姜潤翔， 張伽偉， 林春生

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系, 湖北 武漢 430033)

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基于點電荷模型的腐蝕相關(guān)靜電場快速預(yù)測方法研究

姜潤翔， 張伽偉， 林春生

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系, 湖北 武漢 430033)

針對艦船腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場實時預(yù)測難的問題，提出了基于點電荷(電極)模型的快速建模方法。對艦船的結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理分區(qū)，通過計算混合電位值確定電極的極化狀態(tài)；在電極極化曲線及電化學(xué)系統(tǒng)電流和為0的準(zhǔn)則基礎(chǔ)上，建立了點電極電位和電流之間的函數(shù)關(guān)系；利用最小二乘算法計算點電極的電流值，并根據(jù)點電荷3層模型下的電位計算方法預(yù)測艦船腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場；分別利用仿真數(shù)據(jù)和船模試驗數(shù)據(jù)對所提方法的有效性進(jìn)行了檢驗。結(jié)果表明，所提方法能夠?qū)崿F(xiàn)對艦船腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場進(jìn)行快速預(yù)測。

電磁學(xué)； 艦船； 腐蝕； 靜電場； 點電荷； 電多極矩； 陽極； 陰極； 極化率

0 引言

艦船腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場是一種重要的艦船目標(biāo)暴露源，水中兵器攻擊源[1-3]。艦艇指揮員應(yīng)實時掌握自身艦艇電場的大小，以對艦艇自身的安全進(jìn)行實時評估。常用的艦船腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場建模方法主要有正演與反演兩種[4-8]。正演模型是建立在船體結(jié)構(gòu)、極化曲線、陰極保護(hù)電流等參數(shù)基礎(chǔ)上的計算方法，主要應(yīng)用于艦船設(shè)計階段對艦船電場進(jìn)行預(yù)測。而反演模型則是建立在實測某一深度平面電場數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的，主要被應(yīng)用于由某一深度的電場推算出其他深度電場值的領(lǐng)域[9-10]。有限元法和邊界元法是常用的兩種正演數(shù)值計算方法，但由于邊界元法和有限元法的計算量較大，無法實現(xiàn)實時在線預(yù)測。

針對上述問題，考慮到腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場可視為點電荷的疊加，一種合適的方法是將艦船劃分為若干區(qū)域，并將每個區(qū)域等效為點電荷，若能快速計算點電荷的位置和強度，即可根據(jù)點電荷模型對艦船靜態(tài)電場進(jìn)行建模。

1 點電荷建模的基本理論

假設(shè)船殼閉曲面S(見圖1)上的電荷密度為Q(S)，則S在某一場點P處的電位U可表示為

(1)

式中：σ為海水電導(dǎo)率；K(S,P)為點P與S之間的距離函數(shù)。

圖1 點電荷法對艦船腐蝕相關(guān)靜態(tài)電場建模示意圖Fig.1 Modeling of ship corrosion related static electrical field based on point charge source model

將表面S分為n個小面源Si,i=1,2,…,n，每個小面源的電荷密度為Q(Si)，有

(2)

式中：Qi為面源Si上的電荷大??；ΔSi為等效面源的面積；K(ΔSi,P)為面源Si和場點P之間的距離函數(shù)。

由電多極矩的相關(guān)知識可知，如果場點P距離等效面源Si區(qū)域較遠(yuǎn)，可將K(ΔSi,P)相對面源Si內(nèi)的某一點(xi,yi,zi)進(jìn)行泰勒展開，在0階收斂半徑之外，可忽略高次項，僅保持第1項，則(2)式可表示為

(3)

式中：K(Si,P)為等效點電荷的坐標(biāo)(xi,yi,zi)到場點P(x,y,z)處的距離函數(shù)，在空氣—海水—海床3層均勻介質(zhì)條件下有

(4)

式中：H為海水深度；R2=(x-xi)2+(y-yi)2；k=(σ-σs)/(σ+σs)為海底反射系數(shù)，σs為海床電導(dǎo)率；m為反射層數(shù)，實際計算中其上限值可取10～20[11]。

2 點電荷強度的計算方法

由第1節(jié)可知，在基于點電荷法進(jìn)行建模時，關(guān)鍵是計算出主要金屬電極表面的電流。一般情況下，由于船體、非絕緣聲納導(dǎo)流罩、舵板、美人架、螺旋槳的面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通海閥、計程儀、測深儀的表面積，因此在對艦船電場建模時，可忽略面積較小金屬構(gòu)成的電化學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的艦船電場。

需要注意的是，由于船體的尺寸相對較大，船體表面的電流是不均勻的，為了準(zhǔn)確建模，將船體劃分為若干個區(qū)域是合適的。具體如圖2所示。

圖2 船體表面區(qū)域劃分示意圖Fig.2 Schematic diagram of ship surface regional division

假設(shè)包含非絕緣聲納導(dǎo)流罩、螺旋槳、舵板、美人架、船體表面在內(nèi)的等效點電荷的個數(shù)為n，每個點電荷的表面積和電流值分別為Ai和Ii，則艦船靜電場可視為n個半球狀點電極(考慮空氣界面的影響)的疊加，根據(jù)點電荷的疊加原理可知，每個半球狀電極的電極電位滿足

(5)

式中：Ri,1為第i個電極和第1個電極之間的海水阻抗，其他依次類推；Ui為第i個電極的電極電位值。

由點電荷的靜電場特性可知，存在

(6)

式中：di,j為第i個電極和第j個電極面積幾何中心的距離；ai為第i個電極的等效半徑。

將(5)式改寫為矩陣形式，有

(7)

實際上，由電化學(xué)的相關(guān)知識可知，在建立腐蝕和防腐的電路問題時，還需考慮極化電阻的影響。此時，(7)式中矩陣中的Ri,i(第i個電極與海水地接觸電阻)轉(zhuǎn)化為(Ri,i+ri)，ri為每種等效電極的極化電阻和涂層電阻的和，有

(8)

式中：bi為等效點電荷的陰極極化率或者陽極極化率，具體計算時，應(yīng)首先判斷出材料在電化學(xué)系統(tǒng)中是陰極還是陽極；ρi為涂層橫向電阻率。

(7)式的計算問題可轉(zhuǎn)化為最小泛函數(shù)

(9)

的求解。

對(9)式增加控制方程

(10)

式中：α為控制參數(shù)。

同時，(10)式的解應(yīng)滿足電中性方程

(11)

利用最小值條件

?F/?Ii=0,i=1,2,…,n,

(12)

結(jié)合(11)式，可得到(n+1)×(n+1)階矩陣

(13)

式中：

(14)

在對(13)式進(jìn)行求解時，可將控制參數(shù)α依次選取為α1=10,αs=0.1×αs-1,s=2,3,…，分別計算其等效電荷Ii，并計算sum(I)=I1+I2+…,In，若其值在一定范圍內(nèi)接近于0，并且穩(wěn)定，即可將α取為當(dāng)前所設(shè)定的值。

3 材料極性的判斷

由第2節(jié)可知，在計算點電荷強度時，需要計算材料的極化電阻值，即首先應(yīng)判斷材料在電化學(xué)系統(tǒng)中是陰極還是陽極。根據(jù)混合電勢理論可知，n種金屬共同作用下的陰極電流等于陽極電流，即

(15)

式中：φ為混合電位值；p和q分別為陽極和陰極的個數(shù)，滿足n=p+q；Rai(i=1,2,…,p)為第i個陽極的全阻抗(極化電阻、涂層電阻和接觸電阻之和)，Rcj(j=1,2,…,q)為第j個陰極的全阻抗，有

(16)

式中：bai和bcj分別為材料的陽極和陰極極化率。

(15)式亦等價于

(17)

即，計算得到的混合電位φ必然滿足(17)式。

為了得到混合電位φ，可將船體表面n種金屬電極的電位排列為φ1≥φ2≥…≥φn，并按照電位由大到小的順序依次選取p=1,2,…，n-1種金屬作為陰極，n-p種金屬作為陽極，并將其對應(yīng)的電極電位值、陰極極化電阻和陽極極化電阻代入至(17)式中，若計算得到的φ滿足

φp+1≤φ≤φp,

(18)

則φ即為電化學(xué)系統(tǒng)的混合電位值。若第i種金屬的電極電位φi<φ，則該金屬為陽極，反之為陰極。

4 靜電場建模及等效源強度計算方法

為了計算艦船電場，還需要給出每個等效電荷的位置，假設(shè)陽極和陰極通過的電流均勻，可將每個陽極和陰極的幾何中心設(shè)定為等效電荷的位置：

(19)

式中：下角標(biāo)max和min對應(yīng)陽極和陰極表面在艦船坐標(biāo)系中的最大和最小坐標(biāo)值。

利用(13)式和(19)式計算出每個點電荷的等效電流和坐標(biāo)位置后，便可利用第1節(jié)中的方法對靜電場進(jìn)行建模。

(20)

值得注意的是，針對外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)的艦船電場建模，為了進(jìn)一步保證求解的正確性，還需增加能量約束條件。根據(jù)電流守恒定律有

(21)

根據(jù)多項式定律

(22)

有

(23)

即在計算外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)時，計算出的等效電流的平方和必須滿足(23)式。

在得到每個等效電極的電流后，還可計算出艦船3個方向的等效電偶極矩為

(24)

式中：N為等效電極的個數(shù)，在自然腐蝕和犧牲陽極陰極保護(hù)時，N=n，而在外加電流陰極保護(hù)時，N=n+na.

5 算例

鑒于數(shù)值計算(邊界元和有限元)[5-7]和縮比模型法[8,12-14]已成為艦船外加電流陰極保護(hù)系統(tǒng)設(shè)計、腐蝕相關(guān)電場特性、涂層破損和流速對腐蝕和防腐的影響等研究領(lǐng)域的標(biāo)準(zhǔn)方法。因此，為了驗證點電荷的靜電場建模方法是否有效，分別利用Beasy仿真數(shù)據(jù)(Beasy軟件在船舶設(shè)計階段被用于對船舶電場信號進(jìn)行評估[6])和等比例船模試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了檢驗。

5.1 仿真算例

水面艦艇船長L為154 m，船寬B為20 m，吃水深度T為6 m；船體、美人架、舵板材料為涂層破損率10%的鋼(電極電位為-0.506 V，其陽極極化率為0.5 Ω·m2，陰極極化率為25 Ω·m2，涂層電阻率為60 Ω·m2)；螺旋槳為鎳鋁青銅(電極電位為-0.367 V，其陰極極化率為0.21 Ω·m2，涂層電阻率為0 Ω·m2)。海水電導(dǎo)率σ=4 S/m，海床電導(dǎo)率σs=0.01 S/m，模擬海水深度為200 m. 將船體由船首至船尾劃分為8段，其編號依次為船體1、船體2、…、船體8，船體、螺旋槳、輔助陽極等構(gòu)成的等效點電荷的面積和坐標(biāo)如表1所示。

表1 水面艦艇等效點電荷的面積和坐標(biāo)

圖3 一艘艦船(自然腐蝕狀態(tài))當(dāng)不同水深z時的電位信號Fig.3 Potential signals of surface ship (natural corrosion condition) under different water depths

圖3和圖4分別為船體處于自然腐蝕狀態(tài)和陰極保護(hù)狀態(tài)，不同水深z時的正橫距y為10 m時，利用等效點電荷法和邊界元法計算得到的電位信號對比結(jié)果。其中，圖3和圖4中的電位信號為去均值后的結(jié)果，圖4中的輔助陽極1、輔助陽極2、輔助陽極3的輸出電流分別為30 A、30 A和60 A.

圖4 一艘艦船(陰極保護(hù)狀態(tài))當(dāng)不同水深z時的電位信號Fig.4 Potential signals of surface ship (impressed current cathodic protection condition) under different water depths

為了衡量換算結(jié)果，將點電荷計算結(jié)果電位U與Beasy軟件計算的電位UB之間的相對均方根誤差δ和相對絕對值誤差δa定義為

(25)

(26)

式中：m為測點個數(shù)。

根據(jù)(25)式和(26)式計算的水面艦艇模型不同測量線(m=351)的誤差差值如表2所示。

表2 水面艦艇模型不同測線的靜電場預(yù)測誤差值

5.2 船模算例

等比例縮小船模長度為2.62 m，最大型寬為26 cm，吃水深度為9.16 cm；聲納導(dǎo)流罩、船體材料均為低合金鋼(涂層為防銹漆，厚度為220 μm左右)；螺旋槳(雙槳)為直徑為8.7 cm的圓盤，其材料為鎳鋁青銅；裸露在船體外面的軸系材質(zhì)為合金鋼，其表面進(jìn)行了電絕緣處理。

將船體由船首至船尾劃分為11段，其編號依次為船體1、船體2、…、船體11，船體、螺旋槳、舵板等構(gòu)成的等效點電荷的面積和坐標(biāo)如表3所示。坐標(biāo)系的原點為船?；c坐標(biāo)，原點距離水面的距離為9.16 cm.

利用電化學(xué)工作站對船體及螺旋槳材料的樣片(長×寬為2 cm×2 cm)測試其極化曲線(見圖5)，得到低合金鋼和鋁青銅的自平衡電位V分別為-690.2 mV和-369.6 mV. 由圖5可知，合金鋼和鋁青銅在弱極化區(qū)域的陽極極化率和陰極極化率分別為1.50 Ω·m2和0.23 Ω·m2左右。

低合金鋼的涂層電阻率通過測試涂層樣片的電化學(xué)阻抗譜得到，10 d時間內(nèi)監(jiān)測得到的涂層鋼的Bode圖如圖6所示。由圖6可知，隨著浸泡時間的增加，其涂層電阻值逐漸減小，在200 h后基本穩(wěn)定在280 Ω·m2附近，且該值遠(yuǎn)大于陽極極化率，計算時，取低合金鋼的涂層電阻率和陽極極化率的和ρa為281.50 Ω·m2，鋁青銅的陰極極化率為0.23 Ω·m2.

表3 水面艦艇船模等效點電荷的面積和坐標(biāo)

圖5 合金鋼和鋁青銅的極化曲線Fig.5 Polarization curves of alloy steel and aluminum bronze

圖6 涂層電阻率隨浸泡時間的變化Fig.6 Coating resistance vs. immersion time

為了提高自然腐蝕電流的強度，海水電導(dǎo)率未按等比例縮小，模擬海水電導(dǎo)率為3.38 S/m. 試驗水池長、寬和水深分別為8 m、5 m和0.92 m. 4個電場測量傳感器(固態(tài)Ag/AgCl電極)距離水面的深度均為26 cm，相對于龍骨的水平距離分別為0 cm、8 cm、16 cm和24 cm. 零電極置于水池底部，距離測量電極的最大距離為4.76 m，接近2倍船長，可忽略零電極與測量電極有限基線長度(電極距離)引起的誤差。船模及測量電極的示意圖如圖7所示，船模軸接地裝置安裝了非接觸電流傳感器(最小分辨率為0.1 mA)，用于檢測自然腐蝕時的軸電流)。

圖7 電場傳感器相對船模的位置示意圖Fig.7 Schematic diagram of electric field sensor and ship model

利用伺服電機(jī)拖動船模(在海水中浸泡10 d)以5 cm/s的速度勻速通過電極正上方，測量得到的水下電位信號和點電荷建模得到的信號如圖8所示。

圖8 等比例船模(自然腐蝕狀態(tài))當(dāng)不同正橫距時的電位信號Fig.8 Electric potential signals of surface ship model under natural corrosion condition

由圖8可知，快速預(yù)測建模結(jié)果和船模試驗結(jié)果的吻合度較好，但在船體中前部負(fù)峰值處出現(xiàn)了位置偏差，考慮為船模制作過程中，涂層涂刷不均勻所致(試驗后，發(fā)現(xiàn)距離船首0.85 cm附近船體表面銹蝕嚴(yán)重)。值得注意的是，船模航行過程中，電流傳感器測量得到的軸電流(等效為槳電流)如圖9所示，不同船模結(jié)構(gòu)電流的仿真計算結(jié)果如圖10所示(橫坐標(biāo)為表3中第1列對應(yīng)的序號)。由圖9可發(fā)現(xiàn)，螺旋槳處的軸電流在1 mA左右波動，而反演計算得到的螺旋槳電流為1 mA，這從側(cè)面再次證實了算法的有效性。

圖9 實測螺旋槳電流Fig.9 Current of propeller

圖10 船模不同結(jié)構(gòu)的電流值Fig.10 Current of different ship structures

為了進(jìn)一步驗證算法的有效性，在圖7船模試驗的基礎(chǔ)上，在船殼與螺旋槳軸之間串聯(lián)滑動變阻器，通過調(diào)整變阻器模擬涂層電阻R的大小，得到低合金鋼新的涂層電阻率和陽極極化率的和為

ρa=(281.5+R/A) Ω·m2,

(27)

式中：A為船體的浸水面積。

表4為不同R值時，仿真計算得到的螺旋槳電流和實測槳軸電流的平均值。由表4可發(fā)現(xiàn)，隨著電阻R的增大，槳軸電流逐漸減小，且仿真計算結(jié)果和實測結(jié)果差別較小。

表4 不同R值時的螺旋槳電流值

圖11給出了正橫距y=0 cm時，不同R值的點電荷建模和實測結(jié)果值。由圖11可知，隨著電阻R值的增大，仿真計算出的負(fù)峰值偏差和實測結(jié)果的差異逐漸增大，這是由于隨著涂層等效電阻率的增大，局部破損位置的在回路中的影響逐漸增大的原因。

圖11 不同R值時的電場結(jié)果(y=0 cm)Fig.11 Electric potential signals under different R for y=0 cm

6 結(jié)論

通過將靜態(tài)電場預(yù)測計算的問題轉(zhuǎn)化為多個點電荷建模求解的問題，實現(xiàn)了腐蝕相關(guān)靜電場的快速建模和預(yù)測，為快速預(yù)測評估艦船腐蝕相關(guān)靜電場提供了一種新的途徑和理論依據(jù)。

需要說明的是，基于點電荷的建模方法也可應(yīng)用于船體外加電流陰極保護(hù)的優(yōu)化設(shè)計中，若在建立電極電位和電流的關(guān)系時，將目標(biāo)電位值設(shè)定為保護(hù)電位值，即可估算出輔助陽極的輸出電流大小，從而有望達(dá)到實時調(diào)整輔助陽極輸出電流，實現(xiàn)船體表面保護(hù)電位分布更加均勻的目的。

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Study of Quick Prediction Method for Ship Corrosion Related Static Electric Field Based on Point Charge Source Model

JIANG Run-xiang， ZHANG Jia-wei， LIN Chun-sheng

(Department of Weaponry Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, Hubei, China)

A method of rapidly establishing the prediction model based on the point charge source is proposed for the prediction of ship corrosion related static electric field. The reasonable division of ship structure is set, and the mixed potential of ship is calculated based on mixed electrode potential. The functional relationship between potential and current of point electrode is established based on the material polarization curve and the electrochemical system’s current sum which is zero. The current of point electrode is calculated using least squares method, and the ship corrosion related static electric field is predicted using the potential calculation method of point charge under three-layered medium. The effectiveness of the proposed method is verified by using the surface ship simulation data and the ship model test results. The results show that the proposed method can be used for fast prediction of ship corrosion related static electric field.

electromagnetics; ship; corrosion; static electric field; point charge source; electric multi-pole moment; anode; cathode; polarizability

2016-10-11

國家自然科學(xué)家基金項目(51509252、41476154)

姜潤翔(1982—)，男，講師。E-mail:jiang_runxiang@163.com

林春生(1962—)，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:lcs_and_zh@163.com

O441.1

A

1000-1093(2017)04-0735-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.015