丁光濤

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000)

分析力學(xué)中Santilli方法和Engels第一方法的意義和局限性1)

丁光濤2)E-mail:dgt695@sina.com

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽蕪湖241000)

討論變分法逆問題理論中的兩種構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的基本方法：Santilli方法和Engels第一方法. (1)指出Santilli方法的理論意義在于直接用構(gòu)造法證明自伴隨微分方程能夠從變分原理導(dǎo)出，即表示為歐勒--拉格朗日方程形式.(2)提出利用Santilli方法構(gòu)造的結(jié)果,不是唯一的拉格朗日函數(shù)，而是一規(guī)范等效的拉格朗日函數(shù)族，為此修正了該方法.(3)指出在實(shí)際應(yīng)用中Santilli方法的局限性，特別是對(duì)某些力學(xué)系統(tǒng)，可能因?qū)⒆兞康亩ǚe分發(fā)散，而不能有效構(gòu)造拉格朗日函數(shù).(4)分析Engels第一方法的意義和優(yōu)越性，同時(shí)指出這種方法存在與Santilli方法相似的局限性.(5)以兩個(gè)力學(xué)系統(tǒng)為例，說明上述討論的結(jié)論.

逆問題,拉格朗日函數(shù),Santilli方法,Engels第一方法

變分法逆問題，或稱為拉格朗日力學(xué)逆問題，是研究給定的二階常微分方程(組)，能否通過變分原理導(dǎo)出，即能否表示成拉格朗日方程形式的問題.顯然，解決逆問題的關(guān)鍵在于研究存在拉格朗日函數(shù)的條件和如何構(gòu)造該函數(shù)的方法.逆問題的研究源自19世紀(jì)，在20世紀(jì)中期以后，重新得到重視和發(fā)展，成為數(shù)學(xué)力學(xué)和物理學(xué)領(lǐng)域中熱門研究課題之一，其成果也廣泛應(yīng)用于其他學(xué)科領(lǐng)域[15].理論上已經(jīng)證明，由變分原理導(dǎo)出的方程，即拉格朗日方程滿足自伴隨條件，也證明了自伴隨方程存在對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)，從而可以寫成拉格朗日方程形式.不同時(shí)期的許多研究者提出了多種不同的構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法，這些方法適用范圍不同，有些僅僅用于若干特殊的方程，有些是比較基本而普遍的方法，后者中有文獻(xiàn)[1-2]中介紹的Santilli方法和Engels第一方法.本文對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較深入的討論，指出其理論意義，探討其導(dǎo)出的結(jié)果，同時(shí)分析其應(yīng)用上的局限性，最后以典型的力學(xué)系統(tǒng)實(shí)例予以說明.

1 Santilli方法及其理論意義

力學(xué)系統(tǒng)基本形式的運(yùn)動(dòng)微分方程為

本文采用求和約定，即對(duì)同一項(xiàng)中重復(fù)出現(xiàn)的上下指標(biāo)自動(dòng)求和.如果方程組(1)滿足一定的連續(xù)、可微條件，以及規(guī)則性條件

并且滿足下列全部自伴隨條件

則稱方程組(1)是自伴隨的.

力學(xué)系統(tǒng)的拉格朗日方程是自伴隨的.設(shè)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

則其拉格朗日方程為

則利用直接計(jì)算即可證明拉格朗日方程(5)滿足自伴隨條件(3)，即方程(5)是自伴隨方程.由此可以提出逆問題：如果方程(1)是自伴隨的，能否表示成拉格朗日方程(5)形式？若能，如何構(gòu)造對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)？

Santilli給出了從自伴隨方程直接構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的基本方法，在理論上用構(gòu)造法證明了自伴隨方程能表示成拉格朗日方程形式.Santilli方法如下：設(shè)(1)的拉格朗日函數(shù)為

其中函數(shù)K,Dk和C滿足下列偏微分方程

按序解方程(8)～方程(10)，依次得到

代入式(7)，即導(dǎo)出待求的拉格朗日函數(shù).這種直接從自伴隨方程(1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，將方程表示成拉格朗日方程形式，稱為直接的拉格朗日表示.

如果方程(1)不是自伴隨的，但是，能夠通過變換

得到新的方程是自伴隨的，那么，從新方程構(gòu)造得到拉格朗日函數(shù)，導(dǎo)出拉格朗日方程，則稱為原方程(1)的間接拉格朗日表示.

2 Santilli方法的修正和拉格朗日函數(shù)族的導(dǎo)出

如果力學(xué)系統(tǒng)存在拉格朗日函數(shù)，則必然存在規(guī)范等效的拉格朗日函數(shù)

式中G(t,q)稱為規(guī)范變換函數(shù)，取一族不同的G(t,q)，就得到規(guī)范等效的拉格朗日函數(shù)族.可以證明，利用Santilli方法不僅可以構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，而且可以直接構(gòu)造規(guī)范等效的函數(shù)族，為此需要對(duì)式(9)～式(13)進(jìn)行修正.根據(jù)方程(8)，式(11)可以修正為

因而，式(9)、式(12)、式(10)和式(13)依次修正為根據(jù)式(7)，得到

由于式(16)中的ai(t,q)和a0(t,q)可以任意選取，故式(22)給出的是一族拉格朗日函數(shù)，它們代入拉格朗日方程(5)，都得到相同的方程(1).可以證明，L和L′是規(guī)范等效的拉格朗日函數(shù).

首先，考慮式(16)中附加項(xiàng)是一個(gè)函數(shù)對(duì)時(shí)間微商的特殊情況

則由式(17)～式(21)得到

顯然，從式(22)直接給出的是規(guī)范等效的拉格朗日函數(shù).其次，如果式(16)中附加項(xiàng)不是一個(gè)函數(shù)對(duì)時(shí)間的微商，即不滿足式(23)，則通過直接計(jì)算式(16)和式(7)中兩個(gè)函數(shù)之差L′-L，即能證明這是一個(gè)函數(shù)對(duì)時(shí)間的微商.考慮到式(16)中附加項(xiàng)的任意性，則表明利用修正的Santilli方法，從自伴隨方程構(gòu)造的結(jié)果是一個(gè)規(guī)范等效的拉格朗日函數(shù)族.

3 Santilli方法在應(yīng)用中的局限性

Santilli方法具有重要的理論意義，但是應(yīng)當(dāng)指出，該方法在實(shí)際應(yīng)用上有較大的局限性，表現(xiàn)在如下三方面：一是只能直接應(yīng)用于自伴隨方程，但是，很多問題給出的方程并不是自伴隨的，將非自伴隨方程變換為自伴隨方程常常是困難的，且Santilli方法中沒有包括如何將方程變換為自伴隨形式的相關(guān)內(nèi)容；二是Santilli方法的計(jì)算程序嚴(yán)格而過程繁瑣，其中包含大量積分計(jì)算，在某些情況下，積分可能不能給出有限形式的結(jié)果；三是Santilli方法中反復(fù)進(jìn)行參變量定積分，有可能出現(xiàn)積分發(fā)散情況，而在多次積分中只要一次出現(xiàn)這種情況，就無法構(gòu)造得到拉格朗日函數(shù)，這是Santilli方法值得注意的局限性.下面將舉例說明，即使某些典型的簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng)，都由于這個(gè)問題而不能利用Santilli方法構(gòu)造拉格朗日函數(shù).

4 Engels第一方法的理論意義和應(yīng)用局限性

設(shè)基本形式的二階常微分方程組

滿足自伴隨條件，則其拉格朗日函數(shù)可以利用下式計(jì)算

這就是計(jì)算自伴隨方程的Engels第一方法，它與Santilli方法相似，形式上是適用范圍較廣的普遍方法，它的優(yōu)越性在于計(jì)算過程簡(jiǎn)單明確.

Engels第一方法的意義值得研究，式(26)右端前一項(xiàng)實(shí)際上是從自伴隨運(yùn)動(dòng)微分方程直接計(jì)算導(dǎo)出的與廣義加速度相關(guān)的拉格朗日函數(shù)[1,67],即

但是這個(gè)拉格朗日函數(shù)與廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間二次微商是線性相關(guān)的，可以利用規(guī)范變換消去，式(26)右端后一項(xiàng)實(shí)際上就是規(guī)范變換項(xiàng)，消去了全部與加速度相關(guān)項(xiàng)后，得到的是僅與廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間一次微商相關(guān)的拉格朗日函數(shù).

根據(jù)變分原理，將歐勒--拉格朗日算子作用到拉格朗日函數(shù)上，就導(dǎo)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，即

已經(jīng)指出上述運(yùn)動(dòng)方程是自伴隨的.Engels第一方法表明，對(duì)自伴隨的運(yùn)動(dòng)微分方程，由式(26)給出的積分--微分復(fù)合運(yùn)算能夠從運(yùn)動(dòng)方程得到對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù).式(26)可以寫成算子形式

式(28)和式(29)中兩個(gè)算子形式上構(gòu)成一對(duì)互逆運(yùn)算.在20世紀(jì)90年代國內(nèi)有學(xué)者提出“變分”的逆運(yùn)算——“變積”運(yùn)算概念[8]，近來文獻(xiàn)[9]指出Engels第一方法就是“變積”運(yùn)算，從而以新的角度揭示這個(gè)方法的重要意義.

然而，在實(shí)際應(yīng)用上Engels第一方法與Santilli方法類似，也存在對(duì)非自伴隨方程變換為自伴隨方程的困難，也存在積分的困難，特別是存在對(duì)參變量定積分發(fā)散的可能，從而有不能構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的局限性.在下面的舉例中，同樣可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法對(duì)某些簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng)不能使用.

5 算例及其分析

算例1一維阻尼運(yùn)動(dòng)

方程是非自伴隨的，但是，容易變換為自伴隨的方程

利用Santilli方法，得到

為了說明修正的Santilli方法，取

顯然，附加項(xiàng)不是某個(gè)函數(shù)的全微商，利用式(17)～式(22)，得到

即L′是L的規(guī)范等效拉格朗日函數(shù).

方程(30)還可以變換成為另一種自伴隨方程

顯然，無論是利用Santilli方法，還是利用Engels第一方法，對(duì)方程(31)都可以得到拉格朗日函數(shù)，但是，對(duì)方程(35)都由于參變量定積分的發(fā)散問題，不能給出拉格朗日函數(shù).事實(shí)上，利用其他方法，可以得到方程(35)的拉格朗日函數(shù)為

算例2一維平方反比力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)

這是簡(jiǎn)單的保守力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)問題，方程(37)是自伴隨的，拉格朗日函數(shù)為但是，無論是利用Santilli方法，還是利用Engels第一方法，都會(huì)由于對(duì)參變量定積分的發(fā)散，而不能導(dǎo)出拉格朗日函數(shù).這就是說，兩種方法應(yīng)用上的的局限性不容忽視.

6 結(jié)論

本文討論了構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的Santilli方法和Engels第一方法的理論意義，以及它們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中的困難和局限性，特別是兩種方法中都存在對(duì)參變量的定積分可能出現(xiàn)發(fā)散問題，因此對(duì)很多力學(xué)系統(tǒng)，這兩種方法不能構(gòu)造對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù).另外，本文對(duì)傳統(tǒng)的Santilli方法進(jìn)行了修正，利用這種修正的方法構(gòu)造的結(jié)果不是唯一的拉格朗日函數(shù)，而是規(guī)范等效的拉格朗日函數(shù)族.應(yīng)當(dāng)指出，其他的構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法，也和這兩種基本方法類似，都有各自的特點(diǎn)和局限性，因此繼續(xù)發(fā)展和完善已有的方法，研究并提出新的實(shí)用范圍更為廣泛的方法，仍然是變分法逆問題研究的重要課題.

1 Santilli RM.Foundations of Theoretical Mechanics I.New York:Springer-Verlag,1978

2梅鳳翔.分析力學(xué)專題.北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社，1988

3 Saunders DJ.Thirty years of the inverse problem in the calculus of variations.Reports on Mathematical Physics, 2010，66:43-53

4 Lopuszanski J.The Inverse Variational Problem in Classical Mechanics.Singapore:World Scienti fi c,1999

5丁光濤.理論力學(xué).合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2014

6丁光濤.經(jīng)典力學(xué)中加速度相關(guān)的Lagrange函數(shù).物理學(xué)報(bào)，2009,58(6)：3620-3624

7丁光濤.計(jì)算加速度相關(guān)Lagrange函數(shù)的方法.物理學(xué)報(bào)，2009,58(10)：6725-6728

8 Liang LF,Shi ZF.On the inverse problem in calculus of variations.Applied Mathematics and Mechanics,1994, 15(9):815-830

9陳海波，丁光濤，許雪艷.關(guān)于變積的研究.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2016，14(6):492-495

(責(zé)任編輯:胡漫)

SIGNIFICANCE AND LIMITATIONS OF SANTILLI’METHOD AND FIRST ENGELS’METHOD IN ANALYTICAL MECHANICS1)

DING Guangtao2)
(College of Physics and Electronic Information,Anhui Normal University,Wuhu 241000,Anhui,China)

Two methods for the construction of a Lagrangian in the theory of inverse problem,the Santilli’method and the fi rst Engels’method,are discussed.(1)It is pointed out that the theoretical signi fi cance of the Santilli’method is in the fact that by a direct construction of Lagrangian one may prove that the self-adjoint di ff erential equations can be derived by the variational principle,that is,represented in terms of the Lagrange’s equations.(2)It is manifested that what constructed by the Santilli’method is not a unique Lagrangian,but a family of gauge equivalent Lagrangians,and the Santilli’method is modi fi ed.(3)The defects of the Santilli’method in practical applications are pointed out,especially for some mechanical systems,because the de fi nite integral depending on a parameter is divergent,so the Lagrangian can not be constructed.(4)The signi fi cance and advantages of the fi rst Engels’method are discussed,and the defects of this method are also pointed out. (5)Two examples are given to illustrate the application of the result.

inverse problem,Lagrangian,Santilli’method,the fi rst Engels’method

O316

A

10.6052/1000-0879-16-157

本文于2016–05–04收到.

1)國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11472063).

丁光濤.分析力學(xué)中Santilli方法和Engels第一方法的意義和局限性.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):180-184 Ding Guangtao.Signi fi cance and limitations of Santilli’method and fi rst Engels’method in analytical mechanics.Mechanics in Engineering,2017,39(2):180-184