郭志明， 李長福， 姬廣振， 劉勤， 錢云鵬， 胡冰甦

(中國兵器科學研究院， 北京 100089)

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改進布谷鳥算法在成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計中的應用研究

郭志明， 李長福， 姬廣振， 劉勤， 錢云鵬， 胡冰甦

(中國兵器科學研究院， 北京 100089)

成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計一直是可靠性試驗領域亟待解決的問題之一，使用元啟發(fā)式算法進行求解是一種新思路。布谷鳥算法是近年來提出的一種新穎的元啟發(fā)式算法，以其簡單高效而獲得了廣泛應用。提出了以風險距離為目標的成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計模型，之后對標準布谷鳥算法的機理進行了闡述，并針對算法局部尋優(yōu)能力差的問題，提出了一種兩階段發(fā)現(xiàn)概率方法來協(xié)調(diào)算法的全局搜索能力和局部搜索能力，最后結(jié)合具體的算例驗證了該方法的可行性和有效性。

兵器科學與技術； 改進布谷鳥算法； 可靠性抽樣檢驗方案； 成敗型產(chǎn)品； 風險距離； 整數(shù)優(yōu)化

0 引言

抽樣檢驗是一種特殊的假設檢驗，它是按生產(chǎn)方和使用方所協(xié)商的要求，用統(tǒng)計方法制定試驗方案對一批產(chǎn)品進行抽樣檢驗，根據(jù)檢驗結(jié)果對這批產(chǎn)品做出接收和拒收的判斷[1]。在抽樣檢驗中，每次使用都相互獨立，且對于試驗結(jié)果只有成功、失敗兩種情況的產(chǎn)品稱為成敗型產(chǎn)品，火炸藥、導彈和運載火箭等都屬于成敗型產(chǎn)品。目前，成敗型產(chǎn)品抽樣方案的設計是從國家標準GB5080.5—85《設備可靠性試驗成功率的驗證試驗方案》中查取與生產(chǎn)方和使用方要求最接近的方案，但國家標準GB5080.5—85中只給出了雙方風險α=β=5%，α=β=10%，α=β=20%，α=β=30%這4種情況的最優(yōu)方案[2]，而實際中風險還可能取其他值，如6%、15%、18%等，甚至α和β并不相等，這使得該標準在應用過程中具有一定的局限性。

成敗型產(chǎn)品抽樣檢驗方案是由n、Ac兩個數(shù)決定(產(chǎn)品批量較大時)，其中n是抽取的樣本量，Ac是合格判定數(shù)?？煽啃猿闃訖z驗方案設計在本質(zhì)上是帶約束的整數(shù)優(yōu)化問題，目前仍無普遍的解析方法可以進行精確求解，若采用遍歷法對n和Ac進行遍歷，則需要遍歷n×Ac次，效率非常低，如果n取5 000，Ac取40，則需要遍歷2×105次。文獻[3]在考慮雙方風險的成敗型定數(shù)截尾抽樣模型的基礎上，運用證據(jù)理論方法，研究了基于研制信息的測試性驗證試驗方案，并在測試性驗證中取得了良好效果。文獻[4]提出對抽樣方案方程組進行等價變形，并設計相關算法進行求解，但其算法過程相對繁瑣。文獻[5]構(gòu)建了風險選擇的準則方程，但需結(jié)合實際對準則方差進行分類討論，過程較復雜。這些研究方法過程復雜繁瑣，仍不能有效簡化方案設計的求解過程。因此，建立一種通用的成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計模型，并設計出能夠高效求解模型的算法，從而使方案設計過程變得簡單快捷已經(jīng)迫在眉睫。

布谷鳥算法是一種新的無約束優(yōu)化方法，具有簡單、參數(shù)少、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，而且其性能接近于標準的粒子群優(yōu)化算法和差分演化算法[6]，成為繼遺傳算法和粒子群算法之后啟發(fā)式算法的新亮點[7]。與遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等算法相比，布谷鳥算法在參數(shù)設置、全局搜索能力、通用性和魯棒性方面具有綜合性優(yōu)勢，布谷鳥算法作為后起之秀，它的優(yōu)越性使其廣泛應用于各個研究領域[8-11]。作為一種高效新穎的優(yōu)化算法，布谷鳥算法在大型復雜可靠性優(yōu)化體系、結(jié)構(gòu)可靠性設計分析、冗余分配、可靠性增長等可靠研究領域都有學者做過相關研究，但布谷鳥算法還尚未被引入到可靠性抽樣檢驗方案設計中，事實上，凡是可以歸結(jié)為優(yōu)化的可靠性工程問題都可以嘗試采用布谷鳥算法進行求解。本文首先建立了抽樣檢驗方案設計模型，之后對標準布谷鳥算法的機理進行了闡述，并針對算法局部尋優(yōu)能力差的問題，提出了一種兩階段發(fā)現(xiàn)概率方法來協(xié)調(diào)算法的全局搜索能力和局部搜索能力，并將改進的算法應用到了抽樣方案設計中。

1 成敗型產(chǎn)品抽樣檢驗方案設計模型

1.1 問題的提出

成敗型產(chǎn)品抽樣檢驗方案的設計過程：從批量為N的一批產(chǎn)品中隨機抽取n件產(chǎn)品進行檢驗，假設檢驗出不合格品數(shù)為d，那么當d小于等于Ac時，接收該批產(chǎn)品，否則拒收，通常把這樣一個檢驗方案記為(N，n，Ac)，其中N為已知量，只要確定出n與Ac，也就確定了抽樣檢驗的方案。當N相對于n來講比較大時，批量N的影響就不大，所以在這種條件下可以將抽樣檢驗方案記為(n，Ac)，顯然有Ac

圖1 成敗型產(chǎn)品抽樣檢驗流程圖Fig.1 Flow chart of sampling inspection program for success or failure products

抽樣檢驗方案中存在兩類風險：生產(chǎn)方風險α和使用方風險β. 生產(chǎn)方風險是把產(chǎn)品合格批判定為不合格批的概率，使用方風險是把不合格批判定為合格批的概率。α和β計算方法[12]為

(1)

式中：Ru是可靠度檢驗上限；Rl是可靠度檢驗下限。

在方案設計的過程中，雙方都希望自己的風險盡量低，但理論研究表明，要使α小必導致β大，要使β小必導致α大，設計一個能夠平衡雙方風險的方案對雙方都很重要。在實際中，生產(chǎn)方和使用方首先根據(jù)檢驗上限和檢驗下限協(xié)定一個雙方都能接受的額定風險α0(生產(chǎn)方額定風險)和β0(使用方額定風險)，之后通過比較權衡得出方案。

1.2 目標函數(shù)

在抽樣方案設計過程中生產(chǎn)方希望α越低且與α0越接近越好；而使用方希望β越低且與β0越接近越好，雙方都希望自己的風險盡可能接近額定風險，因此，抽樣方案設計過程也就是雙方風險平衡博弈的過程，目標函數(shù)不能只考慮某一方風險與額定風險距離最小，應既要考慮α與α0接近，又要保證β與β0越接近，本文以雙方各自的風險與額定風險(最優(yōu)解)的風險距離最小為目標函數(shù)，定義為

(2)

風險距離采用的是歐式距離，歐式距離反映的是真實距離，這樣可以使方案設計比較客觀，使雙方都能接受。

從(2)式中可以看出，α與β對目標函數(shù)的貢獻率是一樣的，這表明生產(chǎn)方和使用方風險同等重要。

1.3 約束條件

以n=500，Ac=40為例，做出樣本量、合格判定數(shù)對風險距離的響應面以及樣本量- 合格判定數(shù)剖面視圖，如圖2所示。

圖2 樣本量、合格判定數(shù)和風險響應面圖Fig.2 Response surface of sample size, acceptance number and risk distance

通過觀察圖2(a)可以發(fā)現(xiàn)，優(yōu)質(zhì)可行解就集中在一個很窄的區(qū)域內(nèi)。理論上做出如下分析：若邊界點估計值(1-Ac/n)小于下限值，則使用方風險β會變大，則方案(n，Ac)落在圖2(b)左上方紅色區(qū)域中，風險差比較大，顯然使用方不能滿意；若邊界點估計值大于上限值，則生產(chǎn)方風險α過大，此時方案(n，Ac)落在右下方紅色區(qū)域中，顯然生產(chǎn)方不能滿意。而當邊界點估計值處于檢驗上限和檢驗下限之間，即落在圖2(b)中三角形藍色區(qū)域時，雙方風險差才變小，才可能使風險距離得到平衡。根據(jù)以上分析，將Ac取值范圍確定為

n(1-Ru)≤Ac≤n(1-Rl).

(3)

1.4 優(yōu)化模型

綜合前述分析，以風險距離為目標的成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計模型為

(4)

式中：nmax為最大抽樣樣本容量。該模型是一個整數(shù)優(yōu)化模型，利用傳統(tǒng)方法難以求解且耗時較長，近年來隨著群元啟發(fā)式算法的發(fā)展，許多學者運用遺傳算法、蟻群算法、粒子群算法等方法進行求解，本文嘗試采用布谷鳥算法來求解該模型。

2 改進的布谷鳥算法

2009年，劍橋大學的Yang和拉曼工程大學的Deb模擬布谷鳥的尋窩產(chǎn)卵行為，提出一種新的智能優(yōu)化算法——布谷鳥搜索算法[13]。布谷鳥算法屬于元啟發(fā)式算法，具有元啟發(fā)式框架的智能算法，啟發(fā)式算法的求解都有如(5)式的迭代方程

Xi+1←Xi+sδx,

(5)

式中：δx代表步長；s代表比例系數(shù)；Xi代表上一代可行解；Xi+1代表更新后的可行解。

2.1 標準布谷鳥算法

布谷鳥是典型的巢寄生鳥類，即把自己的蛋產(chǎn)到其他鳥類的鳥巢中，讓鳥巢的主人孵化養(yǎng)育布谷鳥。為了降低自己的鳥蛋被寄居的鳥巢主人發(fā)現(xiàn)的概率，布谷鳥會把它們自己的蛋產(chǎn)于相似的鳥類窩中，但仍可能被鳥巢的主人發(fā)現(xiàn)，當鳥巢的主人發(fā)現(xiàn)有布谷鳥蛋在自己的鳥巢時，就把布谷鳥蛋毀壞或者丟棄自己的鳥巢，然后重新建巢。把布谷鳥巢寄生繁殖機理形成理論，可以設計出布谷鳥算法，簡單說來可以使用以下3個理想化的規(guī)則：

1)每只布谷鳥一次產(chǎn)一個卵，并隨機選擇寄生巢來孵化它；

2)在隨機選擇的一組寄生巢中，最好的寄生巢將會被保留到下一代；

3)可利用的寄生巢數(shù)量是固定的，一個寄生巢的主人能發(fā)現(xiàn)一個外來鳥蛋的概率為pa.

布谷鳥算法新解的更新采用萊維飛行策略，萊維飛行二維坐標示意圖如圖3所示。從中不難看出，萊維飛行的特點是在飛行中可以意外地90°轉(zhuǎn)彎，這樣飛行可以使動物更有效地搜索到食物。萊維飛行不僅適用于動物界和昆蟲界，在人類社會的某些活動(如市場價格波動、打獵等)也符合萊維飛行的特性。采用萊維飛行策略的解的迭代方程[14]為

pj+1=pj+randn[D]stepsizej,

(6)

式中：pj代表上一代可行解；pj+1代表更新后的可行解；randn[D]為比例系數(shù)，值為區(qū)間[1,D]上的一個均勻分布的隨機數(shù)，D默認取約束變量的個數(shù)；stepsizej為步長，由(7)式[14]確定：

(7)

式中：ω為常數(shù)，用于控制步長大小，默認取0.01；υ=randn[D] ；u=δrandn[D]，δ由(8)式確定[14]；pbest為當前最優(yōu)解。

(8)

式中：q為常數(shù)，默認取3/2.

圖3 萊維飛行示意圖Fig.3 Path of Lévy flight

如果布谷鳥蛋被外來鳥發(fā)現(xiàn)，則布谷鳥遷徙策略[14]為

pj+1=pj+rand(pj,r1-pj,r2),

(9)

式中：rand為(0,1)區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機數(shù)；pj,r1和pj,r2為第j代的兩個隨機解。每次迭代產(chǎn)生新的鳥巢位置后，將鳥巢主人發(fā)現(xiàn)布谷鳥蛋的概率pa與隨機產(chǎn)生的一個隨機數(shù)r～U(0,1)進行比對，若r>pa，則按(9)式進行位置更新，否則解保持不變。

2.2 算法的改進

布谷鳥算法是一種無約束的搜索技術，因此它缺乏明確的約束處理機制，這使得它在處理有約束優(yōu)化問題時比較困難，此外，布谷鳥算法雖然具有較好的全局性能，但卻在收斂速度和局部搜索能力上有所欠缺。目前國內(nèi)外學者對布谷鳥算法的改進主要涉及以下三方面：發(fā)現(xiàn)概率、步長以及和其他算法的混合[15-19]。本文主要從以下兩方面對標準布谷鳥算法進行改進：1)增加約束處理機制及離散化處理方法；2)兩階段動態(tài)發(fā)現(xiàn)概率法取代原固定發(fā)現(xiàn)概率，第一階段注重全局搜索，第二階段注重局部搜索，使算法的全局搜索與局部搜索能力得到更好的平衡。

2.2.1 約束條件處理機制

約束優(yōu)化問題處理方法可分為直接法和間接法兩類，直接法通常是基于梯度的搜索方法，如投影梯度法、簡約梯度法、可行方向法等，但求解需要設置很好的初值點且需要函數(shù)的梯度信息，對于不可導、可行域不連通等問題無能為力[20]。間接法主要有懲罰函數(shù)法、消元法和拉格朗日乘子法。罰函數(shù)法因其簡單易實現(xiàn)成為一種被廣泛運用的約束處理技術，其基本思想是通過增加懲罰項將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題?？紤]到罰函數(shù)法具有簡單、實用和高效的特點，本文采用罰函數(shù)法來處理模型(4)式，形式如(10)式所示：

(10)

式中：F(n,Ac)為新的目標函數(shù)；f(n,Ac)為風險距離；d1和d2為懲罰系數(shù)；sv表示所有違反約束值的總和，nv表示違反約束的數(shù)目。

抽樣方案中有兩個變量n和Ac，模型中對這兩個量的約束為必須是正整數(shù)。由(3)式可知n和Ac具有伴隨關系，即Ac的取值范圍是由n決定的，因此可首先對n進行約束處理，再由n生成Ac. 對n的約束處理是確保n為區(qū)間[1,nmax]的整數(shù)，分兩步實現(xiàn)：先用均勻分布生成連續(xù)的n，再對n進行取整，如(11)式所示：

n=round(Lb+(Ub-Lb)×rand)，

(11)

式中：round()為取整運算；Lb為n的取值下限；Ub為n的取值上限；rand為[0,1]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機數(shù)。

通過(11)式確保n滿足約束條件后，再對Ac進行處理，確保Ac為區(qū)間[(1-Ru)×n, (1-Rl)×n]的整數(shù)。設[(1-Ru)×n, (1-Rl)×n]區(qū)間內(nèi)的整數(shù)點為m個，則Ac按等概率在m個點中進行選擇，即

P{Ac|Ac∈[(1-Ru)×n,(1-Rl)×n]的整數(shù)}=
1/m.

(12)

所有Ac按(12)式隨機生成就能保證其滿足約束條件，需要注意的是在求解過程中并不是對所有自變量都執(zhí)行萊維飛行，而是只需對n進行處理即可，原因是萊維飛行具有較強的隨機性，若同時對n和Ac進行萊維飛行，則很容易產(chǎn)生Ac不滿足約束條件的情況。

2.2.2 全局搜索能力和局部搜索能力的平衡

由于萊維飛行具有較強的隨機性，這使得布谷鳥算法具有很好的全局性能，但也使布谷鳥算法在收斂速度和局部搜索能力上有所欠缺。布谷鳥算法中，pa是非常重要的參數(shù)，可以理解為父代個體被保留的概率，良好的pa值可以平衡算法的全局和局部搜索能力。為此，將算法求解過程分為兩個階段：第一階段重全局輕局部，讓布谷鳥很容易被發(fā)現(xiàn)，從而迫使布谷鳥去尋求新的巢穴；第二階段輕全局重局部，使布谷鳥不容易被發(fā)現(xiàn)，使得布谷鳥在當前巢穴位置附近尋找更優(yōu)的巢穴。實現(xiàn)方法：在算法前Nmax/2(Nmax為最大迭代次數(shù))次迭代中pa逐漸減小，讓布谷鳥飛出去開辟新的巢穴，pa采用負正弦自適應遞減策略；而在后Nmax/2次迭代中讓布谷鳥在當前區(qū)域修養(yǎng)生息，pa采用負余弦自適應遞增策略。以上計算策略如(13)式所示：

(13)

式中：pa,min和pa,max分別表示發(fā)現(xiàn)概率的最小和最大值；Ni為當前迭代次數(shù)( 1≤Ni≤Nmax)。

綜上所述，改進后的布谷鳥算法流程如圖4所示。

圖4 改進的布谷鳥算法流程圖Fig.4 Flow chart of improved cuckoo search algorithm

3 算例分析

某車載智能彈藥需要進行批次檢驗，其中批量N= 10 000，抽樣的最大樣本量nmax不超過500(批量較大)，合同中規(guī)定的可靠度指標要求為Ru=0.9，Rl=0.8，經(jīng)協(xié)商確定生產(chǎn)方和使用方風險分別為α0=10%和β0=15%，則可靠性抽樣檢驗方案模型為

(14)

采用本文提出的改進布谷鳥算法對模型進行求解，并將改進遺傳算法[21]、改進粒子群算法[22]和標準布谷鳥算法作為對比，為了使對比結(jié)果如實反映算法的搜索能力，4個算法的種群規(guī)模均設置為25，最大迭代次數(shù)設置為100.由于這些算法都屬于隨機搜索方法，結(jié)果不確定，因此以程序獨立運行10次目標函數(shù)的平均值作為對比參數(shù)。首先通過遍歷法找到最優(yōu)方案為n=64，Ac=9，生產(chǎn)方風險α=10.3%，使用方風險β=15.0%，目標函數(shù)值為0.002 81，作為參照。然后將各個算法運行10次，并求出目標函數(shù)的平均值和標準差，列于表1中。

從表1中可以看出，改進布谷鳥算法能夠找到全局最優(yōu)解，目標函數(shù)均值比改進遺傳算法和改進粒子群算法相比較優(yōu)，標準差與二者相比也相對較低，表明解的質(zhì)量和穩(wěn)定性都有提高。標準布谷鳥算法在100次尋優(yōu)過程中未找到最優(yōu)解，說明對pa的改進設置有效，雖然改進粒子群算法找到了全局最優(yōu)解，但標準差要比改進布谷鳥算法大?？傮w而言，與上述3種算法相比，改進布谷鳥算法優(yōu)化結(jié)果較好且相對穩(wěn)定，算法性能仿真如圖5所示。

從圖5中可以看出，在相同迭代次數(shù)下，采用了兩階段動態(tài)發(fā)現(xiàn)概率法的改進布谷鳥算法能找到最優(yōu)解，且收斂速度較快。粒子群算法也找到最優(yōu)解，但是收斂速度相對較低，標準布谷鳥算法雖然收斂了，但不是全局最優(yōu)，表明標準布谷鳥算法陷入了局部最優(yōu)，而遺傳算法由于迭代次數(shù)偏低未收斂。此外對比幾種算法的復雜度可知，改進布谷鳥算法未增加算法復雜度。相對于另3種算法，改進布谷鳥算法的搜索能力得到了提升，證明本文的改進策略有效。

表1 不同優(yōu)化算法結(jié)果對比

注：T0、Tg分別表示個體極值和全局極值需要擾動的停滯步數(shù)閾值。

圖5 算法性能比較圖Fig.5 Comparison of algorithm performances

此外，為了驗證本文提出模型的合理性，取3組雙方風險相同的情況：α0=β0=5%，α0=β0=10%，α0=β0=20%，然后將采用本文方法設計的最優(yōu)抽樣檢驗方案與國家標準GB5080.5—85中的方案進行對比，結(jié)果列于表2中。

從表2可以看出：當額定風險為5%時，本文的方案與GB5080.5—85方案相同；當額定風險為10%時，本文方案的α為10%，等于額定風險，β為10.1%，與額定風險相差1%，GB5080.5—85方案中α為8.6%，與額定風險相差14%，β為9.9%，與額定風險差1%；額定風險為20%時，本文方案的α和β分別與額定風險相差6%、2%，GB5080.5—85方案的α和β與額定風險分別相差5%、10%；本文方案比GB5080.5—85方案更接近額定風險，且試驗樣本量均不高于GB5080.5—85，從而降低了試驗成本，說明了本文模型的先進性。

表2 本文最優(yōu)方案與GB5080.5—85方案對比

4 結(jié)論

成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計的關鍵是如何平衡生產(chǎn)方和使用方的風險，本文提出的以風險距離為目標的可靠性抽樣檢驗方案優(yōu)化模型能夠準確地量化描述該問題，使方案設計的過程可量化，避免了以往只能采用嘗試法的問題。提出了改進的布谷鳥算法，使其全局搜索能力和局部搜索能力得到平衡。算例的結(jié)果表明：改進的布谷鳥算法能夠解決本文的整數(shù)優(yōu)化模型，相比較其他算法更容易找到最優(yōu)解，且計算結(jié)果相對較穩(wěn)定，為解決成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計問題提供了一條新途徑。

如何從算法機理上進一步提高布谷鳥算法求解成敗型產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案設計模型的適用性和高效性是下一步的研究重點。

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Improved Cuckoo Search Algorithm for Reliability Sampling Inspection Program in Binomial Case

GUO Zhi-ming, LI Chang-fu, JI Guang-zhen, LIU Qin, QIAN Yun-peng, HU Bing-su

(Ordnance Science and Research Academy of China, Beijing 100089, China)

The design of reliability sampling inspection program for the success or failure products is an issue to be solved in reliability test. Meta-heuristic algorithm provides a new idea to solve the problem. Cuckoo search algorithm is a new meta-heuristic algorithm, and has been widely used in many fields because of its simplicity but efficiency. A model for reliability sampling inspection program is developed to minimize the risk. The mechanism of the cuckoo search algorithm is expounded. For the local search efficiency of the algorithm, an adaptive detection probability is proposed to balance the global search and local search efficiencies. The result of a case study reveals that the proposed method is feasible and effective.

ordnance science and technology; improved cuckoo search algorithm; reliability sampling inspection program; success or failure product; distance of risk; integer optimization

2016-08-05

武器裝備預先研究項目(51319010210)

郭志明(1985—)，男，工程師。E-mail：gzmnwpu@163.com

TB114.37

A

1000-1093(2017)04-0758-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.018