夏炎 謝瑋??

摘要：為了研究三級(jí)倒立擺的魯棒控制方法，設(shè)計(jì)出三級(jí)倒立的狀態(tài)反饋H∞控制器。仿真結(jié)果表明三級(jí)倒立擺具有良好的魯棒穩(wěn)定性、魯棒性、抗干擾性，實(shí)現(xiàn)了對(duì)三級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。同時(shí)運(yùn)用了狀態(tài)空間極點(diǎn)配置法和LQR最優(yōu)控制法，分別設(shè)計(jì)出針對(duì)三級(jí)倒立擺的控制器。經(jīng)比較研究：采用狀態(tài)反饋H∞方法設(shè)計(jì)的三級(jí)倒立擺控制器的控制效果非常好，使其具有較小的振蕩和超調(diào)量，倒立擺起擺迅速，穩(wěn)定控制性能優(yōu)良。

關(guān)鍵詞：H∞控制理論；三級(jí)倒立擺；狀態(tài)反饋；控制器

中圖分類號(hào)：TP273文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.3969/j.issn.10036199.2017.01.004

1引言

三級(jí)倒立擺作為控制理論研究和進(jìn)行各種控制實(shí)驗(yàn)的一個(gè)理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)[1]，對(duì)其不確定性的研究，在理論和實(shí)踐上都具有重要研究意義。倒立擺具有變量多、階次高、不穩(wěn)定、非線性和強(qiáng)等特性[2]，使得現(xiàn)代控制理論研究者把它作為研究火箭垂直姿勢(shì)、雙足行走機(jī)器人等控制對(duì)象的簡(jiǎn)單模型[3]。對(duì)倒立擺的研究應(yīng)用到了多種技術(shù)并且涉及多個(gè)領(lǐng)域，包括機(jī)器人技術(shù)、計(jì)算機(jī)控制技術(shù)、控制理論技術(shù)等，試圖通過對(duì)倒立擺的研究來檢驗(yàn)控制理論在多變量、不穩(wěn)定系統(tǒng)上的應(yīng)用能力，從而找出最優(yōu)的控制方法[4]。本文是基于魯棒H

設(shè)定倒立擺的擺桿為剛體，控制系統(tǒng)的輸入為電動(dòng)機(jī)的輸出力矩。三級(jí)倒立擺變量名稱及系統(tǒng)模型參數(shù)見表1。利用動(dòng)力學(xué)知識(shí)以及拉格朗日方程，可以建立起三級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。結(jié)構(gòu)圖中的θ1，θ2，θ3為1、2和3級(jí)擺桿與垂直方向的夾角，其中g(shù)為重力加速度，g=9.8N/kg，F(xiàn)：電機(jī)對(duì)小車的驅(qū)動(dòng)力

當(dāng)給定初始狀態(tài)為平衡態(tài)時(shí)即X=0時(shí)給系統(tǒng)加入單位階躍響應(yīng)信號(hào)，如圖3所示，大約在10s時(shí)小車基本處于靜止?fàn)顟B(tài)，趨于穩(wěn)定。擺角1，2，3的振蕩幅值大約為0.4rad且在5s后趨于穩(wěn)定。為了通過對(duì)比驗(yàn)證，在相同的初始狀態(tài)下，給系統(tǒng)施加一個(gè)脈沖信號(hào)作為擾動(dòng)輸入W的輸入信號(hào)，如圖4所示，雖然小車的擺角1，2，3的擺動(dòng)幅度很大且振蕩頻率增大，但在10 s的時(shí)候小車靜止，4s后擺角基本停止振蕩，系統(tǒng)又能夠重新回到平衡態(tài)，趨于穩(wěn)定狀態(tài)，說明系統(tǒng)具有很好的抗干擾能力。狀態(tài)反饋H∞方法能夠很好的控制倒立擺的擺角和小車的位置。

當(dāng)給定初始狀態(tài)為X=[1 2 -1 2 1 1 2 2]時(shí)，顯然三級(jí)倒立擺系統(tǒng)是遠(yuǎn)離平衡態(tài)X=0的，這時(shí)給系統(tǒng)加入單位階躍響應(yīng)信號(hào)后如圖5所示，即使系統(tǒng)振蕩的幅度和頻率很大，但最終還是能在5 s的時(shí)候回到平衡態(tài)使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，具有很好的魯棒性。4.2三種控制方法比較研究

為了比較研究，又設(shè)計(jì)了基于LQR[12]-[13]和極點(diǎn)配置算法的三級(jí)倒立擺控制器，并進(jìn)行了仿真比較研究。如圖6所示：

初始狀態(tài)為平衡態(tài)即X=0時(shí)加入同樣的單位階躍響應(yīng)信號(hào)情況下，基于LMI魯棒H∞控制方法設(shè)計(jì)的倒立擺控制器具有很好的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性，雖然調(diào)整時(shí)間ts比另兩種方法的較長(zhǎng)，但符合系統(tǒng)要求。擺角1，2，3的振蕩幅值和頻率較小，超調(diào)量明顯比其他兩種方法小得多，擺桿的擺動(dòng)幅度也比較小，調(diào)節(jié)時(shí)間和上升時(shí)間比較短。通過對(duì)比三種方法；基于LMI魯棒H∞控制方法構(gòu)造的控制器可以很好的控制倒立擺，使其有更好的魯棒穩(wěn)定性、魯棒性和抗干擾性。

5結(jié)論

對(duì)三級(jí)倒立擺進(jìn)行了魯棒控制問題的研究。通過對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)，從系統(tǒng)魯棒性和魯棒穩(wěn)定性兩個(gè)角度綜合的論證了狀態(tài)反饋H∞方法的優(yōu)點(diǎn)。

在仿真過程中，小車的位移和擺桿與豎直方向的夾角的初始值對(duì)倒立擺的穩(wěn)定性影響很大，而在求取魯棒H∞控制器的過程中，加權(quán)矩陣C1的選取對(duì)控制器的控制效果影響比較顯著，現(xiàn)在沒有具體的方法來選取合適的加權(quán)矩陣C1，只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來反復(fù)選取，這也是未來值得探索的方面。

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