劉喜梅+林愛華

摘 要：針對(duì)油公司資產(chǎn)組合問題，構(gòu)造可以定量求解的投資組合模型是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。假設(shè)當(dāng)資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布時(shí)，推導(dǎo)出了基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型，并應(yīng)用拉格朗日乘子法推導(dǎo)出模型最優(yōu)解的數(shù)學(xué)表達(dá)式，最后結(jié)合油公司的實(shí)際數(shù)據(jù)定量地解決了油公司的資產(chǎn)組合問題。研究結(jié)果表明，基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型可以有效地解決資產(chǎn)組合問題，為二次效用函數(shù)在資產(chǎn)管理中的應(yīng)用進(jìn)行了有意義的探索研究。

關(guān)鍵詞：二次效用函數(shù)；資產(chǎn)組合；拉格朗日乘子

中圖分類號(hào)：F83

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2017.08.052

1 問題提出

現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論是一個(gè)精細(xì)的組合管理的方法。均值-方差方法是由Markowitz最早提出的，并且成為現(xiàn)代組合理論的基礎(chǔ)部分。均值-方差模型就是考慮在收益一定的情況，使風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小的條件極值問題。

投資組合基本應(yīng)用到股票市場(chǎng)。曹憲章剖析了動(dòng)態(tài)投資組合策略應(yīng)用在我國(guó)股市的可行性。孫翎等以滬深300成分股數(shù)據(jù)為樣本，利用譜分析為投資組合策略研究提供一種新穎的研究思路。本文將組合模型應(yīng)用到油公司中，分析資產(chǎn)或項(xiàng)目的最優(yōu)組合問題。

文獻(xiàn)研究了關(guān)于負(fù)指數(shù)效用函數(shù)模型，為了研究二次效用函數(shù)，提出了基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)組合模型。為了解決油公司的資產(chǎn)組合問題，應(yīng)用二次效用函數(shù)和拉格朗日乘子到油公司的資源管理中。首先介紹了效用函數(shù)一些理論知識(shí)；其次當(dāng)資產(chǎn)收益服從正態(tài)分布時(shí)，推導(dǎo)出了二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型，然后運(yùn)用拉格朗日乘子法求解使得其期望效用最大化的最優(yōu)投資比例的函數(shù)表達(dá)式。研究結(jié)果可解決海油公司的定量化問題。

2 效用函數(shù)理論

2.1 效用函數(shù)

在現(xiàn)實(shí)生活中，效用函數(shù)通常滿足以下性質(zhì)：

由表1中數(shù)據(jù)可知，所選的三個(gè)資產(chǎn)的收益率均服從正態(tài)分布。

三個(gè)資產(chǎn)的平均收益率見表2。

4.2 結(jié)果分析

當(dāng)b取不同的值時(shí)，根據(jù)式（4）得最優(yōu)投資比例及期望值如表3所示。

由表3的數(shù)據(jù)（第5列和第6列），可以得到風(fēng)險(xiǎn)隨收益變化圖（見圖2）。

從表3及圖2可以看出：

在二次效用函數(shù)下，收益-風(fēng)險(xiǎn)的有效邊界類似開口向上的右半根拋物線。且風(fēng)險(xiǎn)隨收益的增加而增大，這正體現(xiàn)了高收益總是伴隨高風(fēng)險(xiǎn)的金融學(xué)原理。說明二次效用和均值-方差模型下的最優(yōu)策略是等效的。所以，我們可以應(yīng)用二次效用最大來解決各類投資組合選擇問題的均值-方差模型。

由表3的數(shù)據(jù)（第2列、第3列、第4列和第7列），可以得到資產(chǎn)最優(yōu)分配比例及期望值隨風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的變化圖（見圖3）。

由于b是投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，b增加相當(dāng)于投資者期望風(fēng)險(xiǎn)減少，即期望收益越大。從表3及圖3可以看出：

（1）資產(chǎn)1的投資比例是b的減函數(shù)，即隨著b值的增加而減少，主要由于資產(chǎn)1的收益最大。說明當(dāng)投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避要求減小時(shí)，收益大的資產(chǎn)的投資比例可能減少。

（2）資產(chǎn)2的投資比例為負(fù)值，主要由于資產(chǎn)2的風(fēng)險(xiǎn)太大，需要賣出資產(chǎn)2以減少風(fēng)險(xiǎn)。

（3）資產(chǎn)3的投資比例是b的增函數(shù)，即隨著b值的增加而增加，主要由于資3的收益最小。說明收益小的資產(chǎn)的投資比例可能隨著要求減小而增加。

（4）期望值是b的減函數(shù)，即隨著b值的增加而減少。說明期望值可能隨著要求減小而減少。

模型與投資者期望風(fēng)險(xiǎn)越小越好和收益越大越好的心態(tài)相符。說明構(gòu)建的模型和應(yīng)用拉氏乘子法求解的最優(yōu)組合投資比例是有效的。

5 結(jié)束語

在油公司的投資管理中，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)并且建立基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型，應(yīng)用拉格朗日乘子法推導(dǎo)出模型的數(shù)值解。結(jié)合油公司的實(shí)際數(shù)據(jù)表明，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者來說，構(gòu)建的二次效用函數(shù)模型和應(yīng)用拉格朗日乘子法求解的最優(yōu)解是有效的，也說明二次效用和均值-方差模型下的最優(yōu)策略是等效的。我們可以用二次效用最大來解決均值-方差模型。研究結(jié)果表明，基于二次效用函數(shù)下的最優(yōu)投資組合模型可以有效地解決資產(chǎn)組合問題，研究了二次效用函數(shù)在資產(chǎn)管理中的應(yīng)用；同時(shí)模型更加科學(xué)地、有針對(duì)性地設(shè)立目標(biāo)函數(shù)，以滿足投資者。

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