田振國, 孟曉永, 安雪云, 白象忠

(燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004)

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電磁軌道發(fā)射狀態(tài)下的復(fù)合導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)研究

田振國, 孟曉永, 安雪云, 白象忠

(燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 河北 秦皇島 066004)

電磁炮導(dǎo)軌中通入電流后，電樞受到電磁力作用沿軌道移動，由于導(dǎo)軌受到安培力和電樞壓力的作用，會引起軌道內(nèi)表面的磨損、刨削現(xiàn)象，限制了電磁軌道炮的使用壽命。而銅基復(fù)合軌道可以同時具備有良好的導(dǎo)電性能、耐燒蝕能力以及較高的強(qiáng)度，在大功率多次發(fā)射的電磁軌道炮中具有較好的應(yīng)用前景。將復(fù)合導(dǎo)軌簡化為彈性地基梁，并對其受力特點(diǎn)進(jìn)行力學(xué)分析，應(yīng)用二維Fourier積分變換，得到復(fù)合導(dǎo)軌在移動荷載作用下動態(tài)撓度的一般解，進(jìn)而得到電磁軌道發(fā)射狀態(tài)下復(fù)合導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)。分析了復(fù)合軌道的幾何尺寸、通入電壓等參量對復(fù)合導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)的影響。計算結(jié)果表明：電樞壓力對軌道變形的影響遠(yuǎn)大于軌道間斥力的影響；合理的復(fù)合層厚度占比可以改善軌道的動態(tài)性能。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 復(fù)合軌道； 動態(tài)響應(yīng)； Fourier變換； 移動荷載； 彈性地基梁

0 引言

電磁炮采用電磁發(fā)射方式，理論上能比傳統(tǒng)發(fā)射方式獲得更高的速度，并且可以節(jié)約能源與減少反應(yīng)時間，有較大的應(yīng)用潛力。但是，一些難以克服的問題阻礙了其實(shí)際應(yīng)用[1]。如導(dǎo)軌內(nèi)側(cè)的燒蝕[2]，發(fā)射過程中的穩(wěn)定性、導(dǎo)電性與剛度支撐等問題。目前國內(nèi)外學(xué)者一方面在改善導(dǎo)軌或采用新的導(dǎo)電方式來避免導(dǎo)軌刨削與燒蝕[3]；另一方面，通過計算導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)及應(yīng)力分布，來分析其受力及變形規(guī)律，進(jìn)而為導(dǎo)軌設(shè)計提供理論依據(jù)[4-5]。文獻(xiàn)[6]將導(dǎo)軌簡化為彈性地基梁，并假設(shè)電樞勻速通過導(dǎo)軌的情況下，討論了導(dǎo)軌長度等參量對共振速度的影響。文獻(xiàn)[7]用數(shù)值模擬的方法，分析了等離子體的黏滯阻力和惰性阻力對電樞運(yùn)動的影響。文獻(xiàn)[8]分析了電磁軌道炮發(fā)射時后坐運(yùn)動的特征，獲得了一定條件下的后坐運(yùn)動曲線。但是，這些研究并沒有考慮電樞對導(dǎo)軌作用力和電樞的變加速運(yùn)動的動態(tài)特征，也很少將軌道作為復(fù)合結(jié)構(gòu)體進(jìn)行動態(tài)力學(xué)分析，對復(fù)合型導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)的研究十分少見。當(dāng)電流通入復(fù)合導(dǎo)軌后，電樞將受到強(qiáng)大的推力作用并沿導(dǎo)軌作變加速運(yùn)動。由復(fù)合導(dǎo)軌間電磁場分布及通入電樞的電流強(qiáng)度，可得到電樞受到的推力，進(jìn)而得到電樞的運(yùn)動方程；通過計算復(fù)合導(dǎo)軌間相互作用的斥力與在焦耳熱作用下電樞的膨脹量，可得到復(fù)合導(dǎo)軌上的移動荷載值及其變化規(guī)律。本文考慮電磁炮發(fā)射裝置的實(shí)際結(jié)構(gòu)，將簡化為彈性地基梁的復(fù)合導(dǎo)軌的控制方程進(jìn)行Fourier變換，導(dǎo)出了在發(fā)射過程中復(fù)合導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)方程及其精確解。并通過算例，分析了銅- 鋼復(fù)合導(dǎo)軌構(gòu)成的材質(zhì)比例及接入電壓等參量對復(fù)合導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)的影響，從而可為發(fā)射軌道的設(shè)計提供理論計算參考依據(jù)。

1 復(fù)合導(dǎo)軌的動力學(xué)控制方程的建立及其解

復(fù)合導(dǎo)軌橫截面尺寸如圖1所示，軌道內(nèi)層、外層材質(zhì)分別為鋼和銅，相應(yīng)的參量符號分別用下角標(biāo)Fe、Cu來區(qū)分。鋼的彈性模量為EFe，厚度為hFe，截面上的正應(yīng)力為σFe；外層銅的彈性模量為ECu，厚度為hCu，截面上的正應(yīng)力為σCu；軌道寬度為d，軌道間距離為b，復(fù)合軌道中性軸距頂層距離為c(見圖2)。

圖1 復(fù)合軌道截面圖Fig.1 Cross section of composite rail

圖2 復(fù)合軌道應(yīng)力分布Fig.2 Stress distribution of composite rail

電磁導(dǎo)軌炮發(fā)射裝置如圖3所示。電流由一側(cè)導(dǎo)軌流入，經(jīng)過電樞后由另一側(cè)導(dǎo)軌流出；電樞受到在兩導(dǎo)軌間產(chǎn)生強(qiáng)磁場作用的電場力后，沿導(dǎo)軌滑動。在此過程中，導(dǎo)軌主要受到導(dǎo)軌間相互作用的斥力、電樞對導(dǎo)軌的壓力和導(dǎo)軌固定裝置的彈性支撐力的作用，故可將導(dǎo)軌看作如圖4所示的彈性基礎(chǔ)梁，由彈性基礎(chǔ)梁理論可得到其動力學(xué)控制方程[9]為

圖3 復(fù)合梁導(dǎo)軌發(fā)射裝置簡圖Fig.3 Schematic diagram of composite rail launcher

(1)

式中：IFe、ICu分別為鋼、銅的慣性矩；w(x,t)為復(fù)合導(dǎo)軌的撓度；q(x,t)=qr(t)[1-H(x-l(t))]+qp(t)H?a2-(x-l(t))2」為作用在導(dǎo)軌上的移動荷載，qr(t)為導(dǎo)軌間相互作用的斥力集度，qp(t)為電樞作用在導(dǎo)軌上的壓力集度，a為電樞沿x軸方向的長度，l(t)為t時刻時電樞的移動距離，H(x-l(t))、H?a2-(x-l(t))2」為Heaviside階躍函數(shù)；k為地基彈性系數(shù)；λ為復(fù)合導(dǎo)軌的平均質(zhì)量密度；h=hFe+hCu、d分別為導(dǎo)軌的厚度和寬度。

圖4 復(fù)合導(dǎo)軌的受力簡圖Fig.4 Force diagram of composite rail

對(1)式進(jìn)行x、t的二維Fourier變換，得到[10]

(2)

(3)

對(3)式進(jìn)行Fourier逆變換可得到

(4)

2 發(fā)射過程中導(dǎo)軌與電樞的受力分析

2.1 復(fù)合導(dǎo)軌發(fā)射過程的供電電壓

將導(dǎo)軌發(fā)射器看成是電源的負(fù)載，導(dǎo)軌為沿其長度分布的電阻和電感，因?yàn)槭菑?fù)合軌道，可將內(nèi)層軌道和外層軌道看作并聯(lián)電路。在正常發(fā)射狀態(tài)下，發(fā)射時供電電壓[11]為

(5)

式中：L′r(x)為導(dǎo)軌電感梯度；i(t)為流經(jīng)導(dǎo)軌的電流強(qiáng)度；v(x)為電樞速度。

導(dǎo)軌發(fā)射裝置的負(fù)載電阻[12]為

(6)

式中：R0為初始負(fù)載電阻；導(dǎo)軌發(fā)射裝置的電感為

Lr(x)=L0+L′r(x)x,

(7)

2.2 電樞推力的計算

如圖5所示，電流由一側(cè)導(dǎo)軌流入，穿越電樞，然后由另一側(cè)導(dǎo)軌流回，則根據(jù)通入內(nèi)層、外層導(dǎo)軌的電流強(qiáng)度iFe(t)、iCu(t)可以得到導(dǎo)軌間任一點(diǎn)A(xA,yA,zA)的磁感應(yīng)強(qiáng)度:

圖5 坐標(biāo)系的建立Fig.5 Establishment of coordinate system

(8)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率。

考慮到復(fù)合軌道的性質(zhì)及電流分布特點(diǎn)，對其沿整個電樞體積進(jìn)行積分，便可得到電樞受到電磁驅(qū)動力沿軌道方向的合力。隨著電樞的移動，整個電流通路的電阻也將發(fā)生變化。如果外加的是恒定電源，則通入軌道的電流強(qiáng)度、導(dǎo)軌間的磁場、流經(jīng)電樞的電流密度、電樞受到的推力都將是時間的變量。由電樞中的電流值，可計算出電樞上任一點(diǎn)受到的洛侖茲力[13]。按體電流計算，沿整個電樞體積進(jìn)行積分便可得電樞受到電磁驅(qū)動力沿軌道方向推力的合力為

(9)

2.3 兩導(dǎo)軌間相互作用的斥力計算

由于導(dǎo)軌通入電流會在軌道之間產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的電磁場，所以導(dǎo)軌間會受到相互作用的斥力，由安培力計算公式結(jié)合導(dǎo)軌間任一點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可得電樞經(jīng)過的導(dǎo)軌部分受到的斥力集度近似為

(10)

考慮到復(fù)合軌道是貼合在一起的，這里將軌道受到的斥力等效作用在整個復(fù)合軌道的表面。

2.4 電樞與軌道間接觸力計算

當(dāng)電流流經(jīng)電樞時，其內(nèi)勢必產(chǎn)生熱量。因電磁軌道發(fā)射裝置通常采用電容單次放電的形式，可近似地認(rèn)為電流在電樞內(nèi)均勻分布。如果僅考慮電樞表面與外部的熱交換，即電樞所發(fā)出的熱量：一部分用于增加電樞的焓，另一部分則損失于外界，此時電樞溫度就會沿電樞y方向分布[14]：

(11)

假設(shè)兩側(cè)軌道限制了電樞的熱膨脹，且沿y方向取平均溫度作為電樞應(yīng)變的計算依據(jù)，由于作用時間非常短暫，可忽略溫度隨時間的變化，則得電樞的熱應(yīng)變[15]為

(12)

式中：αl為電樞材料的線膨脹系數(shù)。則電樞作用在復(fù)合軌道上的荷載集度[16]為

(13)

式中：Ea為電樞材料的彈性模量。

3 發(fā)射過程中的復(fù)合導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)

復(fù)合導(dǎo)軌通入強(qiáng)電流后，電樞將做變加速運(yùn)動，滑動過程中導(dǎo)軌會部分受到相互作用的斥力和電樞作用力。將(1)式中的q(x,t)經(jīng)Fourier變換后得

(14)

將(14)式代入(4)式積分，并考慮狄拉克函數(shù)(δ函數(shù))的性質(zhì)：

(15)

可得電樞沿復(fù)合軌道滑動時導(dǎo)軌撓度表達(dá)式為

(16)

再結(jié)合(10)式、(13)式可得導(dǎo)軌發(fā)射過程中的導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)，則可用Matlab得到復(fù)合軌道的數(shù)值解。

4 算例分析

如圖1所示，復(fù)合導(dǎo)軌內(nèi)層、外層材質(zhì)分別為鋼和銅，取導(dǎo)軌長度為2 m，內(nèi)層鋼質(zhì)復(fù)合層厚度hFe=5 mm，外層銅質(zhì)基層厚度hCu=15 mm，兩導(dǎo)軌間距離b=20 mm. 鋼的質(zhì)量密度ρFe=7 850 kg/m3，彈性模量EFe=200 GPa，電導(dǎo)率σFe=9.93×106S/m；銅質(zhì)導(dǎo)軌的質(zhì)量密度為ρCu=8 900 kg/m3，彈性模量ECu=115 GPa，電導(dǎo)率σCu=5.88×107S/m；系統(tǒng)初始負(fù)載電感L0=0，導(dǎo)軌電感梯度L′r=0.451 24 μH/m，初始電阻R0=0.1 Ω. 鋁質(zhì)電樞沿導(dǎo)軌方向長度a=20 mm，電樞的厚度和高度都為20 mm，彈性模量Ea=70 GPa，電導(dǎo)率σa=3.6×107S/m，質(zhì)量密度為ρa(bǔ)=2 700 kg/m3，熱傳導(dǎo)系數(shù)λa=237 W/(m·℃)，表面放熱系數(shù)αa=500 W/(m2·℃)，線膨脹系數(shù)αl= 2.35×10-5℃-1. 地基彈性系數(shù)k=10 GPa，真空磁導(dǎo)率μ0=1.256×10-6H/m，系統(tǒng)放電電壓U0=70 000 V，導(dǎo)軌兩端自由。

圖6為復(fù)合導(dǎo)軌在不同放電電壓作用下，電樞的移動情況，可見通入的電壓越高，發(fā)射時間越短。放電電壓U0=90 000 V比U0=70 000 V時發(fā)射時間少大約0.3 ms. 圖7為在不同放電電壓下電樞加速度aa隨時間t變化曲線，由于電容放電特性及電樞推力是由導(dǎo)軌間電流在電樞內(nèi)產(chǎn)生的磁場與電樞電流作用產(chǎn)生的，可以看出，在開始放電瞬間，電樞加速度迅速增大，隨著時間的增加，由于系統(tǒng)電阻的增加及放電電壓的變化，導(dǎo)致電流密度強(qiáng)度下降，從而導(dǎo)致電磁推力減小，電樞加速度下降。

圖6 電樞移動距離隨時間變化曲線Fig.6 Armature moving distance vs. time

圖7 電樞加速度隨時間變化曲線Fig.7 Armature acceleration vs. time

圖8為導(dǎo)軌在不同放電電壓作用下導(dǎo)軌0.8 m處的撓度值變化，放電電壓越高，撓度峰值越大，放電電壓U0=90 000 V比U0=70 000 V時撓度峰值增大了1倍多，且當(dāng)電樞移動到該位置處時，對應(yīng)位置的撓度達(dá)到最大。圖9為外加電壓U0=80 000 V時，導(dǎo)軌的0.8 m處不同力作用下的撓度值隨電樞移動距離變化。由圖9可知，導(dǎo)軌發(fā)射前段該位置的撓度很小，當(dāng)電樞到達(dá)0.8 m處時，撓度急劇增大，電樞經(jīng)過后撓度又變小，可見電樞對軌道變形的影響遠(yuǎn)大于軌道間斥力的影響。

圖8 放電電壓對導(dǎo)軌0.8 m處撓度的影響Fig.8 Effect of discharge voltage on deflection of rail at 0.8 m

圖9 導(dǎo)軌0.8 m處撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.9 Deflection of rail at 0.8 m vs. armature moving distance

相比較電樞對軌道撓度的貢獻(xiàn)，軌道間斥力對撓度貢獻(xiàn)值要小得多。圖10和圖11分別表示了外加電壓U0=80 000 V時，導(dǎo)軌間斥力與電樞作用力對撓度值貢獻(xiàn)。由圖10可知，僅考慮導(dǎo)軌間斥力作用時，發(fā)射前段撓度接近于0，隨著電樞的移動，影響增大，電樞到達(dá)0.8 m處后，撓度快速達(dá)到峰值w=3.57 μm，之后緩慢變小并趨于平穩(wěn)，但影響程度小得多，撓度值變化小于4 μm；由圖11可見，當(dāng)電樞到達(dá)0.8 m處時，此處撓度急劇增大，最大值約為w=2.148 mm，電樞經(jīng)過后，該點(diǎn)撓度又快速變小。這也正反映了兩種載荷的不同性質(zhì)，同時表明電樞力的作用是主要的。

圖10 導(dǎo)軌相互作用斥力對0.8 m處撓度影響Fig.10 Effect of repulsion on deflection of rail at 0.8 m

圖11 電樞作用力對0.8 m處撓度影響Fig.11 Effect of armature reaction on deflection of rail at 0.8 m

圖12為外加電壓U0=80 000 V，復(fù)合導(dǎo)軌內(nèi)層、外層厚度比為1∶3時，導(dǎo)軌不同位置的撓度隨電樞移動距離的變化。圖12中不難看出，不同位置的撓度出現(xiàn)峰值的時間不同。當(dāng)電樞滑動至相應(yīng)位置時，撓度出現(xiàn)峰值，且各點(diǎn)撓度的最大值變化并沒有顯著的規(guī)律。圖13為外加電壓U0=80 000 V，厚度比分別為1∶3、1∶2和1∶1時，導(dǎo)軌0.8 m處的撓度值隨電樞移動距離的變化曲線。從圖13可以看出，厚度比為1∶3時撓度峰值最大，約為厚度比為1∶1時的2倍，一方面是因?yàn)殂~的彈性模量比鋼的彈性模量小，導(dǎo)致復(fù)合梁整體的抗彎剛度降低，另一方面是因?yàn)殂~質(zhì)基層厚度的增加，減小了整體的電阻，提高了軌道內(nèi)電流強(qiáng)度的值，在增加了發(fā)射速度的同時也增加了軌道的負(fù)載。

圖12 導(dǎo)軌不同位置撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.12 Deflection vs. armature moving distance at different positions

圖13 復(fù)合導(dǎo)軌0.8 m處撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.13 Deflection of rail at 0.8 m vs. armature moving distance

5 結(jié)論

由計算結(jié)果可見：復(fù)合導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)與材料性質(zhì)、接入電壓等參數(shù)有關(guān)，而導(dǎo)軌的撓度主要受電樞作用力影響；復(fù)合導(dǎo)軌一點(diǎn)處的撓度值隨電樞移動而變化，并在電樞移動到該點(diǎn)時達(dá)到最大；復(fù)合材料的屬性對軌道的影響是多方面的，鋼復(fù)合層的厚度增加會提高整體的剛度，但同時增加了系統(tǒng)的電阻，降低了發(fā)射效率，因此在進(jìn)行復(fù)合軌道設(shè)計時需綜合考慮軌道變形和發(fā)射效率兩方面的影響，合理選擇設(shè)計參數(shù)。

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Dynamic Response of Composite Rail during Launch Process of Electromagnetic Railgun

TIAN Zhen-guo, MENG Xiao-yong, AN Xue-yun, BAI Xiang-zhong

(Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment and Large Structures of Hebei Province, College of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China)

Armature is subjected to an electromagnetic force to move along the composite rail when electric current flows into the electromagnetic rail. The inner surface of the rail may be worn and planed due to ampere force and armature pressure, which limits the service life of the electromagnetic rail gun. Copper-based composite rail has good conductivity, corrosion resistance and higher strength. The composite rail is simplified as an elastic foundation beam, and its mechanical characteristics are analyzed. The general solution of the dynamic deflection of composite rail under moving load is obtained by using the two-dimensional Fourier transform. The dynamic response of the composite rail under the launching of electromagnetic railgun is obtained. The influences of the geometrical dimensions of composite rail and the input voltage on the dynamic response of composite rail are analyzed. The results show that the influence of armature pressure on the rail deformation is much larger than that of the repulsive force, and the dynamic property of rail can be improved by using the reasonable proportion of composite layer thickness.

ordnance science and technology; composite rail; dynamic response; Fourier transform; moving load; elastic foundation beam

2016-10-11

河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A2015203086)

田振國(1975—), 男，副教授。E-mail: tianzhenguo1@163.com

白象忠(1942—), 男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: baixiangzhong@sina.com

TJ866； O343.3

A

1000-1093(2017)04-0651-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.004