董淑惠，王 慧，王艾萌

(華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003)

多維齒槽轉矩優(yōu)化方法在永磁電機中的應用研究

董淑惠，王 慧，王艾萌

(華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003)

分別采用改變定子齒的形狀、調整極弧系數以及磁極偏移的方法來削弱永磁電機的齒槽轉矩，并將這3種方法相結合使齒槽轉矩進一步優(yōu)化。通過建立永磁電機的有限元模型，對提出的齒槽轉矩抑制方法進行理論分析與有限元驗證，并對采用磁極偏移法減小齒槽轉矩進行了實驗驗證。結果表明：改變定子齒的形狀、最優(yōu)極弧系數法和磁極偏移法均有效減小齒槽轉矩；而采用三者相結合的方法后，永磁電機的齒槽轉矩更是得到極大減?。淮艠O偏移法的有限元仿真結果和實驗果基本吻合，驗證了該方法對減小齒槽轉矩的有效性。

永磁電機；齒槽轉矩；齒的形狀；極弧系數；磁極偏移；有限元

0 引 言

隨著高性能永磁材料的發(fā)展、電力電子器件和控制技術的不斷進步，永磁電機引起了人們的廣泛關注。因為具有結構緊湊、效率高、轉矩密度高等特點，永磁電機在汽車和航空航天等領域得到了廣泛應用[1-3]。

然而永磁電機的特有問題之一就是齒槽轉矩的存在[4]，電樞繞組中電流激勵為零時，永磁體和定子鐵心的齒槽相互作用在圓周方向上產生的轉矩稱為齒槽轉矩。齒槽轉矩的存在會影響永磁電機運行性能：如轉矩波動、振動和噪聲，因此，研究如何減小齒槽轉矩是永磁電機領域非常重要的一個問題。有關齒槽轉矩的削弱方法，國內外多名學者專家從電機本體結構出發(fā)對其進行過研究，主要是通過改變電機本身結構和參數等方法減小齒槽轉矩。

減小永磁電機齒槽轉矩的方法有：槽極配合法、磁極偏移、斜槽、斜極、輔助槽、優(yōu)化極弧系數法、永磁體分體、優(yōu)化永磁體形狀等[4-11]。盡管有各種不同的方法可以削弱齒槽轉矩，但是其中的一些方法有明顯的缺點，實際中很難廣泛應用。例如：定子斜槽或轉子斜極的方法，二者削弱齒槽轉矩的原理類似，很難做到大規(guī)模生產加工，且采用這兩種方法會使電機漏磁增加，降低轉矩。另外，如果單獨采用一種方法，對齒槽轉矩的削弱程度是有限的，因此可以采用幾種方法的結合使齒槽轉矩得到更大的削弱。

本文選用近年來研究較多的分數槽集中繞組永磁電機[12]，建立電機有限元模型。針對采用某一種方法對齒槽轉矩削弱的有限性，采用改變齒的形狀、最優(yōu)極弧系數法和磁極偏移相結合的方法來盡量減小齒槽轉矩。首先對永磁電機齒的形狀進行優(yōu)化，改變定子齒頂高，使得定子齒頂的形狀由均勻分布變?yōu)槌首笥覍ΨQ的正弦曲線形狀；其次，對極弧系數進行分析并優(yōu)化，削弱齒槽轉矩；然后，采用磁極偏移方法，通過削弱特定的諧波次數來達到齒槽轉矩優(yōu)化的目的。

1 多維齒槽轉矩優(yōu)化方法

1.1 采用改變齒的形狀方法減小齒槽轉矩

圖1 電機A的齒形狀不同時的磁場分布Fig.1 The distribution of magnetic field for motor A with different shaped teeth

由于齒槽轉矩是由永磁體和定子齒槽相互作用引起的，因此定子齒的形狀對齒槽轉矩有很大的影響。在設計電機之初，就應該考慮避免因為不合適的齒形狀引起較大的齒槽轉矩。改變定子齒的形狀也可以減小齒槽轉矩諧波，這和改變磁極形狀減小齒槽轉矩方法的原理是類似的[13-15]，即通過改善氣隙磁密的分布(盡量減少漏磁和防止鐵心飽和)達到削弱齒槽轉矩的目的。為了驗證此方法的有效性，建立了6極9槽極弧系數為1的外轉子永磁電機模型A，如圖1所示。改變定子齒頂高Tp的大小即可改變定子的形狀，其余參數保持不變，Tp的變化范圍從2.5 mm到0，齒的形狀由均勻分布變?yōu)槌首笥覍ΨQ的正弦曲線形狀。

圖2 氣隙磁場分布Fig.2 Air-gap field distribution with different shaped teeth

圖3 齒的形狀對齒槽轉矩的影響Fig.3 Influence of tooth shaping on cogging torque

6極9槽電機槽數和極數的最小公倍數NL是18,因此，齒槽轉矩波形的周期是20°。圖2表示的是Tp的尺寸從2.5 mm到0 mm變化時氣隙磁密分布，Tp=0時，氣隙磁密曲線較為光滑、正弦。Tp變化時，即改變定子齒的形狀對齒槽轉矩的影響如圖3所示。由此可知，齒的形狀改變后，齒槽轉矩的幅值由原來的1.30 Nm降為0.84 Nm，齒槽轉矩的2次與3次諧波降低較為明顯，特別是當Tp為0時，其齒槽轉矩降低到最小。

1.2 改變齒的形狀和優(yōu)化極弧系數方法相結合減小齒槽轉矩

齒槽轉矩是由永磁體和定子齒槽相互作用產生的，齒和槽的磁阻不同且周期性變化，因此齒槽轉矩也呈周期性變化。采用能量法對齒槽轉矩進行分析，永磁電機的齒槽轉矩Tcog表達式可以表示為[16]

(1)

式中：Lef是電機的有效軸長；Bσ是永磁體產生的氣隙磁密幅值；Ns是電機槽數；Np是電機極數；μ0是氣隙磁導率；Nc是Ns和Np的最小公倍數；R1是氣隙內半徑；R2是氣隙外半徑；b0是定子槽口寬；αp是極弧系數；αs是斜槽角度；Kskn定義為斜槽系數。

影響齒槽轉矩大小的一個重要參數是極弧系數αp，研究表明，選擇恰當的極弧系數可以非常有效地削弱齒槽轉矩。極弧系數指的極弧長度占極距的比例。而磁極的極弧系數大小反映了其能夠提供磁通量的多少，進而會對齒槽轉矩造成影響。另外選擇合適的極弧系數，會使電機主極磁場波形更加正弦，改善反電動勢波形，進行電機設計時應綜合考慮進行選擇。

從式(1)可以得出，如果極弧系數滿足下列條件時，齒槽轉矩將達到最小值。

(2)

從上式(2)可以解出對應最小齒槽轉矩的αp的最優(yōu)解為

(3)

式(3)中，如果k取Nc/Np，那么αp=0，然而這是不可能實現(xiàn)的，因為αp=0，轉子上將沒有永磁體勵磁。當k=0時，αp=1,但是通常在實際應用中也不會用這種方法減小齒槽轉矩，因為會有磁極間漏磁現(xiàn)象和磁通邊界效應，因此對應最小齒槽轉矩的最優(yōu)極弧系數αp為

(4)

由上式(4)可知，對不同槽極組合和不同轉子結構的永磁電機，選擇合適的極弧系數都可以減小齒槽轉矩。Nc/Np的值越大，最優(yōu)極弧系數αp的取值也就越多。實際上，由于磁通邊界效應的影響，最優(yōu)極弧系數αp的值會比由式(4)計算結果稍微大一點，修正后的最優(yōu)極弧系數αp*為

(5)

式中：k1是根據氣隙長度的不同而變化的值。顯然，為了增大氣隙磁通密度，進而提高轉矩密度，最優(yōu)極弧系數的值越大越好，因此，通常選擇k=1時對應的極弧系數值。對于6極9槽的電機A由式(4)得出αp=0.667，此時沒有考慮k1的值。

圖4 極弧系數對齒槽轉矩的影響Fig.4 Influence of magnet pole-arc to pole-pitch ratio on cogging torque

圖4(a)和(b)分別表示Tp=2.5 mm和Tp=0 mm時，6極9槽電機模型A在不同極弧系數下齒槽轉矩波形。比較兩個圖可得，改變齒的形狀將齒槽轉矩減小后，再選擇一個合適的極弧系數，齒槽轉矩會進一步被削弱，齒的形狀改變前后最小齒槽轉矩的幅值分別為0.4 Nm和0.1 Nm，對應的極弧系數分別為0.7和0.75，由此可知，考慮磁通邊界效應后，對應最小齒槽轉矩的最優(yōu)極弧系數αp*比0.667大。

圖5(a)和(b)分別表示Tp=2.5 mm和Tp=0時，極弧系數變化時，6極9槽電機模型A的齒槽轉矩諧波分析。從圖5(b)可以看出，齒的形狀改變后齒槽轉矩的3次諧波分量幾乎在所有的極弧極系數下都為零。當極弧系數為0.8時，齒槽轉矩的3次諧波最小值為0.000 8 Nm。

圖5 齒槽轉矩諧波對比圖Fig.5 Comparison chart of cogging torque harmonic

1.3 改變齒的形狀和磁極偏移方法相結合減小齒槽轉矩

1.3.1 齒槽轉矩傅里葉分解

由齒槽轉矩的定義，齒槽轉矩的表達式也可以寫為[17]

(6)

式中：λg是氣隙磁通；R是氣隙磁阻；θ是轉子位置角。

因為齒槽轉矩是有周期的，其可以表示為傅里葉級數的形式：

(7)

式中：i是整數，Ti是傅里葉系數。

可以看出電機旋轉一周，齒槽轉矩的周期是Nc，Nc和定子槽數和轉子極數有關。

從式(6)可以看出，在氣隙磁通λg或者氣隙磁阻的變化率dR/dθ為零的情況下，齒槽轉矩可以完全消除。但是氣隙磁通λg=0是不可能實現(xiàn)的，因為需要由氣隙磁通產生的轉矩驅動電機轉動。因此理論上來說，保持氣隙磁阻R相對于轉子位置角θ固定不變，齒槽轉矩可以完全消除，然而實際應用中，很難做到齒槽轉矩百分百消除，但是可以通過采用一定的方法極大程度地削弱齒槽轉矩。

從式(7)可以看出，齒槽轉矩公式可用傅里葉級數的形式表示，因此齒槽轉矩可以看成是由一系列諧波疊加合成得到的。

永磁電機中一般為多極結構，每個磁極與定子齒槽相互作用都會產生齒槽轉矩。一般認為單個磁極產生的齒槽轉矩是由各次諧波疊加合成得到的，而整個永磁電機總的齒槽轉矩波形是由所有的磁極產生齒槽轉矩波形疊加得到的。

以一臺簡單的2極電機為例說明磁極偏移后的齒槽轉矩，一臺磁極分布不均勻的2極電機的齒槽轉矩表達式如下所示：

(8)

式中：δsh是磁極偏移角度;Tmi是單個磁極產生齒槽轉矩的傅里葉系數值。因為總的齒槽轉矩波形是由所有磁極齒槽轉矩波形疊加合成得到，而每個磁極產生的波形均相同，當其中一個磁極改變了其在轉子的初始位置后，齒槽轉矩波形可相互抵消。一般條件下，當磁極的齒槽轉矩波形偏移半個周期，合成的齒槽轉矩會達到最小。

分析此6極電機模型磁極偏移的2種方法：(1)偶次諧波剩余；(2)奇次諧波剩余，下面分別進行分析。

圖6 電機A的磁極偏移方法(偶次諧波剩余)Fig.6 The way of displacing magnet on rotor of prototype motor A(even harmonic residual)

圖7 偶次諧波剩余情況的齒槽轉矩Fig.7 Cogging torque for the even harmonic residual case

1.3.2 偶次諧波剩余

6極9槽電機模型A按照圖6所示的方法進行偏移，最佳偏移角是10°。電機A可認為包含2組磁極，如圖6所示的磁極1-3-5與2-4-6，磁極2-4-6相對于磁極1-3-5發(fā)生偏移，齒槽轉矩分別如下式所示：

(9)

(10)

合成齒槽轉矩如下式：

(11)

需要注意的是：這種方法減小了齒槽轉矩中的奇數次諧波，而偶數次諧波剩余下來。而且要在極弧系數允許條件下，移動轉子上磁極的位置。因為磁極偏移要有足夠的空間裕量，所以極弧系數設置為0.7。圖7是齒形狀改變后，即Tp=0時，按圖6所示的方法進行磁極偏移，偏移角不同時得到的齒槽轉矩結果，可以看出偏移角是10°時齒槽轉矩特別小，幅值為0.006 Nm。值得注意的是，由圖7 (a) 和 (c)可以看出，與齒形狀未改變相比，改變齒的形狀后，得到的齒槽轉矩波形變得更光滑，幅值變小。

1.3.3 奇次諧波剩余

6極9槽的電機還可以看成包含3組磁極，如圖8所示的磁極1-4，2-5與3-6，磁極2-5與3-6相對于磁極1-4發(fā)生偏移，齒槽轉矩分別為

(12)

(13)

(14)

合成齒槽轉矩為

(15)

式中：Tcog14、Tcog25和Tcog36分別是磁極1-4、2-5和3-6產生的齒槽轉矩。

最佳偏移角可由式(16)得為6.66°，一般情況下，由三組磁極合成的齒槽轉矩中的某些奇數次諧波會存在，特別是三次諧波。

(16)

圖9表示的是極弧系數為0.79的電機模型A使用磁極偏移方法結合改變齒形狀的方法的得到的齒槽轉矩，圖9(b)是齒槽轉矩諧波頻譜圖，從圖中我們可以看到，幾乎沒有齒槽轉矩諧波分量。

圖8 電機A的磁極偏移方法(奇次諧波剩余)Fig.8 The way of displacing magnet on rotor of prototype motor A(odd harmonic residual)

圖9 奇次諧波剩余情況下的齒槽轉矩Fig.9 Cogging torque for odd harmonic residual case

1.4 方法綜合

圖10表示的是采用多維齒槽轉矩優(yōu)化技術的結果。

圖10 多維齒槽轉矩優(yōu)化技術的結果Fig.10 The final results of the multi-dimensional cogging torque optimization technique

采用改變齒的形狀、最優(yōu)極弧系數和磁極偏移相結合時齒槽轉矩峰值的變化，比較和齒的形狀改變前后齒槽轉矩峰值隨磁極偏移角度和極弧系數的變化。可以看出，改變齒的形狀，齒槽轉矩的峰值明顯下降，然后通過選擇極弧系數和磁極偏移角度，齒槽轉矩能夠減小到原來的98%，此綜合方法對減小永磁電機的齒槽轉矩效果明顯。

2 樣機試驗

為了驗證理論分析的正確性，對現(xiàn)有樣機采用偶次諧波剩余情況的磁極偏移方法來減小齒槽轉矩的有效性進行了試驗驗證。圖11(a)、(b)和(c)是樣機部分，此樣機的極弧系數是0.65，磁極偏移角度是10°。圖11(d)和(e)分別比較了試驗實測和有限元仿真得到的齒槽轉矩波形和諧波含量，測量結果和仿真結果基本吻合，驗證了理論的正確性。

圖11 αp=0.65時，齒槽轉矩的比較Fig.11 Comparison of cogging torque with αp=0.65

3 結 論

本文分別研究了齒的形狀、極弧系數和磁極偏移對永磁電機齒槽轉矩的影響。結合有限元軟件，分別采用改變齒的形狀、優(yōu)化極弧系數、調整磁極偏移角來減小永磁電機的齒槽轉矩，針對這三種方法對齒槽轉矩削弱效果不明顯的問題，本文提出將三者結合的方法，從而使齒槽轉矩得到極大優(yōu)化，仿真結果驗證了該方法對削弱齒槽轉矩的有效性。磁極偏移方法的樣機試驗結果和有限元仿真結果相吻合，對理論分析進行了有效驗證。

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Application Study on Optimization Method of Multi-dimensional Cogging Torque in Permanent Magnet Machines

DONG Shuhui, WANG Hui, WANG Aimeng

(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

Cogging torque of permanent magnet machine is reduced by applying the methods of changing the shape of stator tooth, adjusting the pole-arc coefficient and magnet shifting. And these three methods can be combined to further improve the cogging torque. Finite element model of permanent magnet machine is established to make theoretical analysis and finite element verification of the proposed inhibition method of cogging torque. The method of using magnet shifting to reduce cogging torque is verified by experiment. The results indicates that cogging torque are efficiently decreased by changing the shape of stator tooth, optimizing pole-arc coefficient and magnet shifting; what’s more, cogging torque of permanent magnet machine can be dramatically reduced by combing these three methods. Finite element simulation result of magnet shifting is consistent with the experiment result, which verified the validity of this method to reduce the cogging torque.

permanent magnet machine; cogging torque; tooth shape; pole-arc coefficient; magnet shifting; finite element

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.02.09

2016-05-13.

教育部中央高校基本科研業(yè)務費專項資金項目(2014MS95).

TM315

A

1007-2691(2017)02-0060-08

董淑惠(1978-)，女，講師，研究方向為風力發(fā)電機控制技術；王慧(1990-)，男，碩士研究生，研究方向為永磁同步電機設計及優(yōu)化；王艾萌(1963-)，女，教授，碩士生導師，研究方向為永磁同步電機設計與控制。