拋物線中的平行四邊形存在性問題是中考中?？碱}型，其解決辦法的突破口在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)又快又準(zhǔn)確，然后再畫圖，最后通過計(jì)算解決問題。如果已知三個(gè)定點(diǎn)，則平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)有三種情況，以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)。如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按邊或?qū)蔷€分為兩種情況，然后利用平行四邊形的性質(zhì)找到相等關(guān)系而解決問題。下面通過幾道中考例題具體說(shuō)明拋物線中的平行四邊形存在性的解題策略。

一、已知三個(gè)定點(diǎn)，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性

例1.已知拋物線[y=-ax2+2ax+b]與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C。

（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)。

（2）當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí)，求拋物線的解析式。

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M和（2）中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：（1）對(duì)稱軸是直線：x=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）。

（2）[y=-33x2+233x+3]。

（3）存在。理由：連接AC、BC，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x，y）

①當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CM∥AB，且CM=AB，AB=4

∴|x|=4，[y=OC=3]。

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M4，3]或[-4，3]。

②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方過M作MN⊥AB于N，則∠MNB=∠AOC=90°

∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC=MB，且AC∥MB

∴∠CAO=∠MBN，∴△AOC≌△BNM，∴BN=AO=1，[MN=CO=3]

∵OB=3，∴ON=3-1=2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為[M2，-3]

綜上所述，[M14，3]，[M2-4，3]，[M32，-3]

點(diǎn)評(píng)：本題已知三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)的具體數(shù)值，如果沒有規(guī)定由三點(diǎn)構(gòu)成的三條線段中哪條為邊或?qū)蔷€，則三種情況都必須考慮。

二、兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，探究平行四邊形的存在性

例2.拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三點(diǎn)。

（1）求該拋物線的表達(dá)式。

（2）點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）拋物線的表達(dá)式為[y=13x2-23x-1]。

（2）①當(dāng)AB為邊時(shí)，只要PQ//AB，且PQ=AB=4即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4，這時(shí)，將合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別記為P1，P2。此時(shí)[P14，53]，P2（-4，7）。

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，只要線段PQ與線段AB互相平分即可，又知點(diǎn)Q在y軸上，且線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，記為P3，此時(shí)P3（2，-1）綜上所述，[P14，53]，P2（-4，7），P3（2，-1）。

點(diǎn)評(píng)：本題已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)的具體數(shù)值，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找到相等關(guān)系而解決問題。

例3.已知：如圖，關(guān)于x的拋物線[y=ax2+x+ca≠0]與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)。

（2）在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線AD的解析式。

（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？

解：（1）拋物線解析式為[y=-14x2+x+3]，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）。

（2）點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，3），直線AD的解析式為[y=12x+1]。

（3）直線[y=12x+1]與拋物線對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（2，2）。

假設(shè)x軸上動(dòng)點(diǎn)Q（m，0），以A、M、Q頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)。

若以MQ為對(duì)角線，則P1（m+4，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AM為對(duì)角線，則P2（-m，2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=-2±22]。

若以AQ為對(duì)角線，則P3（m-4，-2），代入[y=-14x2+x+3]得[m=6±26]。

綜上所述：[Q122-2，0]，[Q2-22-2，0]，[Q36-26，0]，[Q46+26，0]。

點(diǎn)評(píng)：先假設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其看成一個(gè)定點(diǎn)，按照平移的性質(zhì)，寫出第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由另一動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的條件，求出相應(yīng)的坐標(biāo)。

因此，我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)活動(dòng)中，要加強(qiáng)對(duì)新課程的研究，滲透新課程的理念，按照新課程的要求及時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想、幾何變換的思想，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，這樣才能從教材簡(jiǎn)單的例、習(xí)題中獲得解決問題的新方法、新思想，才能引導(dǎo)學(xué)生重視教材，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生探索的能力和創(chuàng)新的意識(shí)。

作者簡(jiǎn)介：

婁霖林（1980—），男，漢族，湖北潛江人，本科，二級(jí)教師，初中數(shù)學(xué)教師。