朱貝貝孫蘭寧趙忠虎?

?(蘭州大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,蘭州730000)

?(中航勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，北京100098)

??(亞利桑那大學(xué)工程學(xué)院，美國圖森AZ85721)

一類二自由度系統(tǒng)振動的黃金分割率1)

朱貝貝?,2)朱貝貝,碩士，主要從事巖石力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)等方面的研究工作.E-mail:zhubei1991@yeah.net孫蘭寧?趙忠虎?,??,3)趙忠虎,博士,副教授,主要從事巖石力學(xué)與結(jié)構(gòu)力學(xué)等方面的研究工作.E-mail:zhaozhh@lzu.edu.cn

?(蘭州大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院,蘭州730000)

?(中航勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，北京100098)

??(亞利桑那大學(xué)工程學(xué)院，美國圖森AZ85721)

作為數(shù)學(xué)史上一個重要的比例關(guān)系，黃金分割理論已在美學(xué)、建筑學(xué)甚至工程學(xué)中發(fā)揮了一定的作用.為了研究一類二自由度系統(tǒng)振動的黃金分割效應(yīng)，首先介紹了黃金分割的基本理論，然后分別分析了該類二自由度體系的自由振動特征，以及簡諧載荷作用下受迫振動的共振機(jī)制.結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)圓頻率與層剛度和質(zhì)量之比、兩結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)振幅之比都符合黃金分割率，結(jié)構(gòu)在振動中具有和諧之美.

結(jié)構(gòu)動力學(xué)，黃金分割，二自由度，自由振動，受迫振動

黃金分割率是數(shù)學(xué)上的一個比例關(guān)系，它古老而又神奇.最早論述黃金分割率的著作，為公元前300年歐幾里得撰寫的《幾何原本》，該書詳細(xì)論述了黃金分割率的算法.現(xiàn)階段，黃金分割率多與美學(xué)[1]、建筑學(xué)[2]、力學(xué)[3]、工程學(xué)[4]等領(lǐng)域結(jié)合在一起，滲透到我們的日常生活中.

中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契提出的“斐波那契數(shù)列”，可作為符合黃金分割規(guī)律的典范.為了美觀，很多國家的國旗采用線段比率符合黃金分割率的五角星圖案.設(shè)計(jì)者按接近0.618的長寬比，制作門窗、書籍、電視電腦屏幕等生活用品，令人們更加舒適地使用,也是應(yīng)用黃金分割率的例子.由此可見在生活中，隨處都有黃金分割率的影子.

然而，學(xué)者們對于結(jié)構(gòu)的黃金分割規(guī)律研究的依然很少，很多關(guān)鍵性問題沒有得到完善.本文將針對一類特殊的二自由度系統(tǒng)振動下的黃金分割率進(jìn)行論述，希望能對今后的相關(guān)研究帶來一定的啟發(fā).

1 黃金分割基本理論

如圖1所示，設(shè)直線AB被點(diǎn)C分割成兩段，如果AC/AB=CB/AC，則C點(diǎn)稱為直線AB的黃金分割點(diǎn).

圖1 黃金分割示意圖

由定義可知，AC=AB×CB，令A(yù)B=1，AC=x，則有

根據(jù)方程(1)，可解得x≈0.618(舍去負(fù)值).

數(shù)學(xué)上，0.618被公認(rèn)為最具有審美意義的比例數(shù)字，1:0.618也被為黃金比，它們共同構(gòu)成了黃金分割理論的精髓.

2 二自由度系統(tǒng)的自由振動

研究二自由度系統(tǒng)的自由振動，結(jié)合工程實(shí)際對問題進(jìn)行簡化.工程中由于抗震的需要，結(jié)構(gòu)在豎直方向的剛度、質(zhì)量不能有過大變化，因此假定每層的剛度均為k，質(zhì)量為m1=m2=m，模型如圖2所示.

模型動力學(xué)方程為[5]

圖2 自由振動模型

方程(2)的頻率方程如下

兩式中，k為結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，yi(t)為質(zhì)點(diǎn)振動位移，ω為自由振動圓頻率.

由式(3)得

圓頻率ω1,ω2分別對應(yīng)的振幅的比值

其中Yij為質(zhì)點(diǎn)i對應(yīng)頻率ωj的振幅.

通過上述理論分析，二自由度系統(tǒng)的自由振動中，圓頻率pω1與層間剛度和質(zhì)量比值的平方根之比，即以及其對應(yīng)的振型之比，都符合黃金分割率.對于圓頻率ω2來說，這兩個比值都比ω1時(shí)多1，這是個有意思的現(xiàn)象，今后可對此進(jìn)行深入的分析，以完善該方面的研究成果.

3 二自由度系統(tǒng)的受迫振動

結(jié)構(gòu)在現(xiàn)實(shí)中受到一定的側(cè)力作用，發(fā)生受迫振動.取二自由度系統(tǒng)在水平振動載荷作用下的模型如圖3所示.

圖3 受迫振動模型

每層集中質(zhì)量和剛度與自由振動時(shí)的假設(shè)一致，則在簡諧水平載荷Fpisinθt作用下的動力學(xué)方程為

由此得位移振幅為

當(dāng)θ=ω，即結(jié)構(gòu)自振頻率等于外載荷的頻率時(shí)，結(jié)構(gòu)將發(fā)生共振.結(jié)合條件θ=ω1與式(4)，代入式(8)可得

分別賦予Fp2/Fp1不同的比值，將Y1/Y2值列入表1.

表1 Fp2/Fp1比值下的Y1/Y2

從表1不難發(fā)現(xiàn)，無論Fp2/Fp1為何值，Y1/Y2都約為0.618這一黃金分割數(shù)，且有Fp2/Fp1越大，Y1/Y2越接近0.618的趨勢.

以上研究可見，二自由度系統(tǒng)在簡諧載荷作用下發(fā)生共振，質(zhì)點(diǎn)振幅之比符合黃金分割率，并與作用于每層上的外載荷沒有直接關(guān)系.

4 結(jié)論

通過分析一類二自由度系統(tǒng)的自由振動以及在簡諧載荷作用下的受迫振動特征，得出如下結(jié)論：

(1)該類二自由度系統(tǒng)在自由振動中，其振動圓頻率與每層的剛度和質(zhì)量比值的平方根之比，以及對應(yīng)的振幅之比，均符合黃金分割率.

(2)該系統(tǒng)在簡諧載荷作用下發(fā)生共振時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)的振幅之比符合黃金分割率，并且與質(zhì)點(diǎn)所受載荷幅值無關(guān).

綜上所述，黃金分割率存在于結(jié)構(gòu)的振動體系中，并表現(xiàn)出規(guī)律性.然而，本文僅針對某類“特殊的二自由度系統(tǒng)”進(jìn)行研究，關(guān)于二自由度系統(tǒng)的普遍情況，還需進(jìn)一步分析.另外，此現(xiàn)象的實(shí)際利用，比如結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及工程抗震設(shè)計(jì)，將是今后研究工作的重點(diǎn).

1陳翠花,邵丁.對黃金分割及其教育意義的思考.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2006,15(4):21-23

2 Bangs H.宗教建筑學(xué)的回歸——黃金分割率與現(xiàn)代主義的衰落.北京:電子工業(yè)出版社,2013

3董天立,韓增盛.力學(xué)中的黃金分割率,力學(xué)與實(shí)踐,2008, 30(5):112-113

4李長冬,胡新麗,湯旻燁等.二維黃金分割法在抗滑樁截面優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.地質(zhì)科技情報(bào),2007,26(5):91-94

5王偉,賴永星,苗同臣.振動力學(xué)與工程應(yīng)用.鄭州:鄭州大學(xué)出版社,2008

(責(zé)任編輯:胡漫)

THE GOLDEN SECTION RATIO OF A CLASS OF VIBRATION SYSTEM OF TWO DEGREES OF FREEDOM1)

ZHU Beibei?,2)SUN Lanning?ZHAO Zhonghu?,??,3)
?(School of Civil Engineering and Mechanics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,China)
?(AVIC Institute of Geotechnical Engineering Co.,Ltd.,Beijing 100098,China)
??(College of Engineering,University of Arizona,Tucson,AZ 85721,USA)

As an important relation of the proportion in the history of mathematics,the golden section relation plays an important role in aesthetics,architecture,and even engineering.This paper studies the gold segmentation e ff ect for a class of vibration system of two degrees of freedom.The free vibration characteristics,and the resonance mechanism of the forced vibration under harmonic loading are analyzed.It is shown that,the ratios of the structure circular frequency to the layer sti ff ness and mass,and that of the structural amplitudes at two points conform well with the golden section ratio.The structure shows the beauty of harmony in vibration.

structural dynamics,golden section,two degrees of freedom,free vibration,forced vibration

O325

A

10.6052/1000-0879-16-306

2016–11–02收到第1稿，2016–12–14收到修改稿.

1)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(LZUJBKY-2016-110)和國家留學(xué)基金(201606185039)項(xiàng)目資助.

朱貝貝,孫蘭寧,趙忠虎.一類二自由度系統(tǒng)振動的黃金分割率.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):172-174 Zhu Beibei,Sun Lanning,Zhao Zhonghu.The golden section ratio of a class of vibration system of two degrees of freedom.Mechanics in Engineering,2017,39(2):172-174