劉詠梅，吳立寶

（1．江西師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院，江西 南昌 330022；2．天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387）

信息技術(shù)對促進(jìn)數(shù)學(xué)基本思想教育的價(jià)值分析

劉詠梅1，吳立寶2

（1．江西師范大學(xué) 數(shù)信學(xué)院，江西 南昌 330022；2．天津師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，天津 300387）

信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教育有利于展現(xiàn)抽象思維的理性文化特點(diǎn)，提升對數(shù)學(xué)對象關(guān)聯(lián)性的理解；有利于增強(qiáng)歸納推理的客觀性和演繹推理的深刻性；有利于為建模和利用模型解決問題提供豐富素材；有利于將數(shù)學(xué)思想的文化背景、數(shù)學(xué)思想的關(guān)聯(lián)性和數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系有效展現(xiàn)于課堂，突出基本數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用．

數(shù)學(xué)基本思想；信息技術(shù)；數(shù)學(xué)教育

信息技術(shù)是指利用計(jì)算機(jī)、網(wǎng)絡(luò)等各種硬件設(shè)備及軟件工具與科學(xué)方法，對文圖聲像各種信息進(jìn)行獲取、加工、儲存、傳輸與使用的技術(shù)之和[1]．信息技術(shù)的發(fā)展是教育發(fā)展的重要內(nèi)涵和源泉，推進(jìn)教育信息化已成為各國搶占教育發(fā)展的制高點(diǎn)[2]．教育實(shí)踐中，越來越多的教師意識到信息技術(shù)給數(shù)學(xué)教育帶來的巨大影響，但還存在“信息技術(shù)影響教育方式還是影響教育本質(zhì)”的爭論，部分教師一直徘徊在“用與不用”的邊沿，還有部分教師使用信息技術(shù)一般停留在“利用豐富的動態(tài)效果，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；利用信息技術(shù)縮短一些活動的時(shí)間，用信息技術(shù)代替人的實(shí)驗(yàn)；展示學(xué)生或教師的操作過程；展示例題、習(xí)題等解題過程”等一些輔助教學(xué)的層面上．

對技術(shù)作用于教育的過程與效果的認(rèn)識是信息技術(shù)融入教學(xué)的關(guān)鍵[3]．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本內(nèi)涵，也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)，如果信息技術(shù)的融入不能對這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)具有較大的促進(jìn)作用，其價(jià)值就大打折扣．因而，探索信息技術(shù)與數(shù)學(xué)思想的聯(lián)系，是解決信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教育的基本問題．?dāng)?shù)學(xué)基本思想具有隱性的特點(diǎn)，信息技術(shù)具有直觀性和動態(tài)性，兩者互為補(bǔ)充，從根本上確定了建立聯(lián)系的可能性．抽象、推理和建模思想是基本的數(shù)學(xué)思想[4]，也是數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)“高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性”在思想方法上的體現(xiàn)．

1 信息技術(shù)凸顯抽象的價(jià)值

抽象是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，也是認(rèn)識事物的一般思想[5]．人獲得知識所憑借的是先天的，同時(shí)又依賴于經(jīng)驗(yàn)的“直觀能力”，數(shù)學(xué)抽象能力與這種直觀能力是同構(gòu)的[6]．?dāng)?shù)學(xué)抽象是對客觀事物量的抽象．量是指事物存在的規(guī)模、方式以及發(fā)展的程度、速度．信息技術(shù)的融入可以使數(shù)學(xué)教育突顯數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過程，展現(xiàn)抽象思維的理性文化特點(diǎn)和數(shù)學(xué)對象的相互關(guān)聯(lián)性．

1.1 展現(xiàn)抽象思維的理性文化特點(diǎn)

數(shù)學(xué)是人類抽象思維的創(chuàng)造，是文化的重要組成部分．齊民友先生在《數(shù)學(xué)與文化》中指出“一個(gè)沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的文化是注定要衰弱的．”[7]信息技術(shù)起源于對大數(shù)據(jù)的分析和處理，強(qiáng)調(diào)對事物的定量分析，數(shù)字化、全球化、交互性、開放性是信息技術(shù)文化的基本特點(diǎn)．這些特點(diǎn)都凸顯著信息技術(shù)文化的理性內(nèi)涵，這與數(shù)學(xué)文化是相通的，文化背景的共性是數(shù)學(xué)教育與信息技術(shù)相融的重要條件，也是展現(xiàn)抽象思維理性文化的有利因素．

1.1.1 體現(xiàn)抽象思維的繼承性

文化的基本屬性是傳承性，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)文化傳承的基本元素，信息技術(shù)的運(yùn)用可以更好地展示前人對數(shù)學(xué)問題的思考，啟發(fā)當(dāng)下學(xué)生．?dāng)?shù)學(xué)教材中有一些內(nèi)容是經(jīng)歷長期發(fā)展的，歷史上人們的研究過程，對今天學(xué)習(xí)面臨的問題具有啟發(fā)性，這些內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的繼承性，也體現(xiàn)了信息技術(shù)運(yùn)用的重要性．?dāng)?shù)學(xué)史主要是數(shù)和形兩大基本概念的產(chǎn)生、發(fā)展、變遷的歷史[8]．歷史上對無窮問題的思考往往也是借助數(shù)與形的轉(zhuǎn)換進(jìn)行的，信息技術(shù)的展示可以使學(xué)生更好的認(rèn)識無窮問題．如由于中學(xué)生對無窮的認(rèn)識和理解處于初級階段，對是等于1還是小于1的問題，學(xué)生理解會有一定的困難．教學(xué)中，借助兩個(gè)長期被運(yùn)用的基本幾何圖形面積的特點(diǎn)（圖1，圖2），不僅可以幫助學(xué)生理解問題，而且可以通過借鑒歷史的思想，幫助學(xué)生對問題進(jìn)一步的抽象，從而認(rèn)識和解決問題．

圖1 對正方形的分割(1)

圖2 對正方形的分割(2)

1.1.2 體現(xiàn)抽象思維的審美性

數(shù)學(xué)教學(xué)在抽象思想的形成過程中，還應(yīng)使學(xué)生全面理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的鑒賞能力和對真、善、美的追求．史寧中指出：認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的、受審美因素支配的學(xué)科，比認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門別的、特別是經(jīng)驗(yàn)的學(xué)科要更確切一些[4]．學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的過程，本質(zhì)上就是感受數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)、從事再創(chuàng)造的過程[5]．?dāng)?shù)學(xué)美表現(xiàn)在數(shù)學(xué)本質(zhì)上，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)思想、精神上[9]．?dāng)?shù)學(xué)美的鑒賞體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解之中，信息技術(shù)運(yùn)用于數(shù)學(xué)抽象思想教學(xué)，應(yīng)由提升興趣過渡到傳承文化，追求數(shù)學(xué)美的本質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)研究基本特點(diǎn)是揭示對象本質(zhì)內(nèi)涵，用直觀的方式展示對象的本質(zhì)是信息技術(shù)的重要運(yùn)用．如三角函數(shù)的本質(zhì)是周期性，其重要性也體現(xiàn)在周期性上，同一周期的不同函數(shù)具有的特點(diǎn)用信息技術(shù)呈現(xiàn)，不僅能加深學(xué)生的理解，而且給學(xué)生美的體驗(yàn)．如圖 3在同一坐標(biāo)系中畫出，的函數(shù)圖形，學(xué)生不僅能夠理解3者之間的關(guān)系，還能形成一種和諧之美．借助動畫還能形成波浪的美麗畫卷，對培養(yǎng)學(xué)生美的鑒賞能力具有積極才的意義．再如教學(xué)勾股定理時(shí)可以借助信息技術(shù)展示趙爽弦圖、歐幾里得的證明圖、勾股定理的迭代圖等，學(xué)生通過比較各種證明方式，體會不同文化對美的追求和理解．

圖3 3個(gè)正弦函數(shù)圖象

1.2 提升對數(shù)學(xué)對象關(guān)聯(lián)性的理解

理解是對對象本質(zhì)的認(rèn)識，也是內(nèi)在概念網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，數(shù)學(xué)知識相互關(guān)聯(lián)性決定了借助知識的聯(lián)系形成新的知識是理解的重要環(huán)節(jié)，也是解決問題的基本依據(jù)[10]．?dāng)?shù)學(xué)抽象的特殊性使對抽象對象關(guān)聯(lián)性的理解成為教育的重點(diǎn)和難點(diǎn)．信息技術(shù)的運(yùn)用可以使學(xué)生借助大量的、多角度的信息建立知識之間的聯(lián)系，從而獲得解決問題的途徑．

1.2.1 由表及里深化理解

知識之間的差異性體現(xiàn)了認(rèn)識的發(fā)展性．借助信息技術(shù)的運(yùn)用，展示發(fā)展的特點(diǎn)，是學(xué)生深化理解的重要途徑．如當(dāng)實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算學(xué)生都掌握后，引導(dǎo)學(xué)生思考實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù)相乘和復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相乘差異產(chǎn)生的本質(zhì)、幾何表示的特點(diǎn)、二維空間與一維空間的屬性等問題．學(xué)生可以借助信息技術(shù)發(fā)現(xiàn)兩者在“形”上的區(qū)別和聯(lián)系，從而更好地思考理解算法的一致性，認(rèn)識知識的聯(lián)系和發(fā)展性．

1.2.2 借助圖形探索問題解決的方向

數(shù)學(xué)作為文化的一部分，其最根本的特征是它表達(dá)了一種探索精神[7]．這種探索精神的重要體現(xiàn)是數(shù)學(xué)研究不斷思考問題解決的依據(jù)，尋找問題解決的方向．教師借助信息技術(shù)提供問題解決的正反方兩方面的信息，學(xué)生在不斷辨析中獲得理解，并發(fā)現(xiàn)問題解決的途徑．如在學(xué)習(xí)兩角和的余弦公式時(shí)，動態(tài)演示及變化時(shí)及的幾何變化特點(diǎn)，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)它們之間是相互關(guān)聯(lián)的但又不是簡單的“去括號”的關(guān)系．進(jìn)一步在學(xué)生探索的變化與的變化關(guān)聯(lián)性后，尋找這一關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)，從幾何意義上把表示出來就成為關(guān)鍵，于是作出就水到渠成了．

2 信息技術(shù)凸顯歸納與演繹的關(guān)系

推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知的前提，推導(dǎo)出結(jié)論的思維過程．歸納推理和演繹推理相互依賴，形成不可分割的整體．傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)更強(qiáng)調(diào)演繹推理，信息技術(shù)的融入使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)日益受到關(guān)注，通過問題的動態(tài)表現(xiàn)，學(xué)生有了更多的觀察和歸納的機(jī)會，對形成猜想，獲得頓悟都有積極的意義，在此基礎(chǔ)上，借助邏輯推理檢驗(yàn)猜想，形成歸納推理、演繹推理共同構(gòu)成的推理鏈，使學(xué)生經(jīng)歷推理的全過程，對推理客觀的依賴性、相互之間的依賴性有更好的理解．

2.1 歸納推理的客觀性

歸納推理是從個(gè)別前提出發(fā)，經(jīng)過觀察和經(jīng)驗(yàn)的分析得出一般結(jié)論的過程．?dāng)?shù)學(xué)知識是客觀存在的，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該使學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)建立在客觀事物認(rèn)識之上．借助信息技術(shù)展示客觀事物的特點(diǎn)，能使學(xué)生形成的歸納猜想更可靠．

2.1.1 依賴客觀現(xiàn)象認(rèn)識規(guī)律

信息技術(shù)能模擬動態(tài)的或平常無法觀察到的現(xiàn)象[11]，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更多地依賴客觀．?dāng)?shù)學(xué)是一門抽象的科學(xué)，對其抽象過程，徐利治教授指出：一般說來，數(shù)學(xué)抽象共有4個(gè)步驟，即觀察實(shí)例、抓住共性、提出概念、構(gòu)筑系統(tǒng)或框架（理論）[12]．信息技術(shù)的動態(tài)效果，使學(xué)生能夠經(jīng)歷 4個(gè)完整的步驟，將解決問題主要依賴主觀思考，轉(zhuǎn)變?yōu)橹饔^思考和客觀驗(yàn)證相統(tǒng)一的過程．如以下問題的思考．

這一問題的分析可以借助動態(tài)演示，觀察圖形的變化過程，歸納出圖4是由一種極端到另一種極端的兩種情況，從而得出m的取值范圍的直觀結(jié)論．

圖4 圓及其兩條切線

2.1.2 依賴圖形確定論證方向

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用信息技術(shù)有利于培養(yǎng)學(xué)生探索的意識，形成利用信息發(fā)現(xiàn)問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題的產(chǎn)生原因，并依賴經(jīng)驗(yàn)探索解決問題的途徑．如已知a,b為非負(fù)數(shù)，，求M的最值．利用信息技術(shù)的作圖工具可以作出的草圖，提出最值存在的猜想，這為問題的解決確定了方向．分析作圖過程，進(jìn)一步探索最值產(chǎn)生的原因．只由難以確定M的最值情況，M的最值決定因素是這一條件．依據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，和的最值一般是在兩數(shù)相等或一些極端情況的時(shí)候獲得．于是可以得到猜想：當(dāng)時(shí)，M有最小值；當(dāng)a,b有一個(gè)為0時(shí)，M有最大值1．借助信息技術(shù)進(jìn)行驗(yàn)證使這一猜想更為可靠，在此基礎(chǔ)上的證明便可以根據(jù)猜想依據(jù)的相關(guān)不等式尋找思路．

2.2 增強(qiáng)演繹推理的深刻性

信息技術(shù)有效運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)著眼于對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，尤其是數(shù)學(xué)思維深刻性的培養(yǎng)[13]．?dāng)?shù)學(xué)對象的表現(xiàn)形式是多樣的，借助信息技術(shù)演示變化過程，能夠提升對變化中不變的認(rèn)識，及對思維對象本質(zhì)的完整把握和認(rèn)識．在此基礎(chǔ)上形成嚴(yán)密的論證能揭示研究對象的本質(zhì)，體現(xiàn)推理的深刻性．

2.2.1 揭示研究對象的本質(zhì)

要全面認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，揭示研究對象的本質(zhì)，離不開直覺思維．徐利治說：直覺是對數(shù)學(xué)真正理解的重要途徑，直覺能使相應(yīng)的內(nèi)容在頭腦中真正成為“非常直接淺顯的”和“非常透徹明白的”，從而真正達(dá)到“真懂”或“徹悟”的境界．信息技術(shù)的使用有利于形成直覺思維．如函數(shù)的圖象是“雙勾”，通過旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系進(jìn)一步猜想圖形可能是雙曲線，由此便把握了對象的本質(zhì)特點(diǎn)，在此認(rèn)識基礎(chǔ)上的論證可以將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

2.2.2 宏觀把握研究對象

借助信息技術(shù)可以從宏觀上把握研究對象．如探究圓錐曲線的關(guān)系，可以借助幾何畫板等軟件動態(tài)演示三類圓錐曲線之間的關(guān)系，形成對圓錐曲線的動態(tài)認(rèn)識和統(tǒng)一定義的理解，為演繹論證提供整體的思路和方向．借助信息技術(shù)，對一些數(shù)學(xué)問題也可以整體把握其特點(diǎn)，如以下問題．

圖5 函數(shù)圖象(1)

圖6 函數(shù)圖象(2)

從圖象分析可以得出一般結(jié)論：兩種不同情況實(shí)質(zhì)上是x軸上下平移的結(jié)果，而且隨著常數(shù)的改變，x軸可以任意上下移動，但無論怎樣移動，函數(shù)圖象的關(guān)系不會改變，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)所對應(yīng)的x的值不會改變．由此便能夠較為宏觀的把握對象，為深化研究提供基礎(chǔ)．

2.3 增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中歸納與演繹的不可分割性

數(shù)學(xué)化是人類文明進(jìn)步的產(chǎn)物，是人類發(fā)現(xiàn)活動在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的具體體現(xiàn)．所謂數(shù)學(xué)化就是由現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題，由具體問題到抽象概念的認(rèn)識轉(zhuǎn)化[14]．歸納推理和演繹推理是數(shù)學(xué)化的重要組成部分，兩者互為補(bǔ)充，共同將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并形成數(shù)學(xué)的結(jié)論．信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂，使數(shù)學(xué)課堂的信息更加豐富，便于學(xué)生多視角的收集信息．信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂，也可以使抽象的問題具體化，便于學(xué)生認(rèn)知的轉(zhuǎn)化．

2.3.1 由現(xiàn)實(shí)問題歸納出數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)

信息技術(shù)的融入可以將豐富的現(xiàn)實(shí)資源展現(xiàn)在數(shù)學(xué)課堂．教師不僅需要對信息進(jìn)行選擇，而且需要引導(dǎo)學(xué)生收集信息，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)生的信息素養(yǎng)，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的過程，使學(xué)生獲得具有生命力的數(shù)學(xué)知識．

精確的定義是邏輯推理的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)對象性質(zhì)研究和論證往往是從定義出發(fā)的．實(shí)際上數(shù)學(xué)對象很多重要的本質(zhì)屬性的抽象都依據(jù)客觀原型．借助信息技術(shù)使學(xué)生體驗(yàn)由實(shí)際對象提煉數(shù)學(xué)模型性質(zhì)的過程，對學(xué)生形成正確的認(rèn)知具有重要意義，特別是一些具有邏輯起點(diǎn)的概念的性質(zhì)．如向量的概念是介于幾何與代數(shù)之間的概念，又是學(xué)生需要綜合考慮兩個(gè)屬性的概念，因而這一概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容．在向量運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)中，可以借助視頻、截圖等，在現(xiàn)實(shí)情境中體會大小和方向在客觀對象中的意義，體驗(yàn)加法等運(yùn)算性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)依據(jù)．

2.3.2 關(guān)注具體現(xiàn)象到一般結(jié)論的推理

任何數(shù)學(xué)問題研究都是從具體到一般的探索，教學(xué)中需要關(guān)注具體問題到一般問題的轉(zhuǎn)化．如函數(shù)的教學(xué)，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)性質(zhì)．”教師在教授函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)時(shí)，借助信息技術(shù)的融入，將畫圖和研究圖作為重要的教學(xué)內(nèi)容，并對特殊的函數(shù)進(jìn)行研究，使學(xué)生很好地理解任意、增減、對稱等概念，這對學(xué)生形成函數(shù)性質(zhì)的理解和認(rèn)識是不可或缺的環(huán)節(jié)．正如李大永、白永瀟、張思明等老師在對北京大學(xué)附中辛華老師的函數(shù)單調(diào)性教學(xué)點(diǎn)評中指出的：華羅庚先生提出的“以退求進(jìn)”的學(xué)習(xí)策略“先足夠地退到我們所容易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后再上去”[15]，易使學(xué)生理解概念的產(chǎn)生、發(fā)展和解決過程．

3 信息技術(shù)為建模與用模提供豐富素材

數(shù)學(xué)并非是對客觀事物或現(xiàn)象的直接研究，而是借助定義和推理進(jìn)行的邏輯建構(gòu)[16]，最終表現(xiàn)為模式化．模型建立的情況決定了問題解決的情況．信息是客觀世界中各種事物的運(yùn)動狀態(tài)和變化的反映，表現(xiàn)的是客觀事物運(yùn)動狀態(tài)和變化的實(shí)質(zhì)內(nèi)容[17]．依據(jù)信息的認(rèn)識和理解，可以得出客觀實(shí)際、信息與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系（如圖7）．由圖7可以看出，數(shù)學(xué)模型是從實(shí)際問題中通過提取信息并進(jìn)行模型化而成的．沒有信息技術(shù)的支持，課堂主要由教師的表達(dá)來傳遞信息，教師的語言、文字和繪圖等表現(xiàn)能力決定了課堂信息的狀況，成為模型建構(gòu)局限性的影響因素．信息技術(shù)使得學(xué)習(xí)空間具有開放性的特點(diǎn)，是一個(gè)生態(tài)系統(tǒng)．教師多角度、多層次將信息引入課堂，形成課堂教學(xué)的動力源，為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型提供依據(jù)．信息技術(shù)的融入可以為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決問題提供豐富的背景，可以將模型建構(gòu)、模型運(yùn)用等思想凸顯于數(shù)學(xué)課堂．

圖7 客觀實(shí)際、信息與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系

3.1 突出實(shí)際原型對模型的影響

數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性取決于基本方法，也就是公理化方法．公理化的起源是公理，公理的形成是實(shí)踐提供的信息的整理，因而，數(shù)學(xué)研究建立在信息收集和整理之上．學(xué)生的學(xué)習(xí)首先要學(xué)會信息的收集和整理，從實(shí)際原型中提煉出數(shù)學(xué)模型，再對模型進(jìn)行分析，形成一般的認(rèn)知．“所謂數(shù)學(xué)模型，指的是對現(xiàn)實(shí)原型為了某種目的而作抽象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．”[18]信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教育能夠獲得更多的現(xiàn)實(shí)原型，為學(xué)生的模型建構(gòu)提供大量的素材．

3.1.1 體驗(yàn)客觀現(xiàn)實(shí)在模型建構(gòu)中的作用

“格物致知”是我國清代顏元最早提出的，數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)也不例外，在信息技術(shù)的環(huán)境下，需要經(jīng)歷信息的收集、加工等“格”的過程才能達(dá)到“知”的目的．模型的建構(gòu)過程是感性思維到理性思維的認(rèn)識過程，是從信息中抽取一類對象的本質(zhì)屬性，形成對對象的抽象認(rèn)識，并用數(shù)學(xué)語言將認(rèn)識固定．

數(shù)學(xué)產(chǎn)生于問題，而問題的提出離不開語言描述，問題的解決又需要建立數(shù)學(xué)模型，最后才能形成結(jié)論，數(shù)學(xué)教學(xué)需要展示這個(gè)完整的過程[19]．在概念的形成教學(xué)中，借助信息技術(shù)的幫助，學(xué)生可以更好地理解概念的建構(gòu)過程．如傾斜角的概念是高中數(shù)學(xué)的重要概念，這一概念的教學(xué)應(yīng)該突出產(chǎn)生、形成和理解3個(gè)重要環(huán)節(jié)．可以通過多媒體演示生活中的不同傾斜狀況引起對象性質(zhì)和特點(diǎn)的不同狀況，構(gòu)建對傾斜問題的感性認(rèn)識；接著經(jīng)過抽象、建立坐標(biāo)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系中直線與水平坐標(biāo)軸之間夾角的問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；在形成概念過程中，引導(dǎo)學(xué)生在4個(gè)交角中合理選擇一個(gè)作為傾斜角，并描述傾斜角的特點(diǎn)；在概念理解中，用數(shù)學(xué)思維重新理解和認(rèn)識實(shí)際問題，辨析數(shù)學(xué)概念并通過建立概念的聯(lián)系不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

3.1.2 體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷男再|(zhì)運(yùn)用于客觀現(xiàn)實(shí)問題的解決

數(shù)學(xué)特點(diǎn)的重要體現(xiàn)是研究對象的確定[20]．學(xué)生在對確定的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行研究后，獲得理性認(rèn)識，有利于對問題的理解和解決．如研究圓錐曲線過焦點(diǎn)的直線經(jīng)圓錐曲線反射后直線的特點(diǎn)，教師可以借助多媒體演示一系列燈的反射面（如電影放映機(jī)上聚光燈泡的反射鏡面、牙科醫(yī)生用于輔助治療的燈的反射鏡面、探照燈的反射鏡面、路燈的反射鏡面等），引導(dǎo)學(xué)生思考這些燈的反射面的特點(diǎn)，以及與水平面相截的曲線特點(diǎn)，并進(jìn)一步思考選擇怎樣形狀的燈以及燈泡應(yīng)該裝在什么位置才能適合不同的需要．學(xué)生從已有的認(rèn)識出發(fā)，思考實(shí)際問題的解決，如電影放音機(jī)需要一束平行光、牙醫(yī)需要聚光、路燈需要照射面積大的光等，不同的需要應(yīng)該選擇不同的圓錐曲線形作為燈的反射面，將實(shí)際問題的研究與數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)研究進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，體驗(yàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型性質(zhì)解決實(shí)際問題．

3.2 凸顯信息對模型研究的意義

數(shù)學(xué)教學(xué)中對于解決問題的程序過程或探索法（heuristics）的掌握，幾乎一定代表著生長[21]．?dāng)?shù)學(xué)上所采取的符號、概念、公式、法則、定理、公理的教學(xué)，本質(zhì)上就是一種信息加工模塊的教學(xué)[22]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要經(jīng)歷從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的升華過程．這一過程是探索的過程，也是數(shù)學(xué)概括的過程，需要豐富的信息作為基礎(chǔ)．3.2.1 依據(jù)多角度信息認(rèn)識規(guī)律

信息技術(shù)的融入可以擴(kuò)大課堂信息的容量，學(xué)生的學(xué)習(xí)可以在大量案例中探索規(guī)律，形成概括的結(jié)論．如以下數(shù)列中的典型問題的教學(xué)．

3.2.2 依據(jù)特殊化發(fā)現(xiàn)規(guī)律

數(shù)學(xué)是研究事物一般性質(zhì)的科學(xué)，但研究過程往往需要將問題特殊化為若干具體問題．借助信息技術(shù)可以使特殊化的信息更加豐富，從中抽象出一般規(guī)律．如由余弦定理到勾股定理、由指數(shù)函數(shù)研究到的研究等，都是將問題特殊化尋找一般規(guī)律，再在一般意義上進(jìn)行證明．

借助信息技術(shù)可以對特殊情況的大量信息進(jìn)行分析，如探索直線與平面垂直的判定定理，借助動畫演示，對與平面內(nèi)一條直線垂直、兩條直線（各種位置）垂直的情況進(jìn)行分析，從而得出一般猜想．

4 思考與建議

上述以抽象、推理及模型3種數(shù)學(xué)思想為例，結(jié)合案例分析了信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教育對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成的價(jià)值．?dāng)?shù)學(xué)可以被教得更好，讓學(xué)生興趣盎然，也可以被教得更壞，讓學(xué)生望而生畏[23]，重要的是看教師怎樣提供信息，怎樣引導(dǎo)學(xué)生加工信息．“如何發(fā)揮用巨大投入建設(shè)起來的信息化設(shè)施的作用，提高教育教學(xué)的實(shí)際效果，應(yīng)當(dāng)是我們著重探索的問題．”[24]縱觀數(shù)學(xué)教育史，世界各國的數(shù)學(xué)教育目的大致始終徘徊于技術(shù)和科學(xué)兩者之間，前者關(guān)注數(shù)學(xué)教育的實(shí)用性，后者關(guān)注數(shù)學(xué)教育的素質(zhì)性．只有兩者辯證地結(jié)合，才能正確把握數(shù)學(xué)教育的基調(diào)[25]．?dāng)?shù)學(xué)思想具有科學(xué)和技術(shù)的共同的屬性，數(shù)學(xué)思想教學(xué)不僅為信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教育提供了切入點(diǎn)，而且是科學(xué)與技術(shù)結(jié)合的重要途徑．教師需要具備整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識[26]，需要在對教材全面理解的基礎(chǔ)上深入挖掘信息技術(shù)的功能，努力發(fā)揮其在提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的作用．將數(shù)學(xué)思想的文化背景、數(shù)學(xué)思想的關(guān)聯(lián)性和數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系有效展現(xiàn)于課堂，突出基本數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生、發(fā)展和運(yùn)用教學(xué)，才能充分發(fā)揮信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值．

4.1 展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思想的文化背景

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，無論如何抽象的數(shù)學(xué)對象都是基于相對具體的事物本體，有其產(chǎn)生的文化背景．文化是人類的思維方式和行為方式[27]，數(shù)學(xué)文化是一種精神，這種精神來源于理性的思維方式和觀念形成的力量[28]．在教學(xué)中，教師要對教學(xué)內(nèi)容的文化特點(diǎn)和抽象的意義有全面的認(rèn)識和理解，并借助信息技術(shù)的融入，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想的產(chǎn)生背景．

如函數(shù)概念的教學(xué)在中學(xué)經(jīng)歷了兩個(gè)重要的階段，給出了“變量說”、“對應(yīng)說”兩個(gè)定義．為什么函數(shù)要介紹兩個(gè)定義、為什么用函數(shù)思想貫穿基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的觀點(diǎn)得到廣泛認(rèn)可？教師應(yīng)對函數(shù)所包含的文化因素進(jìn)行分析，才能引導(dǎo)學(xué)生更好地理解這些問題．世界萬物共同的本質(zhì)屬性是運(yùn)動和變化，函數(shù)以運(yùn)動變化為研究對象，用模型的方式對客觀現(xiàn)實(shí)共同本質(zhì)屬性進(jìn)行探索，是數(shù)學(xué)與世界聯(lián)系的重要橋梁，運(yùn)動變化也成為函數(shù)概念產(chǎn)生基礎(chǔ)．但是數(shù)學(xué)文化的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)研究不能停留在事物的直觀認(rèn)識，因而需要在運(yùn)動變化中揭示“變中不變”的規(guī)律，并用“數(shù)”進(jìn)行描述，形成數(shù)集之間的關(guān)系，這也是對函數(shù)概念的進(jìn)一步抽象．對函數(shù)的認(rèn)識是人類思維方式和行為方式的體現(xiàn)，也就是人類的文化特點(diǎn)在數(shù)學(xué)中的重要體現(xiàn)．教師應(yīng)基于對函數(shù)發(fā)展的認(rèn)識，借助信息技術(shù)，展示從自然界運(yùn)動變化到數(shù)集對應(yīng)的抽象過程．

4.2 展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想之間的關(guān)聯(lián)性

數(shù)學(xué)基本思想是相互聯(lián)系的，在教學(xué)中應(yīng)突出其關(guān)聯(lián)性．如歸納是建立在一定的邏輯之上的，即每個(gè)歸納的結(jié)果都隱含著許多復(fù)雜三段論式的邏輯推理，每一個(gè)演繹推理又是基于一定的猜想，學(xué)生的歸納推理能力與演繹推理能力應(yīng)協(xié)調(diào)發(fā)展，教師在教學(xué)中應(yīng)將兩種推理模式進(jìn)行有機(jī)結(jié)合．

圖8 關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩條直線

4.3 展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)性

數(shù)學(xué)基本思想蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)問題解決過程中，是現(xiàn)實(shí)問題抽象而成的，數(shù)學(xué)問題解決不僅能形成數(shù)學(xué)結(jié)論，而且滲透著數(shù)學(xué)基本思想，數(shù)學(xué)結(jié)論又為形成數(shù)學(xué)基本思想奠定了新的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)的形式化特點(diǎn)使知識中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想不能完全顯現(xiàn)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助知識的關(guān)聯(lián)性理解數(shù)學(xué)思想的關(guān)聯(lián)性．

如函數(shù)和數(shù)列是兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型．學(xué)生雖然能夠體會數(shù)列是函數(shù)的特殊情況，但對兩者數(shù)學(xué)思想的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識還難以全面．教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握數(shù)列和函數(shù)基本知識的基礎(chǔ)上，理解函數(shù)的研究需要特殊化為數(shù)列，數(shù)列的結(jié)論需要依據(jù)函數(shù)的本質(zhì)才能加深認(rèn)識．如引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)研究需要借助圖形，畫圖需要描點(diǎn)，描點(diǎn)需要列表，列表的本質(zhì)就是用表格的方式展示自變量的取值對應(yīng)的數(shù)列與因變量的結(jié)果對應(yīng)的數(shù)列之間的關(guān)系，也就是將函數(shù)特殊化為數(shù)列進(jìn)行分析．再如教學(xué)等差數(shù)列求和公式時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生探索等差數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的加法，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為乘法，從而由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為求和公式后次數(shù)的變化就好理解了．對模型關(guān)系的認(rèn)識是一個(gè)由知識到思想，又由思想到知識的辯證發(fā)展過程．信息技術(shù)的融入，可以將這一過程直觀化，使學(xué)生不但理解了各個(gè)模型的特點(diǎn)，還進(jìn)一步抽象出模型之間的聯(lián)系．

數(shù)學(xué)根植于客觀現(xiàn)實(shí)世界，是現(xiàn)實(shí)世界的高度抽象．推理是數(shù)學(xué)內(nèi)部之間的聯(lián)系，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)間的邏輯性．模型是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的橋梁，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性．教學(xué)中應(yīng)借助信息技術(shù)將形式化的數(shù)學(xué)知識回歸實(shí)際原型，培養(yǎng)學(xué)生現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)之間雙向翻譯的能力，展現(xiàn)知識的發(fā)生和發(fā)展的過程．

改善教學(xué)的環(huán)境因素是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的有效手段，因而要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想，就需要具有相應(yīng)的、全面的環(huán)境[31]，有效促進(jìn)學(xué)生的思維應(yīng)當(dāng)成為判斷數(shù)學(xué)課成功與否的主要標(biāo)志[32]，信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)課堂對改善數(shù)學(xué)思想教學(xué)環(huán)境起到了不可替代的作用，使數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識的教學(xué)形成整體，互為補(bǔ)充．在課堂教學(xué)中，信息技術(shù)提供的大量信息，可以使不同的學(xué)生采用不同的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，也可以使教師靈活地在傳統(tǒng)教學(xué)與現(xiàn)代教學(xué)方法之間切換，形成教學(xué)方法的綜合運(yùn)用．另外，信息技術(shù)融入數(shù)學(xué)教育將促進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)方式與現(xiàn)代教學(xué)方式的融合，形成任何一個(gè)都不能 單獨(dú)擁有的教學(xué)力量．

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Value of Information Technology in Mathematical Thought and Method Education

LIU Yong-mei1, WU Li-bao2
(1. College of Mathematics and Information Science, Jiangxi Normal University, Jiangxi Nanchang 330022, China; 2. College of Teacher Education, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China)

Integration of IT into mathematics education is conducive to show the characteristics of abstract thoughts’ rational culture, to enhance the understanding of the relevance of mathematical objects. IT helps enhance the objectivity of inductive reasoning and profound of deductive reasoning, provides abundant materials for the modeling and solving problems with model. Also IT is beneficial to show the cultural backgrounds of mathematical thoughts, the links of mathematical thoughts and the relevance between mathematical thoughts and mathematical knowledge in classroom, and then highlights the produce, development and application in teaching of basic mathematical thoughts.

mathematical thought; information technology; mathematical education

G424

A

1004–9894（2017）01–0041–06

[責(zé)任編校：陳雋]

2016–10–05

江西省高等學(xué)校教學(xué)改革研究課題——基于卓越型教師的“課堂教學(xué)技能實(shí)訓(xùn)·數(shù)學(xué)”課程建設(shè)與實(shí)踐（JXJG-14-2-25）；全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃 2013年度教育部青年專項(xiàng)課題——內(nèi)容分布與認(rèn)知要求雙重視角下的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)國際比較研究——以數(shù)學(xué)課程為例（EHA130395）；天津市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——“幼小”“小初”學(xué)段銜接的課程建設(shè)實(shí)踐研究（BE3330）

劉詠梅（1961—），女，河北邯鄲人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)文化研究．吳立寶為本文通訊作者．