喻 平

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數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的一個框架

喻 平

（南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所，江蘇南京 210097）

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成，源于對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)．?dāng)?shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)表現(xiàn)為3種形態(tài)：知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新．知識學(xué)習(xí)的3種形態(tài)生成不同水平的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，因此，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的評價應(yīng)當(dāng)基于知識學(xué)習(xí)的3種形態(tài)．據(jù)此對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分為3種不同水平，這種水平劃分吸取了布盧姆模型、PISA模型的長處，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特征，具有理論性和可操作性雙重特性．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；核心素養(yǎng)水平；知識理解；知識遷移；知識創(chuàng)新

在《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》中，明確界定了核心素養(yǎng)，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力．目前，教育部正在組織專家對高中課程標準進行修訂，要求把學(xué)科核心素養(yǎng)作為修訂課程標準的主線，圍繞學(xué)科核心素養(yǎng)制訂教學(xué)內(nèi)容、評價標準和教材編制．做這個工作應(yīng)當(dāng)有一些思考，正如鄭毓信先生指出的：應(yīng)當(dāng)更為深入地研究與理解“核心素養(yǎng)”的具體涵義與現(xiàn)實意義，包括它與“素質(zhì)教育”的聯(lián)系與區(qū)別．從實踐的角度看，不應(yīng)唯一強調(diào)所謂的“整合課程”，乃至片面地提倡“去學(xué)科化”，而是應(yīng)當(dāng)更加重視如何能將這一思想落實于各個具體學(xué)科的教學(xué)之中[1]．

把學(xué)科核心素養(yǎng)滲透在課程中，面臨兩個必須解決的問題，一是確定學(xué)科核心素養(yǎng)的成分；二是確定學(xué)科核心素養(yǎng)的水平．目前，各學(xué)科對這兩個問題都有了初步方案．高中數(shù)學(xué)課程標準修訂組的專家提出了6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，并對每一種素養(yǎng)作了3個水平的劃分．

現(xiàn)在的問題是，提出的6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分是否合理、科學(xué)？每一個核心素養(yǎng)的水平劃分的依據(jù)又是什么？這兩個問題既有相互關(guān)聯(lián)又具相對獨立性，因為不論核心素養(yǎng)的成分是什么，對它們的水平劃分應(yīng)當(dāng)有一個統(tǒng)一的標準和尺度．因此，這里繞過第一個問題，就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù)作一探討．

1 幾種學(xué)習(xí)評價模型分析

1.1 布盧姆模型

美國教育心理學(xué)家布盧姆（Bloom）的研究團隊，在1950年代用分類學(xué)方法分析學(xué)生的學(xué)習(xí)目標，將其分為認知、情感和動作技能3個領(lǐng)域，每一領(lǐng)域的目標又由低級到高級分成若干層次[2]．

認知領(lǐng)域的目標從低到高分為6級：（1）知識：對先前學(xué)習(xí)過的材料的記憶．（2）領(lǐng)會：能把握材料的意義．可借助于3種形式來表征：一是轉(zhuǎn)換，即用自己的話或用與原先表達方式不同的方式表達自己的思想；二是解釋，即對一項信息加以說明或概述；三是推斷，即估計將來的趨勢．（3）運用：能將習(xí)得的材料應(yīng)用于新的具體情境．（4）分析：能將整體材料分解成它的構(gòu)成成分并理解組織結(jié)構(gòu)．（5）綜合：能將部分組成新的整體，產(chǎn)生新的模式和結(jié)構(gòu)．（6）評價：對材料作價值判斷的能力．

之后，克拉斯沃爾（Krathwohl）完成了情感領(lǐng)域的目標分類．依據(jù)價值內(nèi)化（指由外在的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為個人內(nèi)在的興趣、態(tài)度、價值等心理特質(zhì)）的程度，從低到高分為5級：（1）接受（注意）：學(xué)生愿意注意特殊的現(xiàn)象或刺激，包括從意識到某一事物存在的簡單注意到選擇性注意．（2）反應(yīng)：學(xué)生主動參與，包括默認、愿意反應(yīng)及反應(yīng)的滿足．（3）價值化：學(xué)生將特殊的對象、現(xiàn)象或行為與一定的價值標準相聯(lián)系．（4）組織：將許多不同的價值標準組合在一起，克服它們之間的矛盾、沖突，并開始建立內(nèi)在一致的價值體系．（5）價值與價值體系的性格化：個人具有長時期控制自己的行為以致發(fā)展了性格化“生活方式”的價值體系．

布盧姆的學(xué)習(xí)評價模型具有一些明顯的特點．其一，將學(xué)習(xí)評價分為3個領(lǐng)域，3個領(lǐng)域相對獨立，有各自的水平劃分標準．值得注意的是，布盧姆的學(xué)習(xí)評價理論，并不只是考察學(xué)生掌握知識的情況，在比較高的水平階段，考察的本質(zhì)上是知識學(xué)習(xí)之后形成的能力．其二，對于認知領(lǐng)域的評價，基本上是對知識學(xué)習(xí)不同結(jié)果的評價，即圍繞知識學(xué)習(xí)開展的，與中國目前課程標準中的“知識與技能”、“過程與方法”相對應(yīng)，只是把這兩個要素作為認知領(lǐng)域中不同的水平來表述．對于情感領(lǐng)域的評價，是針對非智力因素開展的，與課程標準提出的三維目標中的“情感、態(tài)度與價值觀”相對應(yīng)．相比之下，布盧姆對評價目標有清晰的劃分，兩個目標指向明確，具有實踐層面的可操作性，而中國課程標準提出的三維目標，將3者作為一種并列關(guān)系卻又捆綁在一起，在實踐中是難以操作和實現(xiàn)的．

當(dāng)然，布盧姆模型也有一些問題，把目標的水平劃分得過細，難免會有水平之間的交叉、重疊關(guān)系．同時，這個模型是超越學(xué)科的，即可用于所有學(xué)科，但事實上，每個學(xué)科都有自己的特殊性，一種統(tǒng)一的模式難以涵蓋所有學(xué)科的特征．

1.2 PISA模型

PISA（Programme for International Students Assessment）是一個由經(jīng)濟合作與發(fā)展組織策劃并組織的項目，用于評價臨近義務(wù)教育末期（15周歲）學(xué)生的閱讀素養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、科學(xué)素養(yǎng)．PISA的測評內(nèi)容和測評框架都是基于“素養(yǎng)”這一概念提出來的．PISA將素養(yǎng)定義為：學(xué)生運用所學(xué)知識和技能，有效進行分析、推理、交流，在各種情境中解決和解釋問題的能力[3]．

PISA的評價一般分為兩個維度．2003年的評價結(jié)構(gòu)為：第一個維度是領(lǐng)域：數(shù)學(xué)素養(yǎng)、科學(xué)素養(yǎng)、閱讀素養(yǎng)；第二個維度是知識的掌握和運用，又分為內(nèi)容維度、過程維度和情境維度．以數(shù)學(xué)素養(yǎng)評價為例，第一維度數(shù)學(xué)內(nèi)容，包括空間和形狀、變化和關(guān)系、數(shù)量、不確定性．第二維度解題過程：要求學(xué)生面對現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題，首先把它們轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)形式，然后進行數(shù)學(xué)運算，再把結(jié)果運用到原來的問題并寫出答案．這樣學(xué)生就要完成一個多步驟的“數(shù)學(xué)化”過程．第三維度問題情境．?dāng)?shù)學(xué)問題設(shè)置在個人的、教育或職業(yè)的、公共的和科學(xué)的情境中．學(xué)生的數(shù)學(xué)成績被分成6個等級水平，這6個水平代表了任務(wù)的難易程度．

2012年，PISA給出的數(shù)學(xué)素養(yǎng)模型包括三維度架構(gòu)：一是情境維度即問題情境，指15歲學(xué)生可能面臨的各種問題，具體包括個人生活的、職業(yè)的、社會性的、科學(xué)性的4種情境．二是內(nèi)容維度即數(shù)學(xué)內(nèi)容知識，包括變化和關(guān)系、空間和圖形、數(shù)量、不確定性4大領(lǐng)域內(nèi)容．三是過程維度即3種數(shù)學(xué)過程（表述、運用、評估）和7種數(shù)學(xué)基本能力（交流，數(shù)學(xué)化，表述，推理和論證，設(shè)計問題解決策略，運用符號的、正式的、技術(shù)的語言和運算，使用數(shù)學(xué)工具）[4]．

PISA模型的特點表現(xiàn)為，第一，以考察學(xué)生的基本素養(yǎng)為指向，所測評的“素養(yǎng)”并不局限于學(xué)校常規(guī)課程，而是取自更廣泛的知識和技能領(lǐng)域．換言之，PISA不是一種以知識為取向的評價，而是以素養(yǎng)為取向的評價．第二，問題設(shè)置在情境中．個人情境與學(xué)生個人的日常活動直接相關(guān)；教育或職業(yè)的情境出現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)校生活或工作環(huán)境中；社會情境要求學(xué)生更廣泛地觀察周邊環(huán)境的某些方面；科學(xué)情境更加抽象，可能會涉及了解一個技術(shù)過程、理論情境或明確的數(shù)學(xué)問題．

應(yīng)當(dāng)說，PISA模型將學(xué)生的素養(yǎng)作為評價內(nèi)容，把知識與現(xiàn)實密切結(jié)合，它的評價重點不在于檢驗學(xué)生是否很好地掌握了學(xué)校課程，而是評價學(xué)生是否做好了應(yīng)對未來挑戰(zhàn)的準備，體現(xiàn)出這一評價模式的特色和功能．但是也應(yīng)當(dāng)看到，PISA過分追求問題的情境化，有偏激的一面，比如，就數(shù)學(xué)素養(yǎng)來說，并不是能夠解決一些現(xiàn)實問題就意味具備了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)中更多的內(nèi)容是沒有現(xiàn)實背景的，具備洞察數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的規(guī)律的意識和能力，具備用數(shù)學(xué)思維方法去處理事物的能力，這些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在PISA中是難以測量的．

1.3 SOLO模型

SOLO（Structure of the Observed Learning Outcome）分類理論是由澳大利亞教育心理學(xué)家彼格斯（Biggs）在1982年首創(chuàng)的一種學(xué)生學(xué)業(yè)水平分類方法[5]．SOLO原意為可觀察的學(xué)習(xí)結(jié)果的結(jié)構(gòu)．SOLO分類理論是基于學(xué)生對某一具體問題反應(yīng)的分析，對學(xué)生解決問題時所達到的思維水平進行由低到高的5個基本結(jié)構(gòu)層次的等級劃分：前結(jié)構(gòu)水平、單點結(jié)構(gòu)水平、多點結(jié)構(gòu)水平、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平、拓展抽象水平．如果將SOLO模型的“多點結(jié)構(gòu)水平”分解為兩種水平，便可以與PISA的水平劃分對應(yīng)[6]．

SOLO分類評價理論的思想源頭是皮亞杰的發(fā)展階段學(xué)說．皮亞杰認為思維或者智慧的發(fā)展是心理發(fā)展的核心，其發(fā)展階段的最主要特點是：階段出現(xiàn)的先后順序固定不變，每一階段都具有獨特的結(jié)構(gòu)．SOLO主要用于學(xué)生解決具體問題的評價，而且以知識的考察為評價重點，用知識點的組合運用水平界定評價水平，不是對學(xué)生能力進行全方位的測量，這是SOLO模型的特點．

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究起步較早，但對數(shù)學(xué)素養(yǎng)沒有統(tǒng)一的界定[7~8]．對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而言，根據(jù)核心素養(yǎng)這個上位概念的定義，可以界定為：學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵的數(shù)學(xué)能力．這里主要討論定義中的“關(guān)鍵能力”要素．高中數(shù)學(xué)課程標準修訂組的專家提出了6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析，本質(zhì)上就是6種關(guān)鍵能力．因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價就是對學(xué)生形成這6種數(shù)學(xué)核心能力的評價．

既然是討論能力，必然要回到“能力”與“知識”的歷史紛爭．歷史上有“形式教育”與“實質(zhì)教育”兩種理論，它們是對教育目標認識的兩種相對立的教育理論．前者認為教育旨在使學(xué)生的官能或能力得到發(fā)展；后者認為教育的目的在于使學(xué)生獲得知識和生活的必備技能．兩種理論的本質(zhì)是對知識與能力孰輕孰重的考量．形式教育與實質(zhì)教育各執(zhí)己見雖有歷史時代的原因，但是這種割裂了知識與能力的作法畢竟存在很大缺陷．知識與能力有不可分割的內(nèi)的聯(lián)系，它們不是相互獨立或相互排斥的．事實上，作為實質(zhì)教育的推崇者，斯賓塞（Spencer）本人也看到了知識的價值和訓(xùn)練的價值，他說“我們可以肯定，在獲得那些調(diào)節(jié)行為最有用的各類知識中就包含了最適宜于增強能力的心智練習(xí)”[9]．20世紀初，許多教育家對形式教育和實質(zhì)教育的極端觀點作了批判．克拉夫基（Klafki）認為，學(xué)生不掌握內(nèi)容如何促使能力發(fā)展呢？事實上，掌握內(nèi)容本身也是一種能力[10]．

事實上，關(guān)于知識與能力的關(guān)系，信息加工心理學(xué)給出了更加徹底的描述．按照這種對知識的廣義分類，傳統(tǒng)意義上的知識對應(yīng)于陳述性知識，技能對應(yīng)程序性知識．將技能進一步分解為兩個亞類：一類用于對外辦事（通過練習(xí)可以達到相對自動化），一類用于對內(nèi)調(diào)控（受個體意識控制），就與加涅（Gagne）把學(xué)習(xí)結(jié)果分為言語信息、智慧技能、認知策略產(chǎn)生了對應(yīng)[11]：言語信息對應(yīng)陳述性知識，智慧技能對應(yīng)能相對自動化的程序性知識，認知策略對應(yīng)受意識控制的程序性知識．顯然，如果智慧技能的成分對應(yīng)于技能，那么認知策略的成分則表現(xiàn)為能力．于是，認知心理學(xué)把能力作為知識的一種形式，使知識與能力得到統(tǒng)一．

以上討論說明3個問題，其一，知識是能力產(chǎn)生的本源，知識也就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的本源；其二，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價不能脫離對知識的評價；其三，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價又不等同于對知識的評價，重點是對由知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來的能力的評價．

3 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分的依據(jù)

要評價學(xué)生在6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展情況，必然要對這些核心素養(yǎng)進行水平劃分．高中課標修訂組的專家給出了每種核心素養(yǎng)的水平劃分，但有兩個問題值得商榷．第一，這種劃分是針對高中學(xué)生3種不同層次的要求界定的，即分為高中畢業(yè)水平、高考水平、拓展水平（即準備參加高校自主招生的學(xué)生要達到的水平）．顯然，這種水平劃分對日常的學(xué)習(xí)評價沒有直接的指導(dǎo)意義．第二，分為3種水平缺乏依據(jù)，即缺少應(yīng)然說理．

既然數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)產(chǎn)生于知識，那么評價的水平劃分就應(yīng)當(dāng)從知識的角度切入，參照布盧姆模型、PISA模型和SOLO模型，提出如下一種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分的理論構(gòu)想：將知識學(xué)習(xí)分為3種形態(tài)，由此產(chǎn)生的3種能力水平即為核心素養(yǎng)的3種水平．知識學(xué)習(xí)的3種形態(tài)依次為知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新，這3種形態(tài)本質(zhì)上也反映了數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的3種水平．

3.1 知識理解

知識理解的第一層涵義，是指學(xué)習(xí)者對知識的本質(zhì)、類屬以及與其它知識之間的種種聯(lián)系的理解．知識的理解既是一個過程，即學(xué)習(xí)者利用已有經(jīng)驗和已學(xué)過的知識去同化或順應(yīng)新知識的過程；又是一種結(jié)果，即對新知識的把握和領(lǐng)悟．理解包括對于一個對象“是什么”和“為什么”兩個層面，前者是基本層面，后者是深化層面．基本層面指對知識意義的理解，能從不同角度去認識知識的性質(zhì)、知識的類屬以及知識的背景；深化層面是對知識之間邏輯關(guān)系的理解，即理解知識與其它知識的聯(lián)系、知識之間的因果關(guān)系．

知識理解的第二層涵義，是指基本技能的形成和發(fā)展．一方面，知識的理解不能脫離知識的應(yīng)用，應(yīng)用是理解的必要環(huán)節(jié)．從知識的認知到知識的應(yīng)用再到知識的認知，只有通過不斷循環(huán)的過程，才能達到對知識的真正理解．知識應(yīng)用的本質(zhì)，是解釋與知識相關(guān)的現(xiàn)象，解決與知識相關(guān)的問題，個體的學(xué)科基本技能就是在知識應(yīng)用過程中生成和發(fā)展的．另一方面，無論是陳述性知識還是程序性知識，知識本身就蘊涵了方法．作為陳述性知識呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)概念，具有“過程”與“對象”二重性．所謂過程，就是具備了可操作性的法則、原理和程序，而對象是指概念的結(jié)構(gòu)和結(jié)果[9]．顯然，“過程”蘊涵了方法．對于程序性知識來說，它本身就是一種操作程序的規(guī)定，這種操作程序由若干條產(chǎn)生式疊加而成，本質(zhì)就是方法．技能是指掌握和應(yīng)用專門技術(shù)的能力，數(shù)學(xué)技能就是掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的基本能力．應(yīng)用與方法密不可分，因而，知識理解的本意涵蓋了基本技能的形成和發(fā)展．

將知識理解作為學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)的一級水平，具體表現(xiàn)為：

（1）了解知識產(chǎn)生的緣由．知道知識從何而來，明白知識產(chǎn)生的理由；有基本的演繹和歸納推理能力；有對知識產(chǎn)生和發(fā)展的經(jīng)歷，形成了一定的活動經(jīng)驗．

（2）理解知識形成的結(jié)果．能夠把握數(shù)學(xué)知識的過程與對象二重性，掌握基本的事實和結(jié)論；明確概念的內(nèi)涵、外延，形成概念體系；理解規(guī)則與法則的結(jié)構(gòu)、使用的條件，形成命題體系；掌握蘊涵在知識中的數(shù)學(xué)基本方法．

（3）解決數(shù)學(xué)的基本問題．能夠辨析概念，在知覺水平和思維水平上應(yīng)用知識；能使用簡單知識、基本規(guī)則和基本方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題．

3.2 知識遷移

知識遷移是指學(xué)習(xí)者把理解的知識、形成的基本技能遷移到不同的情境中去，促進新知識的學(xué)習(xí)或解決不同情境中的問題．

第一，知識遷移是知識在新情境中的應(yīng)用．所謂新情境是指不同于學(xué)習(xí)這個知識時的情境，因此，知識遷移不是知識的簡單應(yīng)用，不是知識的模仿應(yīng)用．能否辨認當(dāng)前情境中問題的類屬而對原有知識進行準確的激活？能否判斷知識遷移的有效性？當(dāng)發(fā)現(xiàn)所選的知識或方法不能解決當(dāng)前問題時能否靈活轉(zhuǎn)向激活其它知識？這些因素本身就反映了學(xué)習(xí)者的能力，是個人數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種體現(xiàn)．

第二，知識遷移是知識的綜合應(yīng)用．解決一個數(shù)學(xué)問題時，用到的知識或方法可能不是單一的，往往涉及多個知識或多種方法，這就需要學(xué)習(xí)者有豐富的知識資源，并能選擇有用的資源在新的情境中進行組合．因此，知識遷移是多個知識或多種方法向一個目標的遷移，是多個舊情境中的知識向同一個新情境遷移的過程．知識遷移要求學(xué)習(xí)者具有識別、判斷、篩選、決策等多種能力．

將知識遷移作為學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)的二級水平，具體表現(xiàn)為：

（1）有基本的類比推理能力，能夠?qū)⒅R遷移到不同情境中去，解決與數(shù)學(xué)知識相關(guān)的現(xiàn)實情境問題、數(shù)學(xué)內(nèi)部不同情境問題、不同學(xué)科情境問題．

（2）能夠理解知識之間的邏輯關(guān)系，掌握知識結(jié)構(gòu)，掌握與知識相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，能夠判斷知識遷移的準確性和有效性．

（3）能夠解決需要多種知識介入、多種方法運用的常規(guī)性復(fù)雜問題．

3.3 知識創(chuàng)新

知識創(chuàng)新的一層涵義是指學(xué)習(xí)者能夠解決一些非常規(guī)的開放性問題；或者生成超越教材規(guī)定內(nèi)容的數(shù)學(xué)知識；或者對問題進行推廣與變式得到一個新的問題．知識創(chuàng)新的另一層涵義是指學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)思維去看待和處理一些現(xiàn)實生活中的問題．“創(chuàng)新”是相對學(xué)習(xí)者而言的，對于他們來說是新知識、新方法．以自我的“發(fā)現(xiàn)”得到的知識，就是知識創(chuàng)新．

首先，知識創(chuàng)新是學(xué)習(xí)者對教學(xué)內(nèi)容的拓展與延伸．知識之間會存在依存關(guān)系或邏輯關(guān)系，新知識的產(chǎn)生總是與某些舊知識有內(nèi)在的聯(lián)系．因此，一個知識總會有自身生長與發(fā)展的空間．對于學(xué)生而言去探究知識的拓展過程和獲得的結(jié)果都是知識的創(chuàng)新．其次，知識創(chuàng)新是學(xué)習(xí)者對問題的推廣與變式．創(chuàng)新元素往往隱藏在問題解決之后，因為問題被解決并不意味著對問題探究的結(jié)束．許多數(shù)學(xué)問題都有可能通過變式、改變條件、類比推理等手段而產(chǎn)生出新的問題，當(dāng)把變式推廣的問題解決之后，就能得到一個新的知識．此外，知識創(chuàng)新的另一種顯示是學(xué)習(xí)者在解決問題過程中實現(xiàn)了方法的突破，能夠解決一些非常規(guī)的開放性問題，在解決問題中突破常規(guī)的方法就是知識創(chuàng)新．

更重要的是，知識創(chuàng)新表明學(xué)習(xí)者形成了學(xué)科思維．學(xué)科思維“表現(xiàn)為學(xué)科特有的理解問題和分析問題的思維方式，這是學(xué)習(xí)者能夠像學(xué)科專家一樣深入思考問題時所需要的一種能力”[12]．學(xué)習(xí)者形成學(xué)科思維，表明他們能夠領(lǐng)悟?qū)W科思想方法，體會學(xué)科價值觀，有批判和反思的意識，并用學(xué)科思維方式看待和處理學(xué)科及非學(xué)科的問題．形成學(xué)科思維應(yīng)當(dāng)是學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的最高表現(xiàn)．

將知識創(chuàng)新作為學(xué)習(xí)者學(xué)科核心素養(yǎng)的三級水平，具體表現(xiàn)為：

（1）具有探究問題的意識．在學(xué)習(xí)中養(yǎng)成反思的習(xí)慣，有愛思考、善于提出數(shù)學(xué)問題的學(xué)習(xí)行為．

（2）具備探究問題的能力．有較高的直覺能力、合情推理能力，具有批判性思維能力和反思能力，能夠提出富有見解的數(shù)學(xué)猜想，具備對問題的證偽和證實的能力，能夠?qū)?shù)學(xué)問題進行變式、拓展和推廣．

（3）具備解決非常規(guī)數(shù)學(xué)問題的能力．能夠靈活運用知識和方法解決非常規(guī)性問題．

（4）形成數(shù)學(xué)思維．能夠用數(shù)學(xué)思維對事物進行判斷和分析，初步形成數(shù)學(xué)學(xué)科特定的認識世界和改造世界的世界觀和方法論．

4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價的框架

4.1 一個評價框架

上面討論了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成源于知識，而知識理解、知識遷移和知識創(chuàng)新既反映了學(xué)習(xí)的3種水平，又蘊涵由學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的3種水平，這樣，就為學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的評價提供了一個理論框架（見表1）．

表1 學(xué)科核心素養(yǎng)評價框架

與PISA（2012）的框架對比．PISA模型中是7種數(shù)學(xué)基本能力：交流，數(shù)學(xué)化，表述，推理和論證，設(shè)計問題解決策略，運用符號的、正式的、技術(shù)的語言和運算，使用數(shù)學(xué)工具，而表1依據(jù)的是中國目前提出的6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．PISA模型中的過程維度：表述、運用、評估，是解決問題過程中某種能力的表現(xiàn)形式，可以視為一種水平劃分，但是這種劃分是針對解決問題來說的，不能涵蓋在學(xué)習(xí)過程中對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價．而表1給出的框架，可以用于在學(xué)習(xí)過程中對核心素養(yǎng)形成的評價，也可用于綜合測試中對核心素養(yǎng)水平的評價，當(dāng)然，在平時學(xué)習(xí)中，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評價必須與學(xué)生學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容結(jié)合，在綜合測評中，考察的是知識的綜合應(yīng)用．

表1的框架與布盧姆關(guān)于認知領(lǐng)域的評價是相通的，都是通過知識的學(xué)習(xí)來對能力進行評價，不同的是布盧姆模型的水平劃分過細，水平之間的邊界不是十分清晰，并且布盧姆模型沒有明確指出高水平階段就是評價學(xué)生的能力水平．表1的框架分為3個水平，邊界比較清楚，能較好地反映各種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展特質(zhì)．

李藝等提出了一個3層架構(gòu)，第一層是“雙基”，以基礎(chǔ)知識和基本技能為核心；第二層是“問題解決”，以解決問題過程中所獲得的基本方法為核心；第三層是“學(xué)科思維”，指在系統(tǒng)的學(xué)科學(xué)習(xí)中通過體驗、認識及內(nèi)化等過程逐步形成的相對穩(wěn)定的思考問題、解決問題的思維方法和價值觀，實質(zhì)上是初步得到學(xué)科特定的認識世界和改造世界的世界觀和方法論[13]．研究者提出的核心素養(yǎng)3個水平與李藝提出的3層架構(gòu)總體觀點是一致的．

4.2 兩個案例分析

下面以“集合”內(nèi)容（《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》的內(nèi)容）給出具體操作說明．

并不是每一個知識的學(xué)習(xí)都能全部體現(xiàn)6種數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，例如表2中，“集合”內(nèi)容在數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析方面是很難體現(xiàn)的．一般說來，數(shù)學(xué)抽象、邏輯思維、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的共性大，而數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析共性較小．

下面選取一個與PISA相關(guān)的測試題目，利用表1的框架進行分析．

試題：農(nóng)場與牛．

農(nóng)夫在一片長滿草的大草原農(nóng)場中央建了一間邊長為5米的牛棚（假設(shè)牛棚部分沒有草），農(nóng)夫在一個墻角拴了一頭牛，如果繩子長12米，若繩子可自由彎曲，請問牛共可吃多少面積的草？

問題（1）：請問下列哪一個圖是正確的？

(A)?????????(B)

(C) ?????????(D)

問題（2）：請問牛吃了多少面積的草地？

（A）約452平方米；（B）約427平方米；

（C）約416平方米；（D）少于413平方米

（選自林福來主編臺灣2011數(shù)學(xué)素養(yǎng)評量樣本試題）

應(yīng)當(dāng)說，這是一個考察數(shù)學(xué)素養(yǎng)比較好的題目，要用數(shù)學(xué)知識并根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗去解決現(xiàn)實生活中的問題．但是，考察知識的創(chuàng)新方面顯得不足．下面對此題以知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新為目標進行改造，并分析所考察的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平．

首先，該題的知識理解部分比較簡單，只需學(xué)生掌握圓面積公式，會運用這個公式解決問題．題目中的問題1和問題2屬于同一個層面，即知識的遷移，增加一個問題3，可以考察學(xué)生的知識創(chuàng)新．

問題3：在解決了這個問題之后，你能否把得到的結(jié)論作一般化處理；或者由這個問題提出一些新的問題，并解決你提出的一個問題．

要對問題作一般化處理，需要把具體數(shù)字用字母替代，得到解決這個問題的一般化結(jié)論．要提出新的問題，可以從牛棚形狀的變化來考慮，譬如改為長方形、菱形、圓等；可以從繩長的變化來考慮；從草地上可能存在障礙物來考慮，等等．

經(jīng)過改造，由于所需要的知識很簡單，因此知識理解水平可以忽略，主要考察知識遷移和知識創(chuàng)新兩種水平．測查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括：數(shù)學(xué)抽象——把一個現(xiàn)實問題抽象為一個數(shù)學(xué)問題；把問題推廣引申．?dāng)?shù)學(xué)運算——將圓面積公式用于解決現(xiàn)實問題；公式的靈活運用．直觀想象——通過觀察圖形，結(jié)合生活經(jīng)驗抽象出問題的數(shù)量關(guān)系；能夠進行圖形變式．

表2 “集合”內(nèi)容對核心素養(yǎng)的評價

[1] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（3）：1．

[2] 施良方．學(xué)習(xí)論學(xué)習(xí)心理學(xué)的理論與原理[M]．北京：人民教育出版社，1992．

[3] OECD2004. Learning for Tomorrow’s World First Results from PISA2003 [EB/OL]. http://www.pisa.oecd.org.

[4] 綦春霞，周慧．基于PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試分析框架的例題分析與思考[J]．教育科學(xué)研究，2015，（10）：46．

[5] Biggs J B, Collis K F.[M]. New York: Academic Press, 1982.

[6] 李佳，高凌飚，曹琦明．SOLO水平層次與PISA的評估等級水平比較研究[J]．課程·教材·教法，2011，（4）：91．

[7] 桂德懷，徐斌艷．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵之探析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2008，17（5）：22．

[8] 潘小明．關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)及其培養(yǎng)的若干認識[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（5）：23．

[9] 斯賓塞．教育論[M]．胡毅譯．北京：人民教育出版社，1962．

[10] 瞿葆奎，施良方．“形式教育”論與“實質(zhì)教育”論[M]．華東師范大學(xué)學(xué)報，1988，（1）：9；（2）：27．

[11] 加涅．學(xué)習(xí)的條件和教學(xué)論[M]．皮連生，王映學(xué)譯．上海：華東師范大學(xué)出版社，1999．

[12] ?Sfard A. On the Dual Nature of Mathematical Conception, Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin [J]., 1991, (26): 50.

[13] 李藝，鐘柏昌．談“核心素養(yǎng)”[J]．教育研究，2015，（9）：46．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Framework of Evaluation about Mathematics Key Competencies

YU Ping

(Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Students’ mathematics key competencies generated, stems from a knowledge of mathematics learning. Mathematics learning performance for three forms: knowledge understanding, knowledge transfer, knowledge innovation. Three forms of knowledge to generate different levels of mathematics key competencies, Therefore, to form the evaluation of mathematics key competencies should be based on the three forms of knowledge learning. On the basis of the mathematics key competencies was divided into three different levels, This kind of level absorb the merits of the Bloom model and model of PISA, and reflect the characteristics of mathematics learning, had a dual characteristic theory and operability.

mathematics key competencies; levels of key competencies; knowledge understanding; knowledge transfer; knowledge innovation

G40–03

A

1004–9894（2017）02–0019–05

2016–12–04

江蘇省社科基金項目——中小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系建構(gòu)與教學(xué)實踐研究（15JYD001）；江蘇省教育廳重大項目——義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力研究（2015JYKTZD-02）

喻平（1956—），男，重慶人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．