黎亮　章定國　郭永彬

摘要：基于剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)和熱力學(xué)建模理論，研究變溫度場環(huán)境下的旋轉(zhuǎn)柔性功能梯度梁系統(tǒng)的動力學(xué)問題。功能梯度梁由陶瓷和金屬兩種材料組成，假設(shè)梁的典型物性參數(shù)為梁厚度方向坐標(biāo)的冪函數(shù)。設(shè)計(jì)兩種材料梯度分布規(guī)律，考慮功能梯度梁上任意位置附著集中質(zhì)量，在梁縱向位移中計(jì)及由于橫向變形而引起的縱向縮短項(xiàng)，即非線性耦合變形量。考慮溫度梯度變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，求解得到功能梯度梁沿厚度方向分布的溫度場，在功能梯度梁本構(gòu)關(guān)系式中計(jì)及熱應(yīng)變。采用假設(shè)模態(tài)法描述變形，運(yùn)用第二類Lagrange方程推導(dǎo)得到系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程。仿真結(jié)果表明，集中質(zhì)量位置和材料梯度分布規(guī)律的選取都將對系統(tǒng)動力學(xué)特性產(chǎn)生重大影響，第二種梯度分布規(guī)律下的功能梯度梁抗熱載荷沖擊性能優(yōu)于第一種梯度分布規(guī)律下的功能梯度梁。

關(guān)鍵詞：多體動力學(xué)；功能梯度材料梁；剛?cè)狁詈?；溫度?/p>

中圖分類號：0313.7；0322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1004-4523（2017）01-0009-11

DOI：10.16385/i.cnki.issn.1004-4523.2017.01.002

引言

在航空航天領(lǐng)域中，結(jié)構(gòu)的運(yùn)動部件往往在高溫、高載的嚴(yán)酷工況下經(jīng)歷大范圍運(yùn)動，這使得航天器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成為一個復(fù)雜、多學(xué)科交叉的問題。為滿足各種復(fù)雜工況，既保證結(jié)構(gòu)耐高溫高熱又不影響結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度特性，需要設(shè)計(jì)出新型功能復(fù)合材料并建立相應(yīng)復(fù)合結(jié)構(gòu)的多物理場耦合動力學(xué)模型。

中心剛體一柔性梁系統(tǒng)是一類具有代表性的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)簡化模型，有關(guān)該模型的動力學(xué)建模方法的研究以及剛?cè)狁詈蠁栴}的研究工作已經(jīng)日臻完善。近年來，學(xué)者們已經(jīng)開始關(guān)注考慮熱效應(yīng)的熱耦合動力學(xué)問題，并將上述研究工作推廣至溫度場下的柔性多體系統(tǒng)。劉錦陽和洪嘉振采用假設(shè)模態(tài)法針對溫度場下做大范圍運(yùn)動的柔性梁剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)建立了一次近似耦合動力學(xué)模型，在本構(gòu)關(guān)系式中計(jì)及熱應(yīng)變，研究了低速轉(zhuǎn)動工況下柔性梁系統(tǒng)動力學(xué)的幾何非線性效應(yīng)。劉錦陽等建立了帶中心剛體柔性曲梁的剛?cè)狁詈夏Ｐ?，該模型結(jié)合了混合坐標(biāo)法和絕對坐標(biāo)法的特點(diǎn)，基于小變形假設(shè)，在應(yīng)變能中計(jì)及熱應(yīng)變，研究了溫度變化引起的曲梁的熱膨脹對系統(tǒng)動力學(xué)性態(tài)的影響。劉錦陽和崔麟采用虛功原理建立了適用于求解大變形問題的熱載荷作用的柔性梁的熱傳導(dǎo)方程和旋轉(zhuǎn)剛體一梁系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)方程，研究了熱流引起的溫度梯度對彈性變形和剛體轉(zhuǎn)動的影響及大變形情形下的幾何非線性效應(yīng)。魏麟歡等利用一次近似耦合模型理論，采用廣義Ham-ilton原理推導(dǎo)得到了中心剛體一楔形梁一質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究了考慮熱沖擊效應(yīng)的系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)規(guī)律。上述研究工作的研究對象都是局限于傳統(tǒng)均質(zhì)材料柔性梁剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，尚未推廣到應(yīng)用日益廣泛的先進(jìn)功能型復(fù)合材料梁剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)。文獻(xiàn)[18-20]關(guān)注并研究了含功能梯度材料（Func-tionally Graded Materials，F(xiàn)GM）的旋轉(zhuǎn)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動力學(xué)特性，但相關(guān)的研究側(cè)重于系統(tǒng)動力學(xué)建模方法推廣，忽略了對FGM結(jié)構(gòu)在實(shí)際溫度梯度環(huán)境下工作的動力學(xué)特性的分析。Oh等率先開展了溫度場下旋轉(zhuǎn)功能梯度材料渦輪機(jī)葉片的振動特性研究，但其研究工作忽略了對系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)特性的分析。目前，考慮溫度場效應(yīng)的功能梯度材料復(fù)合結(jié)構(gòu)的研究并不完善，尚未建立基于熱力學(xué)和剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)理論的功能梯度材料結(jié)構(gòu)的熱剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型。

本文以做大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的中心剛體-FGM梁一集中質(zhì)量系統(tǒng)為研究對象，基于高次剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)理論和熱力學(xué)理論進(jìn)行動力學(xué)建模，推導(dǎo)獲得變溫度場環(huán)境下的旋轉(zhuǎn)柔性FGM梁系統(tǒng)的動力學(xué)方程。所考慮的變溫度場隨空間變化而不隨時間變化。假設(shè)FGM梁的各項(xiàng)物理特性沿著梁厚度方向按兩種不同冪律規(guī)律分布，通過泰勒級數(shù)展開法求解得到相應(yīng)的梯度變溫度場。通過數(shù)值仿真算例研究了不同溫度場環(huán)境下兩種FGM梁做大范圍旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的動力學(xué)特性。

圖7和8分別給出了梯度分布2（N=1），三種溫度場環(huán)境下FGM梁末端軸向變形圖和軸向速度響應(yīng)圖。比較圖3和7可知，同等溫度載荷作用下，梯度分布2的FGM梁末端的軸向變形幅值小于梯度分布1的，其軸向變形的振蕩現(xiàn)象較梯度分布1的FGM梁的更為平穩(wěn)。比較圖4和8發(fā)現(xiàn)，兩種FGM梁末端的軸向速度響應(yīng)相差不大。圖9和10分別為梯度分布2（N=1），三種溫度場環(huán)境下FGM梁末端橫向變形圖和橫向速度響應(yīng)圖。從圖9可以看出，無論是受恒溫度載荷還是梯度變溫度載荷作用，梯度分布2的FGM梁末端橫向變形均與未受熱載荷時的橫向變形曲線基本重合。圖10中，受熱載荷作用的FGM梁的橫向速度響應(yīng)除了在大范圍運(yùn)動角速度展開過程中有較為明顯的振蕩外，在穩(wěn)態(tài)勻速轉(zhuǎn)動過程中已經(jīng)無明顯振蕩，且與不考慮熱載荷作用的無振蕩速度曲線基本重合。比較圖5和9以及圖6和10可以發(fā)現(xiàn)，同等溫度載荷作用下，梯度分布2的FGM梁末端的橫向變形幅值和橫向速度響應(yīng)幅值均小于梯度分布1的FGM梁的橫向變形幅值和橫向速度響應(yīng)幅值，后者速度響應(yīng)的振蕩幅度明顯高于前者。由此可見，同等幾何參數(shù)下的兩種FGM梁，在保持相同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)及質(zhì)量的前提下，梯度分布2的FGM梁的抗熱沖擊載荷性能大大優(yōu)于梯度分布1的FGM梁。

圖11和12分別給出了不考慮非線性耦合變形量與考慮非線性耦合變形量情形下FGM梁末端軸向變形和橫向變形響應(yīng)情況。顯然，隨著。的增大，無耦合模型計(jì)算結(jié)果趨于發(fā)散，而耦合模型計(jì)算結(jié)果仍保持收斂，說明本文模型具有更廣泛適用性，其計(jì)算結(jié)果精度更高。

圖13和14分別給出了溫度場下兩種FGM梁（N=0.5）末端軸向及橫向變形響應(yīng)隨著集中質(zhì)量位置變化的影響情況。從圖中可以看到，F(xiàn)GM梁的變形響應(yīng)幅值隨著集中質(zhì)量位置趨向梁末端而逐漸增大。溫度場對梯度分布1的FGM梁的動力學(xué)響應(yīng)的影響明顯強(qiáng)于對梯度分布2的FGM梁的影響。

3.2系統(tǒng)大范圍運(yùn)動未知

研究外部驅(qū)動力對中心剛體FGM梁一集中質(zhì)量系統(tǒng)的動力學(xué)特性的影響，此時系統(tǒng)的大范圍運(yùn)動規(guī)律是未知的。設(shè)作用在中心剛體上的驅(qū)動力矩為Fr=5exp（-120t），系統(tǒng)物理參數(shù)與上一小節(jié)相同，仍然考慮上述三種溫度場環(huán)境。

圖15（a）和（b）分別給出了受溫度場影響，梯度分布1情況計(jì)算得到的中心剛體的角位移與角速度響應(yīng)圖。從圖中可以看出，熱載荷也會導(dǎo)致中心剛體的大范圍角位移產(chǎn)生高頻振蕩，梯度變溫度場（T1=10-OK）下剛體位移、速度響應(yīng)要比恒定溫度場（T1=10K）的偏小且更加穩(wěn)定。圖16（a）～（d）分別給出了梯度分布1情況下FGM梁末端的變形與速度響應(yīng)圖。顯然，梁末端的軸向和橫向變形均能觀察到熱致振蕩現(xiàn)象。圖17（a）和（b）分別給出了受溫度場影響，梯度分布2情況計(jì)算得到的中心剛體的角位移與角速度響應(yīng)圖。圖18（a）～（d）分別給出了梯度分布2情況下FGM梁末端的變形與速度響應(yīng)圖。分別對比兩種梯度分布情況下系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)圖，第2種分布情況下相應(yīng)的剛體部件和柔性梁附件的位移（變形）響應(yīng)幅值均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于第1種分布情況，而相應(yīng)的速度響應(yīng)卻相差不大。

4.結(jié)論

本文建立了中心剛體-FGM梁一集中質(zhì)量系統(tǒng)在變溫度場作用下的動力學(xué)方程，研究了溫度載荷對大范圍運(yùn)動已知和未知情形下的系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，得到如下結(jié)論：

（1）大范圍運(yùn)動已知情形，當(dāng)FGM梁受熱載荷沖擊時，其末端軸向變形和速度響應(yīng)均呈現(xiàn)高頻振蕩。溫度場對FGM梁橫向變形的影響較對軸向變形的影響偏弱。FGM梁的變形響應(yīng)幅值隨著集中質(zhì)量位置趨向梁末端而逐漸增大。由于非線性耦合變形量的計(jì)人，系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)在大范圍轉(zhuǎn)速為高速情況下的數(shù)值計(jì)算結(jié)果較無耦合模型的結(jié)果更為精確。

（2）大范圍運(yùn)動未知情形，梁末端的軸向和橫向變形均能明顯觀察到熱致振蕩現(xiàn)象，熱載荷也會導(dǎo)致中心剛體的大范圍角位移產(chǎn)生高頻振蕩。

（3）同等幾何參數(shù)下的兩種FGM梁，在保持相同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)及質(zhì)量的前提下，梯度分布2的FGM梁的抗熱沖擊載荷性能大大優(yōu)于梯度分布1的FGM梁。

（4）梯度變溫度場對系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)的影響要弱于恒定溫度場，熱載荷導(dǎo)致的振蕩現(xiàn)象可通過設(shè)計(jì)柔性FGM梁的材料梯度分布規(guī)律得到一定程度抑制。