李雙蓓， 吳 海， 莫春美

( 1. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004； 2. 廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

基于樣條無(wú)網(wǎng)格法的厚/薄壓電功能梯度板動(dòng)力分析

李雙蓓1,2， 吳 海1， 莫春美1

( 1. 廣西大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004； 2. 廣西大學(xué) 廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

在將板的撓度和剪切應(yīng)變作為場(chǎng)變量的基礎(chǔ)上增加考慮面內(nèi)位移，采用樣條無(wú)網(wǎng)格法建立了熱環(huán)境下厚/薄壓電功能梯度板動(dòng)力分析新的計(jì)算格式?？紤]功能梯度材料的物性參數(shù)隨溫度改變以及溫度變化引起的面內(nèi)力，討論了壓電FGM板在不同邊界約束下材料梯度指數(shù)變化時(shí)，面內(nèi)位移及面內(nèi)力對(duì)熱環(huán)境下壓電功能梯度板的動(dòng)力特性和動(dòng)力響應(yīng)的影響。分析結(jié)果表明，新建立的模型對(duì)厚/薄壓電功能梯度板動(dòng)力分析具有通用性和有效性，沒有剪切閉鎖現(xiàn)象，且計(jì)算效率和計(jì)算精度較高。

樣條無(wú)網(wǎng)格法；厚/薄板；壓電功能梯度板；面內(nèi)位移；動(dòng)力特性；動(dòng)力響應(yīng)

壓電材料是一種具有正逆壓電效應(yīng)的新型智能材料，能夠?qū)C(jī)械能和電能進(jìn)行轉(zhuǎn)換，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的健康檢測(cè)、監(jiān)控以及結(jié)構(gòu)的形狀、振動(dòng)控制等方面。功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是一種沒有明顯分界的新型復(fù)合材料，能消除物理性能的突變，熱環(huán)境中能避免應(yīng)力集中，降低材料層間的熱應(yīng)力，已應(yīng)用于航天航空、機(jī)械工程和建筑工程等多個(gè)領(lǐng)域，具有較大的科學(xué)研究?jī)r(jià)值。

目前基于不同板理論開展壓電FGM板的研究有很多，如基于一階剪切理論，BEHJAT等[1]等研究了壓電FGM厚板的幾何非線性及自由振動(dòng)問題。高階剪切理論方面，F(xiàn)AKHARI等[2-3]研究了壓電FGM厚板在機(jī)械荷載、熱荷載及電荷載共同作用下的自由振動(dòng)、動(dòng)力響應(yīng)等問題，表明溫度對(duì)壓電FGM板的動(dòng)力學(xué)行為影響顯著。黃君等[4]討論了熱環(huán)境中強(qiáng)電場(chǎng)作用下電致非線性效應(yīng)對(duì)壓電FGM板固有頻率的影響。FARSANGI等[5]基于中厚板理論，推導(dǎo)出壓電板的自由振動(dòng)解析解。滕兆春等[6]基于二維彈性理論，建立了熱環(huán)境下 FGM 圓環(huán)薄板面內(nèi)自由振動(dòng)分析模型，討論幾何參數(shù)、材料性質(zhì)和溫度變化對(duì)板固有頻率的影響?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中，研究厚/薄板的通用計(jì)算模型還比較少，田嬌等[7]基于一階剪切變形理論，構(gòu)造了一種新型的三角形層合板單元，該單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)增加了2個(gè)剪切自由度，較好地解決了厚薄板單元的剪切閉鎖難題。李秀梅等[8]基于樣條無(wú)網(wǎng)格法，以撓度和剪應(yīng)變?yōu)閳?chǎng)變量，建立了厚/薄均質(zhì)板的通用計(jì)算格式，該模型分析薄板自由振動(dòng)時(shí)不會(huì)出現(xiàn)剪切閉鎖現(xiàn)象。壓電FGM板的分析中，各種數(shù)值計(jì)算方法得到了運(yùn)用。其中有限元法的應(yīng)用最為廣泛[9]，LOJA等[10]基于B樣條有限條法，分析了壓電FGM板的動(dòng)力特性問題。LI等[11]采用樣條無(wú)網(wǎng)格法，基于高階剪切理論建立了壓電層合板的分析模型，研究表明該方法計(jì)算精度高，未知量數(shù)目少，收斂穩(wěn)定。

在LI等研究的基礎(chǔ)上對(duì)熱環(huán)境中的FGM板進(jìn)行動(dòng)力分析，建立壓電FGM厚/薄板的樣條無(wú)網(wǎng)格通用計(jì)算模型。鑒于FGM板的平面問題與彎曲問題是耦合的，因此將板的撓度w、剪切應(yīng)變?chǔ)脁z=?w/?x-θx，γyz=?w/?y-θy及面內(nèi)位移u、v作為全域的獨(dú)立場(chǎng)變量，考慮熱環(huán)境下溫度變化引起的邊界力對(duì)FGM板的影響，并將溫度變化和壓電材料電場(chǎng)對(duì)功能梯度板的面內(nèi)作用處理為面內(nèi)力在非線性應(yīng)變上做功，研究改變板邊界約束和功能梯度材料的梯度指數(shù)時(shí)，面內(nèi)位移與板的撓度耦合即拉-彎耦合效應(yīng)以及考慮面內(nèi)力作用的幾何非線性效應(yīng)對(duì)壓電FGM板動(dòng)力特性和動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 壓電FGM板的基本方程

如圖1所示壓電FGM板，壓電片粘貼在上下表面，F(xiàn)GM板的厚度為hf，壓電片的厚度分別為hp1和hp2。

圖1 壓電FGM板結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 The structure of piezoelectric FGM plate

1.1 功能梯度材料的物性關(guān)系

(1)

Pi(T)=P0(P-1T-1+1+P1T1+P2T2+P3T3)(i=t,b)

(2)

式中：P為功能梯度材料彈性模量E、熱膨脹系數(shù)α和密度ρ；t、b分別為功能梯度材料上、下表面；hf為FGM板厚度；n為材料梯度指數(shù)；T為溫度；Pj(j=-1,0,…，3)分別為與溫度有關(guān)的各項(xiàng)物理參數(shù)系數(shù)，可通過試驗(yàn)得到。

1.2 本構(gòu)關(guān)系

壓電FGM板采用以下本構(gòu)關(guān)系

{σ}=[Q]{ε}-[e]T{E}-[Q]{α}ΔT

(3)

{D}=[e]{ε}+[ξ]{E}+{p}ΔT

(4)

ST={α}T[Q]T{ε}+{p}T{E}+βΔT

(5)

式中：{σ}、{ε}分別為壓電FGM板的應(yīng)力和應(yīng)變列陣；[Q]為熱環(huán)境中考慮溫度相關(guān)性的彈性矩陣；{D}、{E}分別為電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度列陣；[ξ]、[e]分別為壓電材料的介電常數(shù)矩陣和壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣；{α}、{p}分別為熱膨脹系數(shù)和熱電耦合常數(shù)列陣；ST、ΔT、β分別為熵、溫度改變量和材料的比熱容。

1.3 位移模式

考慮熱環(huán)境下溫度變化對(duì)FGM板面內(nèi)位移的影響，將撓度w、剪應(yīng)變?chǔ)煤兔鎯?nèi)位移u、v作為獨(dú)立未知量?；谝浑A剪切變形理論，壓電FGM板內(nèi)任一點(diǎn)的位移分量和剪應(yīng)變?yōu)?/p>

u=u0-zθx,v=v0-zθy,w=w0

(6)

式中：u0、v0、w0分別為板中性面任意一點(diǎn)的位移分量；θx、θy分別為中面法線繞y、x方向的轉(zhuǎn)角。

假設(shè)壓電層的電勢(shì)沿板厚度方向線性分布，表示如下

Φ(x,y,z)=Φ0(x,y)+(z-hf/2)Φ1(x,y)

(7)

式中，Φ0(x,y)、Φ1(x,y)為面內(nèi)的電勢(shì)函數(shù)。

2 樣條離散模型

樣條無(wú)網(wǎng)格離散模型如圖2所示，其中M、N分別為樣條離散數(shù)目。

圖2 樣條無(wú)網(wǎng)格離散示意圖Fig. 2 Discretization of FGM plate by spline meshless method

2.1 樣條無(wú)網(wǎng)格法位移插值函數(shù)

選取中性面的縱向位移u0、v0，撓度w和剪應(yīng)變?chǔ)脁z、γyz作為位移場(chǎng)中的基本未知量，用雙向三次B樣條函數(shù)乘積的線性組合表示樣條無(wú)網(wǎng)格法的位移插值函數(shù)為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：?表示Kronecker乘積；φi(x)和ψj(y)均是三次B樣條基函數(shù)，具有對(duì)稱性和緊湊性，局部非零。板的中面應(yīng)變、任一點(diǎn)應(yīng)變、曲率及剪切應(yīng)變的矩陣表達(dá)式為

(13)

(14)

其中，

(15)

(16)

(17)

(18)

壓電層電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度的樣條離散化表達(dá)式為

(19)

(20)

(21)

2.2 厚/薄壓電FGM板的動(dòng)力方程

溫度變化和壓電材料電場(chǎng)對(duì)FGM板的面內(nèi)作用，處理為面內(nèi)溫度荷載{Nθ}=[NθxNθyNθxy]T和面內(nèi)電場(chǎng)荷載{NΦ}=[NΦxNΦyNΦxy]T在板的非線性應(yīng)變上做功，則壓電FGM板的瞬時(shí)總勢(shì)能泛函為[12]

(22)

(23)

(24)

(25)

式中，[Q]含義與式(3)相同。

[m]=diag(ρ,ρ,ρ,J,J)

(26)

(27)

(28)

(29)

其中，面內(nèi)溫度荷載和電場(chǎng)荷載的計(jì)算公式分別為

(30)

(31)

將式(9)、式(13)、式(14)、式(19)和式(29)代入總勢(shì)能泛函式(22)，并利用廣義瞬時(shí)變分原理，得到樣條無(wú)網(wǎng)格法動(dòng)力方程為

{fuu}+{FΦΦ}+{fuθ}-{FΦθ}

(32)

其中，

(33)

[K]=[Kuu]-([Hθ]+[HΦ])+

[KuΦ][KΦΦ]-1[KΦu]

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

{FΦΦ}=[KuΦ][KΦΦ]-1{fqe}，{FΦθ}=[KuΦ][KΦΦ]-1{fΦθ}

(39)

式中：[M]、[C]分別為壓電FGM板的總質(zhì)量、阻尼矩陣；[K]為壓電FGM板的總剛度矩陣，包含了機(jī)械剛度[Kuu]，與面內(nèi)力相關(guān)的幾何剛度[Hθ]、[HΦ]，機(jī)-電耦合剛度[KuΦ]及自適應(yīng)剛度矩陣[KΦΦ]；荷載則包含了板的機(jī)械荷載{fuu}、熱-機(jī)耦合荷載{fuθ}、熱-電耦合荷載{FΦθ}和電荷載{FΦΦ}等。

本文采用MATLAB軟件編程計(jì)算，并利用Newmark-β法求解基于樣條無(wú)網(wǎng)格法建立的厚/薄FGM板動(dòng)力方程(32)，該動(dòng)力方程考慮了FGM板的平面問題與彎曲問題的耦合效應(yīng)，本文稱之為耦合模型。

當(dāng)在獨(dú)立的位移場(chǎng)中忽略面內(nèi)位移u、v，僅以撓度和剪應(yīng)變?yōu)閳?chǎng)變量，則退化為非耦合模型，此時(shí)拉伸剛度和耦合剛度為0，故剛度矩陣計(jì)算公式(35)退化為

(40)

密度矩陣式(26)退化為

[m]=diag(ρ,J,J)

(41)

3 數(shù)值算例與分析

3.1 驗(yàn)證模型分析

計(jì)算四邊固支壓電FGM板的固有頻率，將計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[2]進(jìn)行對(duì)比。FGM板由SUS304/Si3N4組成，上表面t為Si3N4，下表面b為SUS304，與溫度相關(guān)參數(shù)見表1，與溫度不相關(guān)參數(shù)見表2。壓電FGM方板的邊長(zhǎng)a為0.4 m，F(xiàn)GM板厚度hf為0.04 m。壓電片厚度hp1和hp2均為0.001 m，壓電材料參數(shù)見表3。固有頻率系數(shù)λ的計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表1 FGM板的溫度相關(guān)性材料參數(shù)

表2 FGM板的溫度相關(guān)性材料參數(shù)

表3 壓電材料參數(shù)

表4 四邊固支壓電FGM方板一階固有頻率系數(shù)Tab.4 Frequency factor λ1 for fully clamped piezoelectric FGM plate

文獻(xiàn)[2]為基于高階剪切變形理論的有限元幾何非線性解，本文則是將溫度荷載和電荷載的面內(nèi)作用處理為面內(nèi)力在非線性應(yīng)變上做功，計(jì)算結(jié)果對(duì)比表明本文解與有限元解非常接近。當(dāng)樣條離散分劃為4×4時(shí)，三種工況下的基于兩種算法的最大相對(duì)誤差分別為：1.93%、3.08%、1.95%；樣條離散分劃為6×6時(shí)，相應(yīng)工況下的最大相對(duì)誤差分別為：0.59%、1.70%、0.60%。都不考慮壓電材料的電勢(shì)未知量時(shí)，樣條無(wú)網(wǎng)格法6×6分劃的未知量個(gè)數(shù)為405個(gè)，文獻(xiàn)[2]有限元法10×10劃分的未知量個(gè)數(shù)則為968個(gè)，可見本文方法取較少的節(jié)點(diǎn)數(shù)就可以取得較高的精度，且收斂性好。

3.2 厚/薄板動(dòng)力分析的樣條無(wú)網(wǎng)格模型通用性討論

計(jì)算不同厚度四邊簡(jiǎn)支均質(zhì)板、四邊固支壓電FGM板的固有頻率，討論本文新建立模型對(duì)于厚/薄板動(dòng)力分析的通用性和有效性，分析面內(nèi)位移與撓度的耦合效應(yīng)以及考慮面內(nèi)力在非線性應(yīng)變上做功對(duì)動(dòng)力特性的影響。均質(zhì)方板的邊長(zhǎng)a=4 m，厚度可變。材料屬性為μ=0.3，E=3×107kN/m2，板的面密度為ρ=10 kg/m2。壓電FGM板的邊長(zhǎng)a=4 m，厚度可變。材料參數(shù)同前文驗(yàn)證算例，梯度指數(shù)取n=2，計(jì)算結(jié)果分別如表5、表6所示。

由式(34)和表6可知，當(dāng)壓電功能梯度板處于熱環(huán)境下，由于受到板的邊界約束溫度升高產(chǎn)生的面內(nèi)力將導(dǎo)致板的剛度減小，固有頻率下降；若此時(shí)給壓電層施加負(fù)值的電壓，由此產(chǎn)生的面內(nèi)力為拉力，可增大板的剛度，提高固有頻率，面內(nèi)力對(duì)厚跨比較小的薄板的低階固有頻率影響較大。表6中壓電FGM板的厚跨比為0.01時(shí)，只升高FGM板上表面的溫度30 K，若不考慮溫度面內(nèi)力的作用，計(jì)算得到的一階頻率系數(shù)偏大，相對(duì)于考慮面內(nèi)力作用的幾何非線性效應(yīng)時(shí)得到的計(jì)算值偏差達(dá)到了10.66%，而相應(yīng)的四階頻率系數(shù)的偏差則為4.07%。

3.3 面內(nèi)位移對(duì)壓電FGM板動(dòng)力響應(yīng)的影響

討論壓電FGM板在不同邊界約束下材料梯度指數(shù)變化時(shí)，平面問題與彎曲問題的耦合效應(yīng)對(duì)壓電功能梯度板動(dòng)力響應(yīng)的影響。壓電FGM板的尺寸和材料參數(shù)同前文驗(yàn)證算例，在板面施加簡(jiǎn)諧荷載q=500sin(20πt) MPa作用，并在板的上下壓電層各施加200 V電壓，板的初始位移和初始速度取為0。

表5 四邊簡(jiǎn)支均質(zhì)方板固有頻率系數(shù)Tab.5 Frequency factor λi for simply quadratic plate

表6 四邊固支壓電FGM方板固有頻率系數(shù)Tab.6 Frequency factors for fully clamped piezoelectric FGM

取材料梯度指數(shù)n=2，四邊固支(SSSS)和四邊簡(jiǎn)支(CCCC)約束下壓電FGM板在常溫和熱環(huán)境中板中心撓度時(shí)程圖如圖3所示，可見在熱環(huán)境下，采用非耦合模型分析壓電FGM板的動(dòng)力響應(yīng)問題有較大偏差。

(a) Tt=300 K,Tb=300 K

(b) Tt=500 K,Tb=500 K

表7給出了四邊固支和四邊簡(jiǎn)支壓電FGM板隨材料梯度指數(shù)變化時(shí)，在t=0.025 s時(shí)刻板中心點(diǎn)的動(dòng)撓度wo。從表中可以看出，常溫下四邊固支壓電FGM板采用非耦合模型計(jì)算得到的動(dòng)撓度wo相對(duì)耦合模型的偏差值均大于四邊簡(jiǎn)支約束下的相應(yīng)偏差值，說(shuō)明約束越強(qiáng)，耦合效應(yīng)影響越大。而在熱環(huán)境中，兩種邊界的相對(duì)偏差值大多超過了工程允許誤差，特別是對(duì)于約束較弱的簡(jiǎn)支邊界，溫度應(yīng)力加劇了耦合效應(yīng)。常溫時(shí)隨著材料梯度指數(shù)由小到大，F(xiàn)GM板中心點(diǎn)的動(dòng)撓度增大，這是因?yàn)閚=0時(shí)，F(xiàn)GM板退化為上表面材料的均質(zhì)板，其彈性模量較大，隨著n增大，下表面材料在FGM板中所占比重增大，而下表面材料的彈性模量較小。當(dāng)梯度指數(shù)n=2～3時(shí)，耦合剛度[B]最大，采用非耦合模型計(jì)算出現(xiàn)的偏差最大。下表面材料的熱膨脹系數(shù)較大，當(dāng)材料梯度指數(shù)較大時(shí)，溫度應(yīng)力對(duì)簡(jiǎn)支板的影響較大。

表7 不同邊界約束下壓電FGM板的中心點(diǎn)動(dòng)撓度 wo(t=0.025 s)

4 結(jié) 論

本文采用樣條無(wú)網(wǎng)格法，以面內(nèi)位移、撓度和剪切應(yīng)變?yōu)榛疚灰茍?chǎng)，基于一階剪切變形理論建立了厚/薄壓電FGM板動(dòng)力分析模型，研究板的面內(nèi)位移與撓度的耦合效應(yīng)以及面內(nèi)力在非線性應(yīng)變上做功的幾何非線性效應(yīng)對(duì)壓電FGM板的動(dòng)力特性和動(dòng)力響應(yīng)的影響。通過與已有文獻(xiàn)結(jié)果比較，表明樣條無(wú)網(wǎng)格新模型是正確的，適用于薄板和厚板，具有通用性，沒有出現(xiàn)剪切閉鎖問題，且未知量少、精度較高、收斂穩(wěn)定。板的面內(nèi)位移對(duì)厚板的高階頻率影響明顯；材料梯度指數(shù)變化，會(huì)影響FGM板的耦合剛度，加大或減少耦合效應(yīng)；約束越強(qiáng)，耦合效應(yīng)影響越大；溫度應(yīng)力產(chǎn)生的面內(nèi)力使得面內(nèi)位移增大，進(jìn)而使得拉-彎耦合效應(yīng)增大，對(duì)FGM板的動(dòng)力特性和動(dòng)力響應(yīng)的影響較大，面內(nèi)位移及面內(nèi)力的作用不能忽視。

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Dynamic analysis of thick/thin piezoelectric FGM plates with spline meshless method

LI Shuangbei1,2,WU Hai1,MO Chunmei1

(1.College of Civil Engineering and Architecture,Guangxi University,Nanning 530004,China;2.Guangxi Provincial Key Laboratory of Disaster Prevention and Engineering Safety,Guangxi University,Nanning 530004,China)

The in-place displacement of a plate was taken as field variable besides the plate’s deflection and shear strain. By using the spline meshless method, a new dynamic analysis model for thick/thin piezoelectric functionally graded material(FGM) plates under thermal environment was established. Considering FGM physical parameters variation with temperature and in-plane force caused by different temperatures, the effects of in-plate displacement and in-plane force on the dynamic property and dynamic response of the FGM plate were investigated under different boundaries and gradients. Analysis results showed that the new model has the universality and effectiveness for dynamic analysis of thick/thin piezoelectric FGM plates, and has advantages of high efficiency, high precision and no shear locking problems.

spline meshless method; thick/thin plate; functionally graded material (FGM) plate; in-place displacement; dynamic property; dynamic response

國(guó)家自然科學(xué)基金(11262002)；廣西自然科學(xué)基金(2014GXNSFAA118020)

2015-11-03 修改稿收到日期：2016-02-19

李雙蓓 女， 博士， 教授， 1963年生

TB332

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.018