潘薇羽??

【摘要】如何用解題式的思維方式去分析勾股定理的存在？教學(xué)中，若沒(méi)有從教師提示的面積法分析直角三角形的三邊關(guān)系，我們是否能讓學(xué)生自己通過(guò)解題發(fā)現(xiàn)勾股定理，在這個(gè)過(guò)程中，教師需要做好怎樣的方法鋪墊，以幫助學(xué)生解題思維的順利生長(zhǎng).

【關(guān)鍵詞】同一法；勾股定理；解題思維生長(zhǎng)點(diǎn)

1我怎么沒(méi)想到

常見(jiàn)的勾股定理教學(xué)中，命題引入方式有兩種：

（1）直接呈現(xiàn)式.有以下幾種具體呈現(xiàn)形式：

①呈現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯觀察到的地板圖案，請(qǐng)學(xué)生觀察并提出問(wèn)題：“你認(rèn)為這三個(gè)正方形的面積之間存在著怎樣的關(guān)系？”如圖1；

②呈現(xiàn)以特殊數(shù)3，4，5為邊長(zhǎng)的直角三角形的三邊正方形圖，請(qǐng)學(xué)生算一算：“這三個(gè)正方形的面積之間存在著怎樣的等量關(guān)系？”如圖2；

③呈現(xiàn)弦圖，請(qǐng)學(xué)生觀察并分析其中幾何圖形的面積關(guān)系，如圖3.

（2）問(wèn)題發(fā)生式.此種教學(xué)法的常見(jiàn)形態(tài)有：

④測(cè)量猜想式.如：作兩個(gè)直角三角形，使其兩直角邊分別是3cm和4cm，5cm和12cm，測(cè)一測(cè)斜邊的長(zhǎng)度；

⑤格點(diǎn)轉(zhuǎn)移式.如：在網(wǎng)格中，作一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為3、4的直角三角形，量一量該直角三角形的斜邊長(zhǎng)是多少？若利用圓規(guī)，以斜邊長(zhǎng)為半徑作弧，可發(fā)現(xiàn)圓弧經(jīng)過(guò)另一個(gè)格點(diǎn)，數(shù)出半徑長(zhǎng)恰好是5個(gè)單位長(zhǎng)度.同理，可以測(cè)量出直角邊長(zhǎng)分別為5、12的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13.

筆者初上講臺(tái)，使用直接呈現(xiàn)式的教學(xué)方式.每當(dāng)展示勾股圖的時(shí)候，筆者感受到學(xué)生的驚嘆連連：“好聰明?。　薄八窃趺聪氲饺ニ阏叫蚊娣e的呢？”“我怎么就想不到呢？”“為什么會(huì)想到研究一個(gè)三邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形？”雖然學(xué)生向筆者投來(lái)敬佩的目光，但似乎，疑問(wèn)多于贊嘆.

畢達(dá)哥拉斯從地板的圖案上頓悟出勾股定理，是機(jī)緣巧合，但講這樣的故事就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了嗎？

再次教學(xué)，筆者開(kāi)始改用問(wèn)題發(fā)生式教學(xué)，提出問(wèn)題：你會(huì)求直角三角形的斜邊長(zhǎng)嗎？筆者以為，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式可以引導(dǎo)學(xué)生積極展開(kāi)思維.而事實(shí)上，因?yàn)榱恳涣康膶?duì)象是特殊邊長(zhǎng)的直角三角形，結(jié)果也特殊，所以在量一量的環(huán)節(jié)，學(xué)生表現(xiàn)平靜，無(wú)疑無(wú)贊.當(dāng)筆者再接下來(lái)問(wèn)：“這三個(gè)數(shù)據(jù)之間有什么特殊的關(guān)系嗎？”學(xué)生的表現(xiàn)更是一愣一愣的，幾分鐘內(nèi)，教室內(nèi)只聽(tīng)見(jiàn)小小的嘀咕聲，卻沒(méi)人說(shuō)得出結(jié)果.當(dāng)筆者再次點(diǎn)醒：“你沒(méi)有發(fā)現(xiàn)32+42=52、52+122=132嗎？”教室內(nèi)頓時(shí)如炸開(kāi)了鍋一樣，“原來(lái)是這樣啊！”、“我怎么就沒(méi)想到呢？”

一句話(huà)：“我怎么沒(méi)有想到？”

——“我怎么沒(méi)有想到以直角三角形的三條邊為邊構(gòu)建正方形？”；

——“我怎么沒(méi)有想到3、4、5之間、5、12、13之間會(huì)有什么相同的數(shù)量關(guān)系？”；

課后，學(xué)生問(wèn)我：“老師，你是怎么想到的？你可以把你想到的方法告訴我嗎？”

——“是啊，我是怎樣想到的呢？前人是如何想到的呢？”筆者自問(wèn)，并深深地思考：“畢達(dá)哥拉斯的頓悟雖是一種重要的解題方式，但學(xué)生對(duì)此的驚訝多于理解！是什么方法能讓人想到這樣的構(gòu)圖法解題？我該如何解題（求直角三角形的斜邊長(zhǎng)）、我該如何構(gòu)圖？”

2我該如何解題

再次執(zhí)教這節(jié)課，筆者深深地思考：“如果沒(méi)有勾股定理，我們應(yīng)當(dāng)如何求解直角三角形的斜邊長(zhǎng)？”

2.1從認(rèn)知角度進(jìn)行解題類(lèi)別分析

求線(xiàn)段長(zhǎng)度是常見(jiàn)的題型.一般在梳理問(wèn)題條件時(shí)，需要從兩個(gè)方向進(jìn)行準(zhǔn)備分析：一是問(wèn)題條件的準(zhǔn)備，二是知識(shí)準(zhǔn)備.初中范圍內(nèi)，幾何以三角形為基礎(chǔ)，展開(kāi)學(xué)習(xí)四邊形、多邊形、圓形，依據(jù)歸納轉(zhuǎn)化的思想，當(dāng)我們對(duì)知識(shí)系統(tǒng)中的上層知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)、研究時(shí)，常常將其轉(zhuǎn)化為對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題的求解，如求解多邊形內(nèi)角和時(shí)，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行求解；學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)時(shí)，將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形進(jìn)行學(xué)習(xí)；解決不規(guī)則圖形面積時(shí)，常常將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進(jìn)行處理.所以，對(duì)圖形常見(jiàn)的處理方式是高級(jí)向低級(jí)的轉(zhuǎn)化，不規(guī)則的圖形向規(guī)則的圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這是一種下位學(xué)習(xí)的方式，也是一種下位式的解題方式；奧蘇伯爾曾在對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，提出關(guān)于命題學(xué)習(xí)的三種分類(lèi)：上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)、并列學(xué)習(xí).通過(guò)命題學(xué)習(xí)，我們獲得了命題的結(jié)論性知識(shí)，用命題的“結(jié)論解題”是數(shù)學(xué)解題中常常偏好的一個(gè)方向，只要能對(duì)問(wèn)題的模式進(jìn)行識(shí)別、會(huì)從命題的條件辨別異同，能在求同思維及求異思維的指導(dǎo)下進(jìn)行分析，就可以解題.這是一種原型式的、特征式的解題方式.這種解題方式的缺點(diǎn)就是以結(jié)論為主，以原型模式辨別為主，很少在解題過(guò)程中明確解題的生長(zhǎng)基礎(chǔ)，并尋找解題的生長(zhǎng)點(diǎn).

借鑒奧蘇伯爾的命題學(xué)習(xí)分類(lèi)，我們也將解題學(xué)習(xí)分為三類(lèi)：上位式解題、下位式解題、并列式解題.上位式解題：在解決問(wèn)題時(shí)將問(wèn)題向上一個(gè)層級(jí)的概念、命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助包容程度更高的命題、概念幫助解決問(wèn)題；下位式解題：將問(wèn)題向從屬的概念、命題進(jìn)行分解、轉(zhuǎn)化，借助基礎(chǔ)地、熟悉地、簡(jiǎn)易的知識(shí)結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題，這也是一種常用的解題方式；并列式解題：在解決問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有將問(wèn)題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行上位、下位概念命題的轉(zhuǎn)移，利用同層級(jí)的概念、命題解題，比如：同一法證明勾股逆定理，文獻(xiàn)[1]借助逆命題解題都是屬于并列式解題的例子.

同一法在初中范圍內(nèi)應(yīng)用不多，主要是因?yàn)橛么朔ń忸}，不用調(diào)動(dòng)上、下位的概念圖式，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生命題域的知識(shí)結(jié)構(gòu)效用不大，所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，甚少出現(xiàn)，只是在涉及互逆命題的證明或使用互逆命題時(shí)，才被人記起，而這樣的互逆命題教學(xué)，在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，所占的比例僅僅微乎其微.

2.2同一法為勾股定理的推導(dǎo)提供解題生長(zhǎng)點(diǎn)

近日，筆者在進(jìn)行八年級(jí)《直角三角形的性質(zhì)》教學(xué)時(shí)，頻頻接觸到一組組互逆命題：①直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；如果三角形的一條邊上的中線(xiàn)等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；②直角三角形中，30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；如果一個(gè)直角三角形中，有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.教學(xué)時(shí)，筆者著重對(duì)這些互逆命題的證明，及一些使用逆命題互助解題的例題進(jìn)行重點(diǎn)教學(xué)，其間教授了同一法.而后又接觸到勾股定理的教學(xué).筆者在備課時(shí)以解題生長(zhǎng)式的理念進(jìn)行備課思考：如何求解直角三角形的斜邊長(zhǎng)呢？解決此命題的解題基礎(chǔ)和解題生長(zhǎng)點(diǎn)在何處？

解題基礎(chǔ)分析：（1）關(guān)于勾股定理命題證明的條件只有一個(gè)：直角三角形；（2）與直角三角形邊長(zhǎng)有關(guān)的知識(shí)概念儲(chǔ)備：無(wú).

解題生長(zhǎng)點(diǎn)分析：這樣的命題解決，如何進(jìn)行？解題的生長(zhǎng)點(diǎn)在哪里？從條件分析，還是從儲(chǔ)備知識(shí)分析？?jī)?chǔ)備知識(shí)無(wú)，那么只能從條件入手，條件如何轉(zhuǎn)化？此圖中只有一個(gè)直角三角形，條件單一，如何轉(zhuǎn)？轉(zhuǎn)向何處去？

曾經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)中，除三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的知識(shí)，其余者無(wú).其中“三角形的三邊關(guān)系”用不上，那么知識(shí)儲(chǔ)備中就只有全等三角形的知識(shí).“單木不成林”，單單一個(gè)三角形，哪來(lái)全等關(guān)系？可除了全等，還有何法？

不禁地，筆者想到才接觸的同一法：是否可利用同一法將圖形進(jìn)行再建構(gòu)？如果圖中具有多個(gè)全等三角形，那么圖形會(huì)變成……，嘗試之后，筆者頓覺(jué)思路大開(kāi)，原來(lái)，奧妙藏于此圖中.筆者興奮不已，借助同一法，進(jìn)行了一堂非常順利的勾股定理證明的教學(xué)課.以下為教學(xué)實(shí)錄：

師：“前兩節(jié)課我們用同一法解決了一些圖形性質(zhì)單一、不易于被證明的問(wèn)題.同一法告訴我們：對(duì)于無(wú)法求解的線(xiàn)段，可在原圖四周，重新建構(gòu)一條長(zhǎng)度相同的線(xiàn)段（或性質(zhì)相關(guān)圖形），通過(guò)證明新舊兩圖全等，而獲得原線(xiàn)段長(zhǎng)度.”

（呈現(xiàn)問(wèn)題）……

師：“現(xiàn)在，我們?nèi)绾吻笾苯侨切蔚男边匒B的長(zhǎng)？”

生：“我們可以在△ABC外再尋找長(zhǎng)度等于AB的線(xiàn)段.利用圓規(guī)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作弧，圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)E和F.因?yàn)榫€(xiàn)段BE、AF與線(xiàn)段AB一樣，都是一個(gè)3×4的矩形對(duì)角線(xiàn)，所以AB=BE=AF，同理可證線(xiàn)段EF=AB.發(fā)現(xiàn)新組成的四邊形ABEF是一個(gè)小正方形，被包含在大正方形CMNK中，可以證明小正方形四周均為全等的直角三角形.”

“這樣的圖形能幫助你求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)嗎？”

“能.如果能算出正方形ABEF的面積，就可以知曉邊長(zhǎng)AB的值.”

“如何求小正方形ABEF的面積呢？”

此時(shí)，全班的聲音異常整齊：“用大正方形的面積減去4個(gè)小直角三角形的面積！”

接下去的計(jì)算與推廣證明過(guò)程便沒(méi)有任何難度了.（圖4、圖5是兩個(gè)學(xué)生的不同做法）

如何由一條線(xiàn)段想到構(gòu)建四條邊的正方形，如何由一個(gè)小直角三角形想到用4個(gè)全等的直角三角形進(jìn)行拼圖，思維的來(lái)源并不是空穴來(lái)風(fēng)，重新構(gòu)建，“同一法”證明給了我們極大的啟示.圖4圖5

借助圖4，證明勾股定理結(jié)論的過(guò)程為：設(shè)直角△ABC的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，

易證四邊形ABEF、CMNK為正方形.

因?yàn)镾正方形CMNK=S正方形ABEF+4×S△ABC，

所以a+b2=AB2+4×12ab，

所以AB2=a2+b2.

即：c2=a2+b2.

證明至此，學(xué)生對(duì)于為何要構(gòu)建正方形，為何要計(jì)算三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系的理解便水到渠成了.

在此次證明中，正是因?yàn)樽C明的條件不多，圖形不豐富，且曾經(jīng)所學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)不夠充分，所以只好選擇同一法，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)與原圖全等的圖，并在豐富了圖形之后，試圖獲取原圖的圖形性質(zhì).當(dāng)我們構(gòu)造一個(gè)全等的直角三角形之后，不妨再構(gòu)造一些，進(jìn)而獲得了一個(gè)嵌入式的雙正方形.利用小學(xué)的面積知識(shí)，便輕松地推導(dǎo)出勾股定理.此次解題證明初入時(shí)為并列式解題思路，后繼發(fā)展為上位式解題方式，是初中數(shù)學(xué)中為數(shù)不多的上位式解題的典型題.

3思維的兩種表現(xiàn)形式與教學(xué)方式

3.1直覺(jué)式頓悟與發(fā)生式學(xué)習(xí)

畢師關(guān)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)是一種直覺(jué)式頓悟.“直覺(jué)是一種人們沒(méi)有意識(shí)到的對(duì)信息的加工活動(dòng)，是在潛意識(shí)中醞釀問(wèn)題而后與顯意識(shí)突然溝通，于是一下子得到了問(wèn)題的答案，而對(duì)加工的具體過(guò)程，我們則沒(méi)有意識(shí)到”[2].在頓悟之前畢師經(jīng)過(guò)了觀察，“觀察是人們對(duì)事物的一個(gè)知覺(jué)過(guò)程.……知覺(jué)與人的經(jīng)驗(yàn)分不開(kāi)”，“直覺(jué)判斷，個(gè)體利用自己的經(jīng)驗(yàn)對(duì)知覺(jué)對(duì)象可能具有的屬性作出一種判斷”[3].畢師的發(fā)現(xiàn)是直覺(jué)式的，建立在他的經(jīng)驗(yàn)之上，對(duì)著地板圖案的觀察，畢師能夠?qū)⑵渲械膱D形結(jié)構(gòu)進(jìn)行重組分析，進(jìn)而突顯直至頓悟發(fā)現(xiàn)勾股定理.而對(duì)于初中學(xué)生，他們數(shù)學(xué)的直覺(jué)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法尚不完善，雖說(shuō)數(shù)學(xué)教學(xué)是要踩著歷史的腳印前進(jìn)，但要求十三、四歲的孩子們也能獨(dú)自經(jīng)歷畢師的思維之路，困難程度不言而喻.

故而，勾股定理的認(rèn)知，是否該是一種發(fā)生式的、過(guò)程式的學(xué)習(xí)方式呢？

發(fā)生式命題學(xué)習(xí)，是將命題產(chǎn)生的過(guò)程揭示出來(lái)，使學(xué)生在體悟命題發(fā)生和發(fā)展的認(rèn)識(shí)中獲得命題的學(xué)習(xí)方式[3].這種學(xué)習(xí)，也可以稱(chēng)為是一種過(guò)程性學(xué)習(xí)，從一個(gè)概念到另一個(gè)概念過(guò)渡的過(guò)程，方法的過(guò)程，推理的過(guò)程，獲得思維的過(guò)程均在教學(xué)的范疇之中.概念固然是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的重要結(jié)點(diǎn)，但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅僅是概念的習(xí)得，更重要的是如何在概念之間進(jìn)行推理，使得概念點(diǎn)之間能夠發(fā)生聯(lián)結(jié)，這就是思維.數(shù)學(xué)是思維的體操，“數(shù)學(xué)是玩概念的”，數(shù)學(xué)要學(xué)習(xí)的，就是如何在概念之間產(chǎn)生往回地、多向地聯(lián)結(jié).所以，筆者認(rèn)為勾股定理的教學(xué)中，三個(gè)正方形的面積計(jì)算不是主要的，如何想到構(gòu)建正方形才是教學(xué)釋疑的又一個(gè)重點(diǎn).

3.2命題教學(xué)的結(jié)論性學(xué)習(xí)與生長(zhǎng)式規(guī)則性學(xué)習(xí)

喻平認(rèn)為，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)命題由概念組合而成，在條件概念與結(jié)論概念之間，有“規(guī)則”連結(jié)，故命題學(xué)習(xí)也稱(chēng)規(guī)則學(xué)習(xí)[3].

筆者認(rèn)為，規(guī)則是思維發(fā)生的過(guò)程與表現(xiàn)形式，思維的發(fā)生是有方向性、目的性的，是具有生長(zhǎng)性的，因此，命題的規(guī)則性教學(xué)，應(yīng)當(dāng)從規(guī)則的生長(zhǎng)性上進(jìn)行考慮，包括生長(zhǎng)點(diǎn)的分析與思考.其實(shí)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是規(guī)則性的學(xué)習(xí)，這是一種學(xué)習(xí)的方法論.規(guī)則具有自主的生長(zhǎng)能力，解題時(shí)，思維在條件性概念與結(jié)論性概念之間進(jìn)行各種方式地聯(lián)結(jié)，若聯(lián)結(jié)成功，則規(guī)則的生長(zhǎng)成功.

對(duì)于教學(xué)而言，側(cè)重結(jié)論式教學(xué)與側(cè)重規(guī)則性教學(xué)，對(duì)學(xué)習(xí)者的思維培養(yǎng)效果有較大不同.若進(jìn)行結(jié)論式教學(xué)，學(xué)習(xí)者的思維生長(zhǎng)能力較弱；若進(jìn)行發(fā)生式學(xué)習(xí)，在聯(lián)結(jié)對(duì)象未知的情況下，思維的活躍程度相對(duì)更高，對(duì)解題者概念系、命題系的調(diào)動(dòng)范圍更大更積極，對(duì)思維能力的鍛煉也就越高.所以，規(guī)則性學(xué)習(xí)是命題學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其價(jià)值高于結(jié)論性概念的獲取.學(xué)習(xí)命題，不僅僅學(xué)習(xí)結(jié)論性知識(shí)，更有規(guī)則性?xún)?nèi)容.另外，命題教學(xué)的價(jià)值方向，就是提高解題能力，而解題教學(xué)的重點(diǎn)，是尋找具有生長(zhǎng)基礎(chǔ)（生長(zhǎng)點(diǎn)）與生長(zhǎng)方向的規(guī)則，進(jìn)而培養(yǎng)思維的能力.

借助于同一法，筆者將“求解斜邊長(zhǎng)”的問(wèn)題進(jìn)一步擴(kuò)大，進(jìn)行上位式轉(zhuǎn)化，進(jìn)而順利地解決了勾股定理的推導(dǎo)問(wèn)題.既是教學(xué)思考必得，也是教學(xué)偶得，饗與讀者.

參考文獻(xiàn)

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[3]喻平.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].南寧：廣西教育出版社，2004：219.

作者簡(jiǎn)介潘薇羽（1978—），女，廣西桂林人，中學(xué)高級(jí)教師，桂林市優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師，主要研究方向：生長(zhǎng)式數(shù)學(xué)教學(xué)法.發(fā)表文章10余篇.