杜永峰， 張 浩， 趙麗潔， 李萬(wàn)潤(rùn)

(1. 蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所， 蘭州 730050；2. 蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心， 蘭州 730050)

基于STUKF的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)識(shí)別

杜永峰1,2， 張 浩1， 趙麗潔1， 李萬(wàn)潤(rùn)1

(1. 蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所， 蘭州 730050；2. 蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心， 蘭州 730050)

針對(duì)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)識(shí)別問(wèn)題，傳統(tǒng)無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)難以有效跟蹤結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化。將強(qiáng)跟蹤濾波原理引入無(wú)跡卡爾曼濾波，提出一種強(qiáng)跟蹤無(wú)跡卡爾曼濾波(Strong Tracking Unscented Kalman Filter，STUKF)算法，以識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化。在UKF量測(cè)更新后，依據(jù)輸出殘差計(jì)算漸消因子矩陣；引入兩個(gè)漸消因子矩陣實(shí)時(shí)調(diào)整狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣，使殘差序列強(qiáng)行正交，快速修正結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值，使STUKF具有對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的跟蹤能力；此外，為節(jié)省計(jì)算時(shí)間，調(diào)整狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣后不再進(jìn)行sigma點(diǎn)采樣，保證了算法的高效性。數(shù)值分析結(jié)果表明，該算法能有效識(shí)別非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)及其變化，并具有較強(qiáng)的抗噪性。

強(qiáng)跟蹤濾波；無(wú)跡卡爾曼濾波；非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；時(shí)變；參數(shù)識(shí)別

土木工程結(jié)構(gòu)在服役期間受到地震等各種作用，其剛度、阻尼等參數(shù)常常表現(xiàn)出時(shí)變特性，因而考慮參數(shù)時(shí)變特性的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別獲得越來(lái)越多的重視，并發(fā)展出一些非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)識(shí)別方法[1-7]，如YANG等提出的自適應(yīng)追蹤技術(shù)應(yīng)用于最小二乘法(Least Square Estimation, LSE)、擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)所形成的自適應(yīng)LSE和自適應(yīng)EKF。然而自適應(yīng)LSE用于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別時(shí)需要獲得結(jié)構(gòu)速度和位移的量測(cè)數(shù)據(jù)，但實(shí)際工程中，通常只測(cè)量結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)；自適應(yīng)EKF在處理非線性函數(shù)時(shí)需要進(jìn)行雅可比(Jacobian)矩陣的計(jì)算，求導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜且數(shù)值穩(wěn)定性差，并且對(duì)非線性函數(shù)的一階近似精度偏低，特別是對(duì)于高度非線性系統(tǒng)，容易出現(xiàn)濾波發(fā)散。

JULIER等[8]提出的無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)以Unscented變換來(lái)近似計(jì)算非線性系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)均值和協(xié)方差，從而避免對(duì)于非線性函數(shù)本身的近似，能以至少二階精度逼近任何非線性系統(tǒng)，較EKF更適合于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，并且不需要計(jì)算Jacobian矩陣。鑒于UKF較好的濾波性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)始將其應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別[9-10]。雖然UKF應(yīng)用于時(shí)不變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別能得到令人滿意的結(jié)果，但當(dāng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，UKF卻無(wú)法跟蹤參數(shù)的變化。BISHT等[11]提出一種自適應(yīng)UKF方法,僅識(shí)別了線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度的變化。謝強(qiáng)等[12]用奇異值分解代替Cholesky分解，用于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)的變化，但效果欠佳。

強(qiáng)跟蹤濾波器(Strong Tracking Filter，STF)對(duì)存在模型不確定性的系統(tǒng)具有較好的跟蹤性能[13]。本文針對(duì)非線性系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)識(shí)別問(wèn)題，在傳統(tǒng)無(wú)跡卡爾曼濾波中引入強(qiáng)跟蹤濾波原理，提出一種強(qiáng)跟蹤無(wú)跡卡爾曼濾波(Strong Tracking Unscented Kalman Filter, STUKF)方法。該方法中，在狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣中引入一種適合于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的漸消因子矩陣，采用簡(jiǎn)便的次優(yōu)求解方法得到漸消因子的近似解，自適應(yīng)調(diào)整狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣，改善濾波器的跟蹤性能，實(shí)現(xiàn)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)與時(shí)變參數(shù)識(shí)別。與文獻(xiàn)[14]所給方法需要三次采樣相比，本方法只需進(jìn)行一次采樣，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。數(shù)值模擬表明，該方法能較好地識(shí)別非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)和未知參數(shù)，對(duì)于剛度、阻尼的突變有較強(qiáng)的跟蹤能力，并且對(duì)噪聲有較強(qiáng)的魯棒性。

1 基于非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的STUKF

1.1 UKF算法

UKF的核心思想是：選取一定數(shù)量的采樣點(diǎn)(稱為sigma點(diǎn))，利用sigma點(diǎn)經(jīng)非線性函數(shù)傳遞后的結(jié)果來(lái)計(jì)算濾波估計(jì)值及協(xié)方差矩陣，從而避免對(duì)非線性函數(shù)的線性化處理。

考慮如下非線性離散系統(tǒng)

(1)

式中：f(·)為非線性狀態(tài)函數(shù)；h(·)為非線性量測(cè)函數(shù)；xk為n維系統(tǒng)狀態(tài)向量；zk為m維量測(cè)向量；uk-1為n維輸入向量；wk-1和vk均為互不相關(guān)的高斯白噪聲。且有

(2)

式中：qk和Qk分別為系統(tǒng)過(guò)程噪聲wk的均值向量和非負(fù)定方差矩陣；rk和Rk分別為系統(tǒng)量測(cè)噪聲vk的均值向量和正定方差矩陣；δkj為kronecker-δ函數(shù)。狀態(tài)初始值x0與wk、vk均相互獨(dú)立，且服從高斯分布?；诜蔷€性系統(tǒng)式(1)的UKF狀態(tài)估計(jì)過(guò)程如下

(1) 初始化系統(tǒng)狀態(tài)統(tǒng)計(jì)特性

(3)

(2) 選擇采樣策略，并計(jì)算sigma點(diǎn)ξi,k-1(i=0,1,…,2n)

(4)

(3) 時(shí)間更新

γi,k|k-1=f(ξi,k-1,uk-1)+qk-1

(5)

(6)

(7)

(4) 量測(cè)更新

χi,k|k-1=h(γi,k|k-1)+rk

(8)

(9)

(10)

(11)

(5) 濾波更新

(12)

(13)

(14)

(15)

式中，λ=α2(n+κ)-n，α為比例縮放因子，對(duì)于強(qiáng)非線性系統(tǒng)，通常α取一個(gè)比較小的正值，κ為比例參數(shù)，一般取κ=3-n，n為狀態(tài)變量維數(shù)。

1.2 基于強(qiáng)跟蹤原理的STUKF算法

1.2.1 強(qiáng)跟蹤濾波思想

強(qiáng)跟蹤濾波思想是在狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差陣Pk|k-1中引入漸消因子，實(shí)時(shí)調(diào)整增益矩陣Kk，使

(16)

(17)

1.2.2 STUKF算法

根據(jù)強(qiáng)跟蹤濾波原理，在UKF的狀態(tài)預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差陣Pk|k-1中引入兩個(gè)漸消因子矩陣Λk，以保證協(xié)方差矩陣的對(duì)稱性

(18)

依據(jù)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)向量的特點(diǎn)，構(gòu)造漸消因子矩陣如下：Λk=diag(μ1,k,μ2,k)，其中μ1,k=[1,1,…,1]為r維向量，對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量xk中的速度與位移項(xiàng)；μ2,k=[μk,μk,…,μk]為s維向量，對(duì)應(yīng)狀態(tài)向量xk中的s個(gè)未知系統(tǒng)參數(shù)。采用次優(yōu)解法求解漸消因子

(19)

(20)

(21)

(22)

Vk為實(shí)際輸出殘差序列的協(xié)方差陣，可由式(23)估算

(23)

式中：0<ρ≤1為遺忘因子，通常取ρ=0.95；εk為輸出殘差序列。

根據(jù)以上描述，STUKF的濾波過(guò)程為：①根據(jù)式(3)進(jìn)行系統(tǒng)初始化；②選擇采樣策略，依據(jù)式(4)計(jì)算sigma點(diǎn)ξi,k-1(i=0,1,…,2n)；

③時(shí)間更新

γi,k|k-1=f(ξi,k-1,uk-1)+qk-1

(24)

(25)

(26)

④量測(cè)更新

χi,k|k-1=h(γi,k|k-1)+rk

(27)

(28)

(29)

(30)

⑤求漸消因子矩陣，調(diào)整Pk|k-1

根據(jù)式(19)～式(23)求出漸消因子矩陣，并將其引入狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣

(31)

⑥濾波更新

(32)

(33)

(34)

對(duì)比UKF濾波過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)STUKF在量測(cè)更新后利用輸出殘差求解漸消因子矩陣并調(diào)整狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣Pk|k-1。此外，本方法中的STUKF在調(diào)整Pk|k-1后不需再次進(jìn)行sigma點(diǎn)采樣，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更適合實(shí)時(shí)應(yīng)用。

2 數(shù)值仿真分析

2.1 單自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

考慮一個(gè)單自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)受到地震激勵(lì)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成

(35)

R(x,z,t)=αkx+(1-α)kz

(36)

(37)

式中：k為結(jié)構(gòu)剛度；α，β，γ，n為非線性參數(shù)。本算例中，所用參數(shù)的數(shù)值如下：m=400.5 kg，c=0.205 kN·s/m，k=20.5 kN/m，α=0.1，β=2，γ=1，n=1；地震激勵(lì)選用El Centro地震波，持續(xù)時(shí)間為30 s。

(38)

為應(yīng)用STUKF進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)與參數(shù)識(shí)別，將式(38)通過(guò)四階龍格-庫(kù)塔法離散化[15]。將系統(tǒng)的加速度響應(yīng)和地震激勵(lì)作為量測(cè)數(shù)據(jù)，量測(cè)方程為

(39)

為驗(yàn)證本文給出的STUKF在非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)與時(shí)變參數(shù)識(shí)別中的有效性，假定在t=12 s時(shí)結(jié)構(gòu)剛度突然減小為原來(lái)的70%，阻尼增大為原來(lái)的130%。對(duì)模擬的結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)和地震加速度添加1% RMS，2% RMS，4% RMS三種強(qiáng)度的高斯白噪聲，以檢驗(yàn)該識(shí)別算法對(duì)噪聲的魯棒性。結(jié)構(gòu)參數(shù)初始估計(jì)值及噪聲統(tǒng)計(jì)特性設(shè)置如下

當(dāng)噪聲強(qiáng)度為4%時(shí)，結(jié)構(gòu)位移、速度、滯變位移識(shí)別結(jié)果如圖1所示，滯回曲線識(shí)別結(jié)果見(jiàn)圖2。圖3對(duì)比了1%，2%和4%三種噪聲強(qiáng)度下STUKF對(duì)于該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)未知參數(shù)的識(shí)別結(jié)果。圖1、圖2表明：在結(jié)構(gòu)剛度、阻尼突變情況下，STUKF對(duì)結(jié)構(gòu)位移、速度、滯變位移、滯回曲線的識(shí)別值與理論值吻合較好。圖3表明：①結(jié)構(gòu)剛度的突變得到有效的跟蹤，突變后識(shí)別值振蕩較小，識(shí)別精度較高。且隨著噪聲增強(qiáng)，剛度識(shí)別值的精度及收斂速度下降很小，表現(xiàn)出對(duì)噪聲較強(qiáng)的魯棒性。②結(jié)構(gòu)阻尼的突變得到有效跟蹤，但效果較剛度稍差。識(shí)別值在阻尼突變后出現(xiàn)振蕩，但很快又收斂到理論值。隨著噪聲增強(qiáng)，阻尼的識(shí)別精度及收斂速度略有下降。阻尼的識(shí)別效果略差于剛度，主要原因是同時(shí)識(shí)別具有不同數(shù)量級(jí)的參數(shù)，數(shù)量級(jí)較大的參數(shù)在協(xié)方差矩陣中會(huì)起主要作用，因而會(huì)獲得更好的識(shí)別效果。③STUKF有效識(shí)別了不發(fā)生突變的非線性模型參數(shù)α，β和γ。雖然剛度和阻尼的突變導(dǎo)致其發(fā)生短時(shí)間振蕩，但很快會(huì)收斂到理論值。隨著噪聲的增強(qiáng)，收斂速度和識(shí)別精度略有下降。④初始階段的收斂過(guò)程是該算法遞推本質(zhì)的體現(xiàn)，所有參數(shù)在5 s內(nèi)基本收斂到理論值，識(shí)別速度較快?？傮w而言，STUKF能有效識(shí)別單自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)，并能對(duì)參數(shù)的變化進(jìn)行有效跟蹤。噪聲的增強(qiáng)使參數(shù)識(shí)別效果略有下降，但4% RMS噪聲強(qiáng)度下的識(shí)別結(jié)果精度仍較高，表現(xiàn)出對(duì)噪聲較強(qiáng)的魯棒性。

圖1 單自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)位移、速度及滯變位移識(shí)別結(jié)果，噪聲強(qiáng)度4% RMSFig.1 Displacement, velocity and hysteric displacement estimation for SDOF nonlinear structural system, noise level 4% RMS

圖2 單自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)滯回曲線識(shí)別結(jié)果，噪聲強(qiáng)度4% RMSFig.2 Hysteric loop estimation for SDOF nonlinear structural system, noise level 4% RMS

圖3 不同噪聲強(qiáng)度下單自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)剛度和阻尼突變時(shí)的參數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.3 Parameters identification for SDOF nonlinear structural system with abruptly changed stiffness and damping, noise level 1% RMS,2% RMS and 4% RMS

2.2 三自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

考慮一個(gè)三自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，進(jìn)一步驗(yàn)證本文給出的STUKF在多自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)參數(shù)識(shí)別中的有效性。如圖4所示，該結(jié)構(gòu)最下層采用Bouc-Wen遲滯模型，其余各層采用線性層剪切模型表示。受地震激勵(lì)，其運(yùn)動(dòng)方程可寫為

(40)

圖4 三自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)示意圖Fig.4 Sketch map of three-DOF nonlinear structural system

本算例中m1=450.5 kg，m2=400.5 kg，m3=350.5 kg；k1=20.5 kN/m，k2=k3=23.5 kN/m，c1=0.205 kN·s/m，c2=c3=0.255 kN·s/m；α=0.1，β=2，γ=1，n=1；地震激勵(lì)選用El Centro地震波，持續(xù)時(shí)間為30 s。

(41)

將該結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各層的加速度響應(yīng)及地震激勵(lì)作為量測(cè)數(shù)據(jù)，量測(cè)方程可以寫成

(42)

在模擬的量測(cè)加速度響應(yīng)和地震加速度中加入1% RMS的高斯白噪聲。為驗(yàn)證STUKF在多自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的有效性，假定t=12 s時(shí)，結(jié)構(gòu)一層剛度從k1=20.5 kN/m突然減小到k1=14.35 kN/m，二層剛度從k2=23.5 kN/m突然減小到k2=16.45 kN/m，三層剛度從k3=23.5 kN/m突然減小到k3=16.45 kN/m。結(jié)構(gòu)各層位移、速度及滯變位移如圖5所示，滯回曲線如圖6所示。結(jié)構(gòu)參數(shù)的識(shí)別結(jié)果如圖7所示。

圖5 三自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各層位移、速度及一層滯變位移識(shí)別結(jié)果Fig. 5 Displacement, velocity and hysteric displacement estimation for three-DOF nonlinear structural system

圖6 三自由度非線性結(jié)構(gòu)滯回曲線識(shí)別結(jié)果Fig.6 Hysteric loop estimation for three-DOF nonlinear structural system

圖7 三自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)各層剛度均突變時(shí)的參數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.7 Parameters identification for three-DOF nonlinear structural system with abruptly changed stiffness of all layers

由圖5、圖6、圖7可知：本文提出的STUKF：①較好地識(shí)別了各層的位移、速度及一層滯回曲線；②有效識(shí)別了各層剛度的突變，并且對(duì)比剛度突變后線性層(二層、三層)與非線性層(一層)的識(shí)別結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，非線性層剛度在突變時(shí)發(fā)生了振蕩，而線性層剛度未發(fā)生振蕩，識(shí)別結(jié)果較非線性層更為理想；③結(jié)構(gòu)阻尼及非線性模型參數(shù)α，β和γ，受剛度突變的影響發(fā)生了短時(shí)振蕩，但其仍會(huì)迅速收斂到理論值；④所有參數(shù)在5 s內(nèi)基本收斂到理論值，識(shí)別速度較快?？傮w而言，對(duì)于三自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，STUKF能以較高的精度有效地識(shí)別結(jié)構(gòu)各參數(shù)及其變化，并估計(jì)結(jié)構(gòu)各層位移、速度及滯回曲線。

3 結(jié) 論

針對(duì)非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)識(shí)別問(wèn)題，本文將強(qiáng)跟蹤濾波原理引入U(xiǎn)KF，提出了一種STUKF算法，以解決UKF無(wú)法跟蹤參數(shù)變化的問(wèn)題。數(shù)值模擬表明，STUKF能較好地識(shí)別非線性結(jié)構(gòu)位移、速度和滯回曲線，并能有效跟蹤結(jié)構(gòu)參數(shù)及其變化。該算法在具有較大量測(cè)噪聲時(shí)仍具有較高的識(shí)別精度，但噪聲對(duì)識(shí)別值的收斂速度略有影響。對(duì)于多自由度非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，該算法仍然具有較好的識(shí)別能力。本文通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了STUKF在非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)時(shí)變參數(shù)識(shí)別中的有效性，其在工程中的應(yīng)用還有待進(jìn)一步試驗(yàn)驗(yàn)證。

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Time-varying parametric identification of nonlinear structural systems based on STUKF

DU Yongfeng1,2， ZHANG Hao1， ZHAO Lijie1， LI Wanrun1

(1. Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. Western Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Traditional unscented Kalman filter (UKF) cannot track the changed parameters of nonlinear structural systems. Based on the strong tracking filter principle，a strong tracking unscented Kalman filter (STUKF) method was put forward to identify the time-varying parameters of nonlinear structural systems. Firstly, the fading factor matrix was calculated with output residuals after the measurement update of UKF. Secondly, two fading factor matrices were introduced to adjust the predicted state covariance matrix in real time, the residual sequence was made to be orthogonal and the estimated values of structure parameters were updated rapidly, thus STUKF was made to be capable of tracking the changes of structure parameters. Furthermore, the computational efficiency was improved by taking no sigma points sampling after adjusting the predicted state covariance matrix. Numerical simulation results demonstrated that the proposed method can effecfively identify parameters and changes of nonlinear structural systems, and it has a stronger anti-noise capability.

strong tracking filter；unscented Kalman filter；nonlinear structural systems；time-varying；parameter identification

國(guó)家自然科學(xué)基金(51578274;51568041)；教育部長(zhǎng)江學(xué)者創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目(IRT13068)；甘肅省青年科技基金計(jì)劃(2014GS03277)

2015-10-09 修改稿收到日期： 2016-03-07

杜永峰 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1962年生

N945.14；TB122

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.026