4,38,47,48(mod 52)時(shí)，令m=3·7·2t；

當(dāng)t≡16,20,41(mod 52)時(shí)，令m=5·2t。

則當(dāng)t(≥1)(mod 52)=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51時(shí)，m

(mod 53)=2,3,6,7,8,9,11,12,13,14,15,17,18,20,22,23,25,29,30,31,32,34,36,42,43,44,46,49,50,51,52，對(duì)應(yīng){5um-152vm}(mod 211)=2,31,135,140,97,75,15,88,167,32,91,7,146,197,22,168,111,165,10,153,129,130,210,205,207,132,110,106,12,149,42,它們都是模211的平方非剩余。

根據(jù)式(10)、式(12)及引理1，有：4xn+5≡-4x2m+5≡-152v2m+5(modu2m)，故：

從而4xn+5為非平方數(shù)，故式(3)不成立。

引理3 若式(3)成立，則必須n≡0(mod 4×33×5×7)。

證明 通過(guò)對(duì)序列{4xn+5}取模來(lái)進(jìn)行證明。此過(guò)程分為3步進(jìn)行，先證明n≡0(mod 15)，再證明n≡0(mod 28)，最后證明n≡0(mod 54)。

第一步：取mod 31，排除n≡1,2(mod 5)，此時(shí)4xn+5≡11,11(mod 31)，剩n≡0,3,4(mod 5)。

以上mod 31是針對(duì)序列{4xn+5}取值，mod 5是因?yàn)槠涫Ｓ嘈蛄兄芷跒?，句中“此時(shí)”后的算式是排除的理由，因?yàn)?1為mod 31的平方非剩余。為節(jié)省篇幅，后面的證明過(guò)程都按這種方式敘述。

取mod 179，排除n≡4(mod 5)，此時(shí)4xn+5≡136(mod 179)，剩n≡0,3(mod 5)。

取mod 1 471，排除n≡3,5,10(mod 15)，此時(shí)4xn+5≡114,1 327,150(mod 1 471)，剩n≡0,8,13(mod 15)。

取mod 4 019，排除n≡8,13(mod 15)，此時(shí)4xn+5≡551,3 750(mod 4 019)，剩n≡0(mod 15)。

第二步：取mod 410 551，排除n≡3,4(mod 7)，此時(shí)4xn+5≡55 495,332 870(mod 410 551)，剩n≡0,1,2,5,6(mod 7)。

取mod 399 601，排除n≡1,5,13(mod 14)，此時(shí)4xn+5≡1 065,56 545,398 842(mod 39 9601)，剩n≡0,2,6,7,8,9,12(mod 14)。

取mod 29，排除n≡8,16,20,23,26(mod 28)，此時(shí)4xn+5≡19,14,3,14,15(mod 29)，剩n≡0,2,6,7,9,12,14,21,22(mod 28)。

取mod 2 969，排除n≡6,22(mod 28)，此時(shí)4xn+5≡1 204,832(mod 2 969)，剩n≡0,2,7,9,12,14,21(mod 28)。

取mod 37，排除n≡1,3(mod 4)，此時(shí)4xn+5≡29,18(mod 37)，剩n≡0,2,12,14(mod 28)。

當(dāng)n≡2,14(mod 28)時(shí)，n≡2,6(mod 8)。取mod 17，排除n≡2,6(mod 8)，此時(shí)4xn+5≡3,7(mod 17)，剩n≡0,12(mod 28)。

當(dāng)n≡12(mod 28)時(shí)，n≡12,26,40(mod 42)。取mod 41，排除n≡12(mod 42)，此時(shí)4xn+5≡3(mod 41)。取mod 43，排除n≡26(mod 42)，此時(shí)4xn+5≡32(mod 43)。當(dāng)n≡40(mod 42)時(shí)，n≡4(mod 6)。取mod 73，排除n≡4(mod 6)，此時(shí)4xn+5≡40(mod 73)。故排除n≡12(mod 28)，剩n≡0(mod 28)。

第三步：取mod 127，排除n≡5,8(mod 9)，此時(shí)4xn+5≡57,3(mod 127)，剩n≡0,1,2,3,4,6,7(mod 9)。

取mod 1 063，排除n≡2,6,7(mod 9)，此時(shí)4xn+5≡842,777,867(mod 1 063)，剩n≡0,1,3,4(mod 9)。

取mod 3 673，排除n≡4,19,21,22(mod 27)，此時(shí)4xn+5≡3 330,387,3 257,1 164(mod 3 673)，剩n≡0,1,3,9,10,12,13,18(mod 27)。

取mod 5 669，排除n≡1,9,12,18(mod 27)，此時(shí)4xn+5≡1 065,5 505,491,170(mod 5 669)，剩n≡0,3,10,13(mod 27)。

取mod 107，排除n≡13,37,40(mod 54)，此時(shí)4xn+5≡63,6,54(mod 107)，剩n≡0,3,10,27,30(mod 54)。

取mod 73，排除n≡4(mod 6)，此時(shí)4xn+5≡40(mod 73)，剩n≡0,3,27,30(mod 54)。

當(dāng)n≡3,27(mod 54)時(shí)，n≡1,3(mod 4)，取mod 37，排除n≡1,3(mod 4)，此時(shí)4xn+5≡29,18(mod 37)，剩n≡0,30(mod 54)。

當(dāng)n≡30(mod 54)時(shí)，n≡12,30,48,66,84(mod 90)。由于n≡0(mod 15)，故可排除n≡12,48,66,84(mod 90)。取mod 89，排除n≡30(mod 90)，此時(shí)4xn+5≡19(mod 89)，剩n≡0(mod 54)。

綜上所述，若式(3)成立，則必須使n≡0(mod 15)，且n≡0(mod 28)，n≡0(mod 54)，故有n≡0(mod 3 780)。

引理4 設(shè)n≡0(mod 4×33×5×7)且n>0，則(4)式不成立。

從而證明式(4)不成立。

引理5 若式(4)成立，則必須n≡0(mod 4×33×5×7)。

證明 仿引理3的證明過(guò)程，分為3步進(jìn)行，先證明n≡0(mod 5)，再證明n≡0(mod 28)，最后證明n≡0(mod 27)。

因?yàn)閚≡0,2(mod 4)，排除n≡7,15,21(mod 28)，剩n≡0,14(mod 28)。

綜上所述，若式(4)成立，則必須n≡0(mod 5)，且n≡0(mod 28)，n≡0(mod 27)，故有n≡0(mod 3 780)。

3 討 論

定理1 不定方程

(x2+3x+1)2-38y2=-37

(13)

的全部整數(shù)解是(x,±y)=(0,1),(-3,1),(-1,1),(-2,1)。

證明 由引理2和引理3知，如果式(3)成立，則必須n=0，則有x=0,-3。此時(shí)給出方程(13)的前2組解：(x,±y)=(0,1),(-3,1)。由引理4和引理5知，如果式(4)成立，則必須n=0，則有x=-1,-2。此時(shí)給出不定方程式(13)的后2組解：(x,±y)=(-1,1),(-2,1)。

定理2 不定方程

x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)×

(y+2)(y+3)

(14)

無(wú)正整數(shù)解，且其全部整數(shù)解是(x,y)=(0,0),(0,-3),(0,-1),(0,-2),(-3,0),(-3,-3),(-3,-1),(-3,-2),(-1,0),(-1,-3),(-1,-1),(-1,-2),(-2,0),(-2,-3),(-2,-1),(-2,-2)。

證明 由式(2)及定理1知，應(yīng)有y2+3y+1=±1，計(jì)算可得y=0,-3,-1,-2，而這些解并非正整數(shù)，故式(14)無(wú)正整數(shù)解。在整數(shù)范圍內(nèi)，由定理1可計(jì)算出不定方程式(14)的全部整數(shù)解。

4 結(jié) 語(yǔ)

不定方程的整數(shù)解問(wèn)題一直是數(shù)論研究中的一項(xiàng)重要課題。本次證明中，結(jié)合了初等數(shù)論中的遞歸數(shù)列、平方(非)剩余、同余式等基礎(chǔ)知識(shí)，并利用了轉(zhuǎn)化為Pell方程的思想以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，討論不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)(y+2)(y+3)整數(shù)解的情況。通過(guò)研究，得到了其無(wú)正整數(shù)解的結(jié)論，并給出了此不定方程的全部整數(shù)解。

[1]COHNJHE.Thediophantineequationx(x+1)(x+2)(x+3)=2y(y+1)(y+2)(y+3)[J].PacificJMath,1971,37:331-335.

[2]PONNUDURAIT.Thediophantineequationx(x+1)(x+2)(x+3)=3y(y+1)(y+2)(y+3)[J].JLondonMathSoc,1975,10:232-240.

[3] 羅明.關(guān)于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)[J].重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1991,8(1)：1-8.

[4] 程瑤，馬玉林.不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=11y(y+1)(y+2)(y+3)[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007,7(1)：27-30.

[5] 郭鳳明，羅明.關(guān)于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=10y(y+1)(y+2)(y+3)[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,38(10):13-16.

[6] 郭鳳明，羅明.關(guān)于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014,30(5):101-105.

[7] 張洪,羅明.關(guān)于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=Dy(y+1)(y+2)(y+3)(D=21,23)[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015,32(7):56-61.

[8] 王聰.關(guān)于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=30y(y+1)(y+2)(y+3)[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016,33(1):29-32.

[9] 柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蘙M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011:15-29.

Research on the Integer Solution of the Diophantine Equation：x(x+1)(x+2)(x+3)=38y(y+1)(y+2)(y+3)

CHENYingqiong

(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

With the elementary method of Pell equations, recurrence sequence, congruent form and quadratic residue and mathematical thinking of classification discussion, we have shown that a Diophantine equation has no positive integer solution, and we obtain the total integer solutions of the equation.

Diophantine equation; integer solution; recurrence sequence; classification discussion; quadratic remainder

2016-09-29

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“代數(shù)整數(shù)的性質(zhì)研究和無(wú)理測(cè)度的計(jì)算”(11471265)

諶應(yīng)瓊(1993 — )，女，西南大學(xué)在讀碩士研究生，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)論。

O156

A

1673-1980(2017)02-0120-05