王學(xué)根，孫 煜，賀永喜

（北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京，100076）

分光棱鏡位置變化對(duì)自準(zhǔn)直測(cè)角光管角度測(cè)量誤差的影響

王學(xué)根，孫 煜，賀永喜

（北京航天發(fā)射技術(shù)研究所，北京，100076）

采用矢量分析的方法從理論上推導(dǎo)出分光棱鏡位置變化對(duì)目標(biāo)返回光線的影響，進(jìn)而分析出其對(duì)自準(zhǔn)直測(cè)角光管中目標(biāo)像點(diǎn)位置的影響，并給出位置變化對(duì)角度測(cè)量誤差的影響關(guān)系式，對(duì)自準(zhǔn)直測(cè)角光管等精密儀器中分光棱鏡安裝座設(shè)計(jì)提出建議。

分光棱鏡；位置變化；矢量法；角度測(cè)量；誤差

0 引 言

分光棱鏡是自準(zhǔn)直測(cè)角光管光路設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵部件，其主要作用是通過內(nèi)反射的方式改變被測(cè)目標(biāo)的反射光線，使其偏離光學(xué)系統(tǒng)光軸方向一定角度（一般為 90°），在空間上方便安裝電荷耦合元件（Charge-coupled Device，CCD）等光電器件以實(shí)現(xiàn)光電測(cè)量，自準(zhǔn)直測(cè)角光管光路原理如圖1所示[1]。作為一種精密的角度測(cè)量設(shè)備，自準(zhǔn)直測(cè)角光管的測(cè)角精度比較高，通常試驗(yàn)室內(nèi)能達(dá)到0.5～0.1″。對(duì)于軍用高精度的自準(zhǔn)直測(cè)角光管，測(cè)角精度絕對(duì)值的高低不是其唯一考核的指標(biāo)；其在全溫域（溫度環(huán)境一般為-40～60 ℃）范圍內(nèi)，測(cè)角精度的穩(wěn)定性則更重要。在上述寬溫范圍內(nèi)，分析自準(zhǔn)直測(cè)角光管誤差源，分光棱鏡的制造和安裝穩(wěn)定性誤差不可小視。因?yàn)榻?jīng)分光棱鏡反射的目標(biāo)光線是測(cè)量被測(cè)目標(biāo)方位信息的載體，分光棱鏡本身的制造誤差及其安裝穩(wěn)定性誤差將直接影響測(cè)量精度。本文不討論分光棱鏡的制造誤差對(duì)測(cè)量精度的影響[2]，僅關(guān)注其安裝穩(wěn)定性誤差給測(cè)量精度帶來的可能影響。根據(jù)光線的反射定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定理，結(jié)合分光棱鏡安裝的誤差源形式，本文采用矢量分析的方法從理論上推導(dǎo)出安裝位置變化對(duì)目標(biāo)返回光線成像位置變化的影響關(guān)系，進(jìn)而分析出其對(duì)測(cè)量誤差的影響，并對(duì)分光棱鏡安裝座的設(shè)計(jì)提出建議。

圖1 自準(zhǔn)直測(cè)角光管光路原理

由圖1可知，分光棱鏡的分光面是一個(gè)平面鏡，利用平面鏡反射實(shí)現(xiàn)測(cè)量光束偏轉(zhuǎn)90°，為安裝CCD器件提供空間并實(shí)現(xiàn)光電測(cè)量。

1 平面鏡反射定律的矢量法表示

平面鏡反射矢量示意如圖2所示。

圖2 平面鏡反射矢量示意

圖2中，A為入射光線單位矢量，N為反射面法線的單位矢量，A′為A的反射光線單位矢量，由矢量三角形O12得反射矢量公式[3]如下：

設(shè)A，N，A′在坐標(biāo)系XYZ上的分量分別為 AX， AY， AZ，NX， NY， NZ， A′X， AY′， AZ′，代入式（1），得：

將式（2）寫成矩陣形式：

式中R為平面鏡的反射作用矩陣，其中：

2 轉(zhuǎn)動(dòng)矢量公式

矢量A繞轉(zhuǎn)軸單位矢量P轉(zhuǎn)動(dòng)一角度θ而成為矢量A′，其轉(zhuǎn)動(dòng)矢量表達(dá)式[4]為

將式（4）寫成矩陣形式：

Sp,θ代表繞P轉(zhuǎn)θ角的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣：

式中 PX，PY，PZ分別為單位轉(zhuǎn)軸矢量P在X，Y，Z方向的分量；θ為矢量A繞轉(zhuǎn)軸P轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。在特殊情況下，P與坐標(biāo)系XYZ中的某一個(gè)坐標(biāo)軸重合。此時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣S,iθ，Sjθ,和S,kθ分別為

3 分光棱鏡位置變化對(duì)反射光線的影響[5]

分光棱鏡安裝后的任一位置變化可以表示為在空間坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向的投影分量，即在X，Y，Z坐標(biāo)軸方向的位移誤差分量XΔ， YΔ， ZΔ 及繞X，Y，Z坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差分量ΔθX，ΔθY，ΔθZ。由于分光棱鏡在X，Y，Z坐標(biāo)軸方向的位移XΔ，YΔ， ZΔ 僅影響入射光線在分光棱鏡上的反射作用點(diǎn)，而不會(huì)影響反射光線的方位，所以其對(duì)測(cè)量精度的影響可以不考慮。因此分光棱鏡安裝后的位置變化僅考慮其繞X，Y，Z坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)量ΔθX，ΔθY，ΔθZ。

下面分別討論分光棱鏡安裝后其繞X，Y，Z坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)分量ΔθX，ΔθY，ΔθZ對(duì)反射光線的影響，見圖3。

圖3 分光棱鏡內(nèi)反射工作示意

由圖3可知，被目標(biāo)棱鏡反射回光學(xué)系統(tǒng)的光線為A′，其相對(duì)于分光棱鏡反射面為入射光線。用圖 3中所示的光學(xué)系統(tǒng)坐標(biāo)系表示，入射光線的單位矢量表示為，當(dāng)入射光線A與分光棱鏡反射面法線呈 45°角時(shí)，分光棱鏡反射面法線的單位矢量為，反射光線單位矢量為，此時(shí)的分光棱鏡位置為理想位置。

3.1 分光棱鏡繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)XθΔ對(duì)反射光線的影響

分光棱鏡繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)ΔθX后，其反射面的法線為

式中,iθΔS為轉(zhuǎn)動(dòng)作用矩陣，。將其代入式（7）得：

將式（8）代入式（3）得反射面的作用矩陣RθX：

3.2 光棱鏡繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)YθΔ對(duì)反射光線的影響

按照3.1節(jié)的步驟，同理可得分光棱鏡繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)ΔθY后的反射光線為

3.3 分光棱鏡繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)ZθΔ對(duì)反射光線的影響

3.4 影響分析[6,7]

在圖3中，反射光線在X，Y，Z 3個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量變化將最終影響返回光線的成像位置。但由于測(cè)量敏感方位是X軸方向，即X軸方向的變化將作為測(cè)量誤差直接帶入測(cè)量結(jié)果。根據(jù)3.1～3.3節(jié)的計(jì)算結(jié)果可得分光棱鏡分別繞X，Y，Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)后引起的成像位置變化，結(jié)果如表1所示。

表1 分光棱鏡位置變化與相應(yīng)的成像位置關(guān)系

由表1可知：

a）分光棱鏡繞X軸轉(zhuǎn)動(dòng)，反射光線在X軸無變化，因此不會(huì)引入方位測(cè)量誤差；

b）分光棱鏡繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)YθΔ，引入方位測(cè)量誤差為，根據(jù)圖4（函數(shù)y=(θ-sin(θ))×180×3600/π的圖像）可知[8]：當(dāng)ΔθY≤0.015 rad時(shí),λY≈ΔθY（其中，λY單位為rad）；

c）分光棱鏡繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)ΔθZ，引入方位測(cè)量誤差為λZ=-sin ΔθZ，根據(jù)圖4（函數(shù)y=（θ-sinθ）×180×3600/π的圖像）可知：當(dāng)ΔθZ≤0.03 rad時(shí)，λZ≈-ΔθZ；

d）分光棱鏡繞Y,Z軸的小角度（繞Y軸不大于0.015 rad，繞Z軸不大于 0.03 rad）轉(zhuǎn)動(dòng)，將按 1∶1的比例引入方位誤差，因此要嚴(yán)格控制分光棱鏡繞Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)位置變化；

e）分光棱鏡繞X，Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，成像位置在Z軸方向有變化，針對(duì)線陣CCD器件，成像點(diǎn)在沿X軸敏感陣列的垂向有位移，這種變化的帶來的可能影響如下：

1）由于像點(diǎn)形狀不是理想的軸對(duì)稱圖形，其成像位置在 CCD敏感陣列垂向的變化可能引入采集像點(diǎn)部位發(fā)生變化，從而帶來測(cè)量誤差；

2）當(dāng)像點(diǎn)位移大時(shí)，可能使像點(diǎn)位置脫離 CCD敏感陣列，造成CCD測(cè)量功能失效。

f）分光棱鏡繞X，Y，Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，成像位置在Y軸都有變化，根據(jù)其值的大小分析，成像位置都遠(yuǎn)離了想焦面位置，這種離焦現(xiàn)象會(huì)影響目標(biāo)返回像在CCD敏感面的成像質(zhì)量；

g）分光棱鏡裝調(diào)時(shí)其安裝位置與理想位置的小量誤差對(duì)自準(zhǔn)直測(cè)角光管測(cè)量的影響可以通過裝調(diào)、標(biāo)定來消除，一般不會(huì)影響自準(zhǔn)直測(cè)角光管的測(cè)量精度；

h）自準(zhǔn)直測(cè)角光管在使用過程中由于溫度、振動(dòng)、沖擊等工作環(huán)境造成的分光棱鏡位置變化引入的上述誤差無法消除，其大小不可忽視，最終會(huì)影響自準(zhǔn)直測(cè)角光管的環(huán)境適應(yīng)性能。

圖4 函數(shù)y=（θ-sinθ）×180×3600/π的圖像

4 結(jié) 論

自準(zhǔn)直測(cè)角光管使用過程中，工作環(huán)境的溫度、振動(dòng)、沖擊等應(yīng)力因素造成的分光棱鏡繞X，Y，Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的位置變化會(huì)給測(cè)量帶來誤差。為減小或消除這一誤差源，根本的方法是自準(zhǔn)直測(cè)角光管在使用過程中保持分光棱鏡的位置不變。為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，分光棱鏡座的設(shè)計(jì)及分光棱鏡組件的裝配應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：

a）分光棱鏡座易做成繞Y，X軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，使其產(chǎn)生的變形均勻?qū)ΨQ；

b）分光棱鏡座的Y，Z方向剛度要大些，使分光棱鏡繞Y，Z轉(zhuǎn)動(dòng)的位置變化盡量??；

c）分光棱鏡座與分光棱鏡作為一個(gè)整體裝配在自準(zhǔn)直測(cè)角光管中，受力應(yīng)均勻?qū)ΨQ，且在外力作用下分光棱鏡應(yīng)趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。

[1]李曉彤. 幾何光學(xué)和光學(xué)設(shè)計(jì)[M]. 杭州: 浙江大學(xué)出版社, 1997.

[2]王之江, 等. 光學(xué)技術(shù)手冊(cè)[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 1994.

[3]匡萃方, 等. 用矢量方法分析角錐棱鏡直角誤差對(duì)其反射光路特性的影響[J]. 光學(xué)儀器, 2004, 25(4):55-58.

[4]王駿, 等. 一種直角棱鏡棱脊相對(duì)變化量測(cè)量方法[J]. 科學(xué)技術(shù)與工程, 2006, 6(18): 2880-2886.

[5]尚鴻雁. 激光自準(zhǔn)直測(cè)角系統(tǒng)安裝誤差分析[J]. 應(yīng)用激光, 2008, 28(4): 318-322.

[6]高立民, 等. 直角棱鏡棱鏡傾斜對(duì)方位瞄準(zhǔn)的影響[J]. 光子學(xué)報(bào), 2002, 31(1): 117-119.

[7]歐同庚, 等. CCD光電自準(zhǔn)直儀工作原理及誤差源分析[J]. 大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué), 2007(6): 98-100.

[8]張錚, 等. MATLAB程序設(shè)計(jì)與實(shí)例應(yīng)用[M]. 北京: 中國(guó)鐵道出版社, 2003.

Influence on Autocollimation Angle Measuring Caused by Motion of Beam Splitting Prism

Wang Xue-gen, Sun Yu, He Yong-xi
(Beijing Institute of Space Launch Technology, Beijing, 100076)

The influence on reflection beam from the target caused by the motion of beam splitting prism is theoretically deduced, with vector analyzing method. The affection on the postion of the target image for autocollimation measuring is analysed further. The relation between the angle measuring error and the motion of the target image is given. Some advices for the design of prism seat are given, which is used in the precision equment as well as the autocollimation.

Beam splitting prism; Motion; Vector method; Angle measuring; Error

TH741

A

1004-7182(2017)01-0022-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20170106

2016-05-24；

2016-10-08

王學(xué)根（1976-），男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)楣怆姕y(cè)量及精密儀器