劉源++張金燕

摘 要 美式期權(quán)由于允許期權(quán)持有人在期權(quán)到期日之前的任何時刻執(zhí)行期權(quán)，其定價過程復(fù)雜。云計算是一種新型的超級計算方式，在數(shù)據(jù)存儲、數(shù)據(jù)管理等多方面具有自身獨(dú)特的技術(shù)，符合美式期權(quán)定價的數(shù)據(jù)密集型屬性。本文就是采用云計算技術(shù)構(gòu)建一個分布式環(huán)境，通過并行化算法，并產(chǎn)生大量模擬數(shù)據(jù)，來解決美式期權(quán)的定價問題。

【關(guān)鍵詞】云計算 并行化 美式期權(quán)

期權(quán)是一種廣泛的金融衍生產(chǎn)品，它即是一種投資手段，也能幫助買方規(guī)避風(fēng)險。其中美式期權(quán)允許期權(quán)持有人在期權(quán)到期日之前的任何時刻執(zhí)行期權(quán)，所以其定價過程十分復(fù)雜，運(yùn)算量及數(shù)據(jù)規(guī)模都極端龐大。云計算技術(shù)的迅速發(fā)展為這一課題提供了良好的運(yùn)算環(huán)境與條件。

1 美式期權(quán)的定價方法

目前對于期權(quán)定價的方法有Black-Scholes期權(quán)定價方法和蒙特卡羅模擬方法等。前者給出顯式解，但只適用于某些比較特定的情形。蒙特卡羅模擬方法是一種在期權(quán)定價上非常有效的數(shù)值方法，近年來許多研究也是針對蒙特卡洛方法開展的。蒙特卡洛方法可以模擬多標(biāo)的資產(chǎn)的價格路徑，從而克服了二叉樹模型和有限差分模型不能為多標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)定價的問題。最小二乘蒙特卡洛方法 （LSM）能模擬多資產(chǎn)標(biāo)的價格，同時又能解決提前執(zhí)行期權(quán)的問題。為了使定價結(jié)果盡可能的準(zhǔn)確，在使用蒙特卡羅方法時應(yīng)盡可能多的產(chǎn)生樣本路徑數(shù)據(jù)，以保證定價的可靠性。但是大數(shù)據(jù)量產(chǎn)生同時也帶來運(yùn)算困難的問題，因此可以考慮采用分布式的云計算模型來實(shí)現(xiàn)。

2 LSM模擬算法的實(shí)現(xiàn)步驟

LSM模擬方法是根據(jù)標(biāo)的資產(chǎn)價格的模擬樣本路徑在每個時刻的截面數(shù)據(jù)，利用最小二乘法回歸求得繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益，并將其與該時刻立即執(zhí)行期權(quán)的收益相比較，如果后者大于前者，則立即執(zhí)行期權(quán)。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下文所述。

2.1 生成標(biāo)的資產(chǎn)價格樣本路徑

根據(jù)期權(quán)理論，我們假設(shè)期權(quán)的到期日為T，執(zhí)行時間為T*，則對歐式期權(quán)而言，T=T*，即期權(quán)只能在到期日執(zhí)行；對美式期權(quán)而言，T*∈[0，T]，即期權(quán)可以在到期日前的任意時刻執(zhí)行。期權(quán)在執(zhí)行時間T*的價值為：

通過隨機(jī)抽樣對公式f進(jìn)行求解，從而得到期權(quán)價值的一種數(shù)值方法。因此，價格路徑的生成就顯得非常重要。給定發(fā)行日的標(biāo)的資產(chǎn)價格為S0，任意時刻ST標(biāo)的資產(chǎn)價格為：

其中δ是標(biāo)的資產(chǎn)的價格波動率，由公式2可以得到標(biāo)的資產(chǎn)價格的一條樣本路徑，經(jīng)過M次模擬，就可以得到樣本路徑矩陣P。

2.2 最優(yōu)執(zhí)行時間和期權(quán)受益的計算

在每條路徑上，LSM方法通過逆向求解，從期權(quán)到期日開始，通過回歸得到一個當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)價格的多項式，我們將樣本路在時刻i的價格Si作為X值，將對應(yīng)的樣本路徑上的未來期望收益的貼現(xiàn)值作為Y值，并采用多元線性回歸的方法：

為了求解每條樣本路徑上的最優(yōu)執(zhí)行時間和相應(yīng)的期權(quán)收益，我們從到期日開始考慮，期權(quán)執(zhí)行的條件是執(zhí)行期權(quán)當(dāng)且僅當(dāng)期權(quán)是溢價的，同事還要考慮繼續(xù)持有期權(quán)至到期日的期望收益的貼現(xiàn)值，如果它小于X- Sn-1，則立即執(zhí)行期權(quán)，否則，繼續(xù)持有期權(quán)。我們僅以那些在N-1時刻處于溢價的樣本路徑為基礎(chǔ)進(jìn)行回歸。以N時刻的收益在N-1時刻的貼現(xiàn)值作為Y值，Sn-1作為X值，采用曲線擬合，就可求的各項系數(shù)，然后再求出此時的未來預(yù)期收益，然后決定此時是否執(zhí)行期權(quán)，以此類推，即可計算出執(zhí)行時刻和收益的貼現(xiàn)值。

3 算法并行化設(shè)計

為了充分利用云計算技術(shù)強(qiáng)大的運(yùn)算能力，需要多整個期權(quán)定價的計算過程進(jìn)行并行化設(shè)計。最終選擇在每一步的最小二乘法回歸處進(jìn)行并行化處理，每一步的最小二乘法采用公式3進(jìn)行擬合，則問題等價于求解矩陣（XTX）β=XTy。

本論文選擇使用開源的Hadoop平臺實(shí)現(xiàn)算法。Hadoop平臺對于矩陣的運(yùn)算具有顯著優(yōu)勢。Map函數(shù)負(fù)責(zé)將每一條價格路徑作為一條記錄提交提交給節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)對這些價格路徑求解矩陣， Reduce函數(shù)負(fù)責(zé)將所有矩陣的對應(yīng)元素相加，得到XTX矩陣。與此類似，XTy也用相同的方法求得。在求出這兩個矩陣之后，利用多元線性回歸，求得最小二乘法的系數(shù)向量，進(jìn)而倒推得出最終期權(quán)價格。

4 測試結(jié)果及結(jié)論

測試平臺選擇Hadoop集群的MapReduce模塊，一個NameNode，3個DataNode，對比測試環(huán)境使用單機(jī)MATLAB。為了使定價結(jié)果盡可能的準(zhǔn)確，在使用蒙特卡羅方法時應(yīng)盡可能多的產(chǎn)生樣本路徑數(shù)據(jù)，以保證定價的可靠性。但是大數(shù)據(jù)量產(chǎn)生同時也帶來運(yùn)算困難的問題，因此可以考慮采用分布式的云計算模型來實(shí)現(xiàn)。

通過上述論斷可以看出，在價格路徑較少的情況下，云計算平臺的優(yōu)勢并未發(fā)揮，這是因?yàn)樵诜植际降倪\(yùn)算中，用于節(jié)點(diǎn)間通信的消耗較大，此時單機(jī)運(yùn)算效率更高；當(dāng)價格路徑及時間點(diǎn)數(shù)增加的時候，云計算平臺的分布式計算能力優(yōu)勢明顯，運(yùn)算效率趕超單機(jī)模型；當(dāng)數(shù)據(jù)量大到一定程度時，單機(jī)運(yùn)算模型將無法負(fù)擔(dān)運(yùn)算的強(qiáng)度。

參考文獻(xiàn)

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[2]Wang F Y，Yan A M，Yang L F.Combined application of cloud computation technology and Business Intelligence[C].ICECE，2011：2933-2936.

作者簡介

劉源（1986-），男，河南省鶴壁市人。碩士研究生學(xué)歷?，F(xiàn)為鶴壁汽車工程職業(yè)學(xué)院助教。主要從事網(wǎng)絡(luò)計算、物聯(lián)網(wǎng)方向的研究。

張金燕（1987-），女，河南省鶴壁市人。碩士研究生學(xué)歷。現(xiàn)為鶴壁汽車工程職業(yè)學(xué)院助教。主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)、金融工程方向的研究。

作者單位

鶴壁汽車工程職業(yè)學(xué)院 河南省鶴壁市 458030