李 賀，張衛(wèi)明

（1．江蘇省徐州高級中學(xué)，江蘇 徐州 221000；2．江蘇鹽城中學(xué)教育集團(tuán)，江蘇 鹽城 224001）

基于質(zhì)量檢測的初中學(xué)生數(shù)學(xué)建模發(fā)展?fàn)顩r的調(diào)查研究

李 賀1，張衛(wèi)明2

（1．江蘇省徐州高級中學(xué)，江蘇 徐州 221000；2．江蘇鹽城中學(xué)教育集團(tuán)，江蘇 鹽城 224001）

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分．在2016年江蘇省中小學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測測試中，對與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的題目得分及水平分布作了統(tǒng)計(jì)和分析，結(jié)果表明：（1）江蘇省初二年級學(xué)生的6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展不平衡，與其它5個(gè)核心素養(yǎng)的發(fā)展相比較，數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀水平相對較高．（2）江蘇省初二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平發(fā)展也不平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出．（3）江蘇省初二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平表現(xiàn)依次是城區(qū)好于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)好于鄉(xiāng)村；蘇中好于蘇南，蘇南好于蘇北；民辦學(xué)校明顯好于公辦學(xué)校；不存在性別上的顯著差異．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；初中生；學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測

1 問題提出

數(shù)學(xué)建模是高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組專家提出 6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分之一，具體描述為：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問題的過程．主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題．?dāng)?shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式．?dāng)?shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的基本手段，也是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力．在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)．學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證模型和完善模型；能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)．

模型思想是修訂《義務(wù)教育課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》新增的核心概念．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對模型思想的描述是：模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑．建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義．這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)[1]．

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中提出這樣的觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有3個(gè)：抽象、推理、模型……通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系．”[2]從數(shù)學(xué)產(chǎn)生、數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)外部關(guān)聯(lián) 3個(gè)維度上概括了對數(shù)學(xué)發(fā)展影響最大的3個(gè)重要思想．?dāng)?shù)學(xué)建模過程可以使學(xué)生在多方面得到培養(yǎng)而不只是知識(shí)、技能，使學(xué)生更有思想、方法，也有一些經(jīng)驗(yàn)積累，其情感態(tài)度（如興趣、自信心、科學(xué)態(tài)度等）也會(huì)得到培養(yǎng)．另外，模型思想還體現(xiàn)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》其它方面．如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有如下提法：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模過程．”（數(shù)與代數(shù)總目標(biāo)）；“結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問題的方案，并加以實(shí)施的過程，體驗(yàn)建立模型、解決問題的過程”（“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)）等[3～5]．那么，當(dāng)下初中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力狀況到底如何？特別是數(shù)學(xué)建模作為核心素養(yǎng)提出再次成為數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)，有必要對這個(gè)問題作研究．

這里就2016年江蘇省初中二年級學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測中，與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的題目得分情況和水平分布作出分析，以反映江蘇省初中二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平的基本狀況．

2 調(diào)查結(jié)果

2.1 不同群體在數(shù)學(xué)建模各水平的分布

圖1給出了江蘇省及不同群體學(xué)生在數(shù)學(xué)建模各水平上的人數(shù)比例．

圖1 不同群體學(xué)生在數(shù)學(xué)建模各水平上的人數(shù)比例

從圖1中可以看出，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模上，江蘇省學(xué)生在不合格水平上的人數(shù)比例為15%，說明江蘇省有85%的學(xué)生達(dá)到了合格及以上水平．城區(qū)、鎮(zhèn)區(qū)和鄉(xiāng)村學(xué)校學(xué)生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為13%、17%和25%；蘇南、蘇中和蘇北學(xué)校學(xué)生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為12%、12%和20%；公辦和民辦學(xué)校學(xué)生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為17%和7%；男生和女生在不合格水平上的人數(shù)比例分別為16%和13%．

2.2 題目中涉及數(shù)學(xué)建模的得分情況

從表1中可以看出，本次測試中，學(xué)生總體能力處于A、B、C、D四個(gè)水平的學(xué)生在M8AO041這道題目上的平均得分率分別是99.2%、97.6%、87.5%、52.0%；從學(xué)生的得分分布情況看，在 9個(gè)小題中，學(xué)生表現(xiàn)優(yōu)異的小題有 2個(gè)，表現(xiàn)中等的小題有6個(gè)．表現(xiàn)較弱的小題有1個(gè)．

表1 學(xué)生在數(shù)學(xué)建模各題得分的水平表現(xiàn)

3 分析討論

3.1 不同表現(xiàn)水平學(xué)生在每道題目上的平均得分率比較

從調(diào)查結(jié)果看，學(xué)生在以下兩個(gè)方面表現(xiàn)優(yōu)異：（1）用數(shù)學(xué)符號建立一次函數(shù)表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律（2）從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立函數(shù)表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律．在以下方面表現(xiàn)較差：從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立一次函數(shù)表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．方程、函數(shù)、不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的模型，用數(shù)學(xué)符號建立方程、函數(shù)、不等式表示問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律對于大部分學(xué)生來說，表現(xiàn)優(yōu)異．但是對于題目中反應(yīng)出的復(fù)雜生活背境，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是學(xué)生的難點(diǎn)．這個(gè)結(jié)果說明，學(xué)生問題解決能力和應(yīng)用意識(shí)值得關(guān)注．

4個(gè)水平的學(xué)生在每道題目上的平均得分率基本呈正態(tài)分布，其中優(yōu)秀、良好水平學(xué)生平均得分率低于20%的題有1道，合格水平學(xué)生平均得分率低于10%的題有3道，不合格水平學(xué)生平均得分率低于1%的題有4道．

3.2 數(shù)學(xué)建模與6個(gè)核心素養(yǎng)總體情況的比較

從兩者優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，在所統(tǒng)計(jì)的11項(xiàng)數(shù)據(jù)中，蘇南與民辦超出3%，另外9項(xiàng)均超出2%，說明對優(yōu)秀學(xué)生來說，數(shù)學(xué)建模超出核心素養(yǎng)總體情況高度．從兩者良好的得分人數(shù)占比看，在所統(tǒng)計(jì)的11項(xiàng)數(shù)據(jù)中，數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)均高于核心素養(yǎng)總體，最多低10%，最少低7%，說明對良好學(xué)生來說，數(shù)學(xué)建模低于核心素養(yǎng)總體．從兩者合格的得分人數(shù)占比看，在所統(tǒng)計(jì)的11項(xiàng)數(shù)據(jù)中，蘇南、民辦超出 1%和 2%，城區(qū)、公辦沒有差異外，其它數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)均低于核心素養(yǎng)總體的1%，說明對兩者合格學(xué)生來說，數(shù)學(xué)建模略低于核心素養(yǎng)總體．從兩者不合格的得分人數(shù)占比看，從所統(tǒng)計(jì)的11項(xiàng)數(shù)據(jù)看，數(shù)學(xué)建模數(shù)據(jù)均高于核心素養(yǎng)總體，最少高出4%，最高高出10%，說明數(shù)學(xué)建模不合格的學(xué)生遠(yuǎn)超于核心素養(yǎng)總體不合格的學(xué)生．

這個(gè)結(jié)果說明，與核心素養(yǎng)整體的發(fā)展相比較，數(shù)學(xué)建模發(fā)展不太平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出，這可能與數(shù)學(xué)建模的題目背境大多來源于生活實(shí)際有關(guān)，學(xué)生“概念性理解”能力強(qiáng)，“問題探究”能力差．

3.3 數(shù)學(xué)建模自身的差異性比較

城鄉(xiāng)比較：從優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)城區(qū)要遠(yuǎn)好于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)要好于鄉(xiāng)村；從良好的得分人數(shù)占比看，數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)城區(qū)、鎮(zhèn)區(qū)要好于鄉(xiāng)村；從合格與不合格的得分人數(shù)占比看，數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)鄉(xiāng)村人數(shù)高于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)高于城區(qū)．

不同地域比較：從優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)蘇中要好于蘇南，蘇南要好于蘇北；從良好的得分人數(shù)占比看，數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)蘇南、蘇中、蘇北大致相當(dāng)．從合格與不合格的得分人數(shù)占比看，蘇北的人數(shù)要高于蘇南、蘇中．

不同性質(zhì)學(xué)校比較：從得分人數(shù)占比看，民辦優(yōu)秀的人數(shù)要遠(yuǎn)高于公辦，合格、不合格的人數(shù)遠(yuǎn)少于公辦．

不同性別比較：從優(yōu)秀的得分人數(shù)占比看，數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)男生略好于女生；從良好的得分人數(shù)占比看，數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)女生略好于男生；而男生不合格的人數(shù)又多于女生．

從以上結(jié)果看出，男女學(xué)生在數(shù)學(xué)建模水平上沒有太大差異．鄉(xiāng)村學(xué)校和蘇北地區(qū)的學(xué)校初中二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平相對較低，民辦學(xué)校的學(xué)生在數(shù)學(xué)建模水平方面較許多公辦學(xué)校更有優(yōu)勢．

3.4 出現(xiàn)的問題分析

對平均得分率為23.4%和61.3%的小題，進(jìn)行了典型錯(cuò)誤的記錄，并對錯(cuò)因進(jìn)行了項(xiàng)目組的討論與分析．

案例1 M8AS174 水果店張阿姨以每千克2元的價(jià)格購進(jìn)某種水果若干千克，銷售一部分后，根據(jù)市場行情降價(jià)銷售，銷售額y（元）與銷售量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示．當(dāng)銷售量為多少千克時(shí)，張阿姨銷售此種水果的利潤為150元？

錯(cuò)誤分析：

（1）學(xué)生沒有理解降價(jià)前后應(yīng)是兩種不同情況，缺乏分類討論的意識(shí)．

（2）學(xué)生錯(cuò)誤地將銷售額理解為利潤，混淆了這兩個(gè)概念．

（3）學(xué)生對降價(jià)后的單件利潤在函數(shù)圖象理解上出現(xiàn)錯(cuò)誤，或?qū)︿N售額與利潤兩個(gè)概念理解不清．

（4）學(xué)生錯(cuò)誤地將降價(jià)后的售價(jià)理解為直接用 260÷80＝3.25（元/千克），這反應(yīng)了學(xué)生對函數(shù)圖象不理解．

（5）運(yùn)算能力不強(qiáng)．

案例2 M8AS151 小麗跟隨旅行團(tuán)到風(fēng)景區(qū)游覽．游覽過程中，她被景區(qū)內(nèi)的紀(jì)念品商店所吸引，用了5 min購物后，立即沿團(tuán)隊(duì)行走路線追趕，恰好與團(tuán)隊(duì)同時(shí)到達(dá)距離商店600 m處的景點(diǎn)A．已知她追趕的平均速度是團(tuán)隊(duì)行走平均速度的2倍．求團(tuán)隊(duì)行走的平均速度．

錯(cuò)誤分析：

（1）對數(shù)學(xué)模型的理解有誤，不能正確理解幾個(gè)變量間的關(guān)系，并找到相等關(guān)系，不能用代數(shù)式表示出相應(yīng)的量．

（2）不會(huì)正確解分式方程，對基本變形如去分母、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為“1”等步驟出錯(cuò)，不知道方程每一步變形的依據(jù)．

（3）不知道解分式方程要檢驗(yàn)，主要是在新課學(xué)習(xí)過程中，對為什么要檢驗(yàn)的理由不理解，對檢驗(yàn)的必要性不重視．

4 結(jié)論與建議

4.1 結(jié) 論

（1）江蘇省初二年級學(xué)生的6個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展不平衡，與其它5個(gè)核心素養(yǎng)的發(fā)展相比較，數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀水平相對較高．

（2）江蘇省初二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平發(fā)展也不平衡，兩極分化現(xiàn)象比較突出．

（3）江蘇省初二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平表現(xiàn)依次是城區(qū)好于鎮(zhèn)區(qū)，鎮(zhèn)區(qū)好于鄉(xiāng)村；蘇中好于蘇南，蘇南好于蘇北；民辦學(xué)校明顯好于公辦學(xué)校；不存在性別上顯著差異．

4.2 建 議

（1）建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程．要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題．這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，敏銳的洞察力和想象力，對實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面．

（2）改變過去以教師為中心、以知識(shí)傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式．教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力素養(yǎng)為目標(biāo)來組織教學(xué)工作．

（3）教學(xué)過程中要讓學(xué)生充分體會(huì)一次函數(shù)、方程、不等式的意義，關(guān)注概念、法則、性質(zhì)等形成的過程，重視法則、性質(zhì)在解決實(shí)際問題中的運(yùn)用，培養(yǎng)識(shí)別圖表信息的能力．

（4）加強(qiáng)對學(xué)生基本技能的訓(xùn)練，如：解方程或方程組．

（5）將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)結(jié)合在一起．教學(xué)中不僅關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的掌握，還特別注重應(yīng)用意識(shí)[6]．

（6）重視數(shù)學(xué)文化的熏陶，引導(dǎo)學(xué)生善于用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法分析生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象．

（7）改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式．?dāng)?shù)學(xué)建模是一個(gè)綜合性的過程，它具有問題性、活動(dòng)性、過程性、探索性，因而它不同于單純的數(shù)學(xué)解題，這給學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變帶來了很大的空間．

[1]中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2011．

[2]史寧中．?dāng)?shù)學(xué)思想概論[M]．長春：東北師范大學(xué)出版社，2015．

[3]鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（3）：1．

[4]喻平．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實(shí)證研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（6）：1．

[5]王光明，張楠，周九詩．高中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的操作定義[J]．課程·教材·教法，2016，（7）：50．

[6]何小亞．學(xué)生“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”指標(biāo)的理論分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（1）：13．

Survey on the Development of Mathematical Modeling Capabilities of Junior High School Students Based on the Academic Level Monitoring

LI He1, ZHANG Wei-ming2
(1. Jiangsu Xuzhou Senior School, Jiangsu Xuzhou 221000, China; 2. Jiangsu Yancheng Middle School Education Group, Jiangsu Yancheng 224001, China)

Mathematical Modeling is one of the six mathematical key competences. In this paper, we conducted a survey on the questions related to mathematical modeling and its scores in 2016 Education Quality Monitoring Tests of Jiangsu Province. The data which we collected shows that: (1) there are many imbalances between six mathematical key competences’ training in the junior-middle school students of Grade Two in Jiangsu Province; by comparing with the other five mathematical key competences, mathematical modeling capabilities of the students showed a higher level; (2) the development of mathematical modeling capabilities of the junior-middle school students of Grade Two in Jiangsu Province is lack of balance, which has resulted in the polarization significantly; (3) in particular, the mathematical modeling capabilities of the junior-middle school students of Grade Two in urban areas is better than rural areas; the capabilities of the students in middle Jiangsu is better than in southern Jiangsu, and the later is better than in northern Jiangsu; the capabilities of the students in private-run schools is better than in public-run schools; and there is no significant gap between boys and girls. According to the analysis of the survey above, we finally gave some suggestions to improve the situation.

mathematical key competences; mathematical modeling; junior-middle school students; education quality monitoring

G632

A

1004–9894（2017）01–0019–03

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2017–01–20

江蘇省教育廳基于測試分析的跟進(jìn)式改革重大研究項(xiàng)目——義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力研究（2015JYKTZD-02）；江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十一期重點(diǎn)課題——初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平評價(jià)研究（2015JK11-Z085）；江蘇省社科基金——中小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系建構(gòu)與教學(xué)實(shí)踐研究（15JYD001）

李賀（1979—），女，江蘇徐州人，中學(xué)高級教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．