賈麗麗

摘要：線性切換系統(tǒng)所有的子系統(tǒng)都是線性時(shí)變或者線性時(shí)不變的，線性切換系統(tǒng)能夠十分精確的表示一些動(dòng)態(tài)復(fù)雜的工程系統(tǒng)，更容易處理，線性切換系統(tǒng)的研究對(duì)于電力系統(tǒng)、空中交通管制等多種實(shí)際系統(tǒng)都十分有利，本文對(duì)線性切換系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，重點(diǎn)分析研究了其穩(wěn)定性問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：線性切換系統(tǒng)；穩(wěn)定性；分析方法

中圖分類號(hào)：TP11 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-9416（2017）01-0228-02

近年來(lái)，混合系統(tǒng)理論在工業(yè)制造、航空交通控制、機(jī)器人等行業(yè)應(yīng)用十分的廣泛，已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)科學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、自動(dòng)化控制等領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，切換系統(tǒng)屬于一種十分典型的混合系統(tǒng)，它的穩(wěn)定性問(wèn)題始終是相關(guān)學(xué)者及研究人員討論的重要方向，本文主要在已有的理論基礎(chǔ)上提出一種研究線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題的方法，僅為相關(guān)研究人員的工作提供參考。

1 線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題概述

線性切換系統(tǒng)的典型特點(diǎn)包含有多個(gè)子系統(tǒng)，且子系統(tǒng)之間選取的切換信號(hào)不同，可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不同的影響。線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究主要包括三個(gè)基本問(wèn)題，其一，在任意切換信號(hào)之下找出能夠保證切換系統(tǒng)始終處于穩(wěn)定狀態(tài)的條件；其二，切換信號(hào)受限的條件下，線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題；其三，穩(wěn)定切換信號(hào)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。就目前來(lái)說(shuō)，第一個(gè)問(wèn)題已經(jīng)得到了有效的解決，只要所有的子系統(tǒng)都存在一個(gè)共同的Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)在任意的切換條件下都穩(wěn)定。第二個(gè)問(wèn)題主要是驗(yàn)證系統(tǒng)在指定的切換信號(hào)之下是否穩(wěn)定，切換信號(hào)不同，子系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡可能也存在著很大的區(qū)別，某些切換信號(hào)之下，原本穩(wěn)定的子系統(tǒng)可能會(huì)變得不穩(wěn)定，原本不穩(wěn)定的系統(tǒng)也可能會(huì)變得穩(wěn)定，因此需要對(duì)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單的探究分析。第三個(gè)問(wèn)題是如何構(gòu)造一個(gè)合適的切換信號(hào)使得線性切換系統(tǒng)始終保持穩(wěn)定的問(wèn)題。一般情況下，通過(guò)Lyapunov函數(shù)、分段Lyapunov函數(shù)、完備性條件等等可以設(shè)計(jì)出穩(wěn)定的切換信號(hào)。

目前來(lái)說(shuō)，線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的分析主要應(yīng)用統(tǒng)一Lyapunov函數(shù)、多Lyapunov函數(shù)等等方法進(jìn)行。相關(guān)研究顯示，如果線性切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，則子系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣可以互換，整個(gè)線性切換系統(tǒng)都是漸進(jìn)穩(wěn)定的。研究人員通過(guò)李代數(shù)法對(duì)統(tǒng)一Lyapunov函數(shù)進(jìn)行了研究探討，將統(tǒng)一Lyapunov函數(shù)的存在行為問(wèn)題轉(zhuǎn)換為切換系統(tǒng)李代數(shù)可解性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)當(dāng)切換系統(tǒng)的線性子系統(tǒng)穩(wěn)定，對(duì)應(yīng)的李代數(shù)可解，則系統(tǒng)存在統(tǒng)一的Lyapunov函數(shù)，且任意切換序列之下，系統(tǒng)都是全局一致指數(shù)穩(wěn)定的。部分研究人員同線性切換系統(tǒng)的特點(diǎn)出發(fā)提出了多Lyapunov函數(shù)方法，指出如果切換系統(tǒng)的子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Lyapunov函數(shù)相對(duì)切換序列滿足相應(yīng)的遞減條件，則該線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定，本文在上述研究的基礎(chǔ)上提出一種線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，僅為相關(guān)研究人員的這部分工作提供參考。

2 線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

本文提出了一種新的穩(wěn)定性分析方法，即給定切換序列，如果切換至子系統(tǒng)的時(shí)間大于對(duì)映子系統(tǒng)的最小滯留時(shí)間，則說(shuō)明該線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定，下文就該分析方法進(jìn)行詳細(xì)的介紹，并舉例說(shuō)明應(yīng)用過(guò)程。

2.1 問(wèn)題描述

某線性切換系統(tǒng)由一組n*n維Hurwitz矩陣組成，線性切換系統(tǒng)為x=Ap（t）x。切換序列p（t）∈{1，2，3……N}，序列分段右連續(xù)。第i個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣記為Hm（t）==，其中m=（1，2，3……N），由于Am為Hurwitz矩陣，因此各個(gè)系統(tǒng)滿足以下幾個(gè)條件：Um∈[0，+∞]時(shí)，成立，也就是說(shuō)，Hm（t）有界；，因此，對(duì)于第m個(gè)子系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，fm∈[0，+∞]，當(dāng)t>fm時(shí)，，（m=1，2，3……N）。任意初始狀態(tài)下，設(shè)系統(tǒng)的切換序列為S（i0，t0），（i1，t1），……（in，tn），線性切換系統(tǒng)在某時(shí)刻切換到第j個(gè)系統(tǒng)ij時(shí)，如果ij≠ij+1，且tj+1-tj>fij（j=0，1……N），則表明該線性切換系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

2.2 舉例分析

舉例說(shuō)明，對(duì)于系統(tǒng)x=Ap（t）x，它的子系統(tǒng)為兩線性定常系統(tǒng)，也就是說(shuō)A1=，A2=，A1A2的特征均根計(jì)算可知為-1i，實(shí)部為負(fù)值，也就說(shuō)子系統(tǒng)x=Ai（x）（i=1，2）是全局指數(shù)穩(wěn)定的，整個(gè)切換系統(tǒng)并不一定穩(wěn)定，當(dāng)切換序列滿足Um∈[0，+∞]時(shí)，的充分條件時(shí)，切換系統(tǒng)呈現(xiàn)出漸進(jìn)穩(wěn)定的狀態(tài)，利用2范數(shù)及MATLAB軟件計(jì)算可以得出，當(dāng)t>1.2s時(shí)，通過(guò)，可以得出子系統(tǒng)1、2的最小滯留時(shí)間為f1>1.2s，f2=1.2s。任意初始狀態(tài)之下，設(shè)系統(tǒng)的切換序列為設(shè)系統(tǒng)的切換序列為S（i0，t0），（i1，t1），……（in，tn），線性切換系統(tǒng)在某時(shí)刻切換到第j個(gè)系統(tǒng)ij時(shí)，如果ij≠ij+1，且tj+1-tj>fij（j=0，1……N），線性切換系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，使用周期切換序列仿真處理，系統(tǒng)的初始值為[1，1]T切換間隔時(shí)間為2s時(shí)，線性切換系統(tǒng)的曲線如圖1所示。

這種穩(wěn)定性分析的方法在子系統(tǒng)穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)之中比較適用，不需要建立Lyapunov函數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析主要從時(shí)間切換的角度進(jìn)行，實(shí)用性比較強(qiáng)，適用于各子系統(tǒng)是穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)。該方法的明顯優(yōu)點(diǎn)是不需要構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，直接從切換時(shí)間的角度分析穩(wěn)定性，具有一定實(shí)用性。定理“Um∈[0，+∞]時(shí)，成立，也就是說(shuō)，Hm（t）有界”屬于充分條件，如果線性切換系統(tǒng)不滿足這一條件，則系統(tǒng)不一定穩(wěn)定，但穩(wěn)定的系統(tǒng)必須要滿足這一條件。使用上述方法分析線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)需要使用MAPLE、M ATLAB等等工具軟件將各個(gè)子系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的最小滯留時(shí)間計(jì)算出來(lái)，與此同時(shí)還需要了解切換時(shí)間的范圍，目前來(lái)說(shuō)這一要求在一些子系統(tǒng)不穩(wěn)定或者非線性的切換系統(tǒng)之中還不能實(shí)現(xiàn)，因此，該分析方法能否在除了子系統(tǒng)穩(wěn)定的線性切換系統(tǒng)之外應(yīng)用還需要進(jìn)一步的分析探討。

3 結(jié)語(yǔ)

本文主要就現(xiàn)階段相關(guān)專業(yè)人員就切換系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的現(xiàn)狀進(jìn)行了簡(jiǎn)單的歸納分析，在此基礎(chǔ)上介紹了一種適用于子系統(tǒng)穩(wěn)定的、不借助Lyapunov函數(shù)的從時(shí)間切換角度進(jìn)行分析的線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，受篇幅所限，本文介紹的內(nèi)容十分的淺薄，僅為相關(guān)學(xué)術(shù)研究人員的有關(guān)工作提供簡(jiǎn)單的參考。

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