章世清

摘要：RC電路在模擬及數(shù)字電路中得到廣泛的應(yīng)用，由于電路的形式、信號(hào)源和阻容元件參數(shù)的不同，因而組成了RC電路的各種應(yīng)用形式。本文就高階RC電路的建模和等效的傳遞函數(shù)的架構(gòu)進(jìn)行分析。通過(guò)MATLAB仿真，對(duì)現(xiàn)有的一些高階RC電路的整定方法進(jìn)行研究分析。并且針對(duì)階躍響應(yīng)和正弦響應(yīng)參數(shù)性能以及魯棒性實(shí)驗(yàn)中性能點(diǎn)的散布密度情況來(lái)分析各種PID整定方法的優(yōu)劣性，優(yōu)選出最好的PID控制器參數(shù)。

關(guān)鍵詞：模擬電路；高階RC電路；魯棒性；PID整定方法

0 引言

RC電路是模擬電路中應(yīng)用最為廣泛的電路之一，由于電路的形式以及信號(hào)源和阻容元件參數(shù)可選取的范圍巨大，因此各種形式的RC控制電路就應(yīng)運(yùn)而生：微分電路、積分電路、耦合電路、濾波電路及脈沖分壓器。[ ， ]在模擬及脈沖數(shù)字電路中，常會(huì)用到由電阻器和電容器組成的RC電路，在這些電路中，電阻R和電容C的取值不同、電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，從而產(chǎn)生了RC電路的不同應(yīng)用。對(duì)于RC電路網(wǎng)絡(luò)，在進(jìn)行頻域分析時(shí)，電容器C相當(dāng)于積分器的功能，隨著并聯(lián)的電容器C的個(gè)數(shù)的增加，RC電路結(jié)構(gòu)中積分器的個(gè)數(shù)隨之增加，從系統(tǒng)的類(lèi)型方面來(lái)看，此時(shí)RC電路電壓輸出輸入關(guān)系就可以用一個(gè)高階系統(tǒng)表示。[ ]

1 高階RC電路建模

常規(guī)RC電路是將電阻R與電容器C串聯(lián)后接入輸入電壓信號(hào)為E的電路中，且由電容器C輸出電壓信號(hào)U，輸出電壓為U1。根據(jù)基爾霍夫定律、拉氏變換得出一階RC電路的傳遞函數(shù)如下：

（1）

在一階RC電路的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行層次擴(kuò)展，得到十級(jí)RC電路的一階慣性環(huán)節(jié)加延時(shí)的目標(biāo)傳遞函數(shù)如式2所示。

（2）

2 十階RC電路MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)

運(yùn)用軟件MATLAB中的仿真模塊Simulink對(duì)于PID控制系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)擾動(dòng)和正弦響應(yīng)擾動(dòng)的仿真。

對(duì)十階RC電路進(jìn)行了蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，在被控對(duì)象參數(shù)不確定的條件下，通過(guò)蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)性能點(diǎn)的散布情況，分析PID控制器的魯棒性優(yōu)劣，優(yōu)選出PID控制器。取R：900～1100Ω，C：0.0009～0.0011F，RC電路系統(tǒng)的電阻R，電容C在此范圍內(nèi)隨機(jī)抽取，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

其中，IMC法取Tf=13.5，GPM法取幅值裕量Am=6，相位裕量Φm=π/3。

從十級(jí)RC電路系統(tǒng)的各種整定方法的魯棒性能蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)可見(jiàn)，從超調(diào)量來(lái)看從小到大依次為IMC法、幅值相位裕量法、極點(diǎn)配置法、CHR法、最優(yōu)法、Z-N法和C-C法，從調(diào)節(jié)時(shí)間來(lái)看，依次為幅值相位裕量法、極點(diǎn)配置法、最優(yōu)法、CHR法、C-C法、Z-N法和IMC法。從性能點(diǎn)的散布程度來(lái)看，幅值相位裕量法和極點(diǎn)配置法的性能點(diǎn)分布最為集中，其次為最優(yōu)法和CHR法，而IMC法、Z-N法和C-C法的性能點(diǎn)最為分散。

在十級(jí)RC電路系統(tǒng)的情況下，就綜合效果而言，幅值相位裕量法和極點(diǎn)配置法無(wú)論從超調(diào)量還是從調(diào)節(jié)時(shí)間來(lái)看，都是幾種方法里最優(yōu)的，而且通過(guò)性能點(diǎn)的分布來(lái)看，魯棒性也較好；其次為CHR法、最優(yōu)法和IMC法；最優(yōu)法雖然其整定效果的魯棒性能非常好，性能點(diǎn)分布十分密集，但是最優(yōu)法的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間都不理想；IMC法最顯著的特征就是沒(méi)有超調(diào)量，然而這就導(dǎo)致了IMC的調(diào)節(jié)時(shí)間會(huì)較其他方法更長(zhǎng)一些，而對(duì)于高階系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化之后系統(tǒng)的誤差將會(huì)被放大，所以對(duì)于高階系統(tǒng)IMC的調(diào)節(jié)時(shí)間會(huì)非常長(zhǎng)；而C-C法和Z-N法的各項(xiàng)指標(biāo)都很差，并不是適合運(yùn)用于高階系統(tǒng)中。

3 結(jié)論

Z-N法和C-C法兩者都存在調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，超調(diào)量為70.95%超出了20%的范圍這種問(wèn)題，所以Z-N法和C-C法得到的PID參數(shù)控制效果不理想，存在調(diào)節(jié)時(shí)間不夠快，超調(diào)量過(guò)大的問(wèn)題，不是所需要的PID控制器參數(shù)；IMC法的優(yōu)點(diǎn)是超調(diào)量為0，但是調(diào)節(jié)時(shí)間達(dá)到了30.79s，調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)調(diào)節(jié)響應(yīng)的反應(yīng)時(shí)間變長(zhǎng)，并不是最優(yōu)的PID參數(shù)；極點(diǎn)配置法和最優(yōu)法相比，兩者的超調(diào)量不相上下，但是極點(diǎn)配置法的調(diào)節(jié)時(shí)間相比于最優(yōu)法過(guò)長(zhǎng)，而且極點(diǎn)配置法與幅值相位裕量法調(diào)節(jié)時(shí)間相近，但是極點(diǎn)配置法的超調(diào)量過(guò)大，所以通過(guò)極點(diǎn)配置法得到的PID參數(shù)調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都不是最優(yōu)的PID參數(shù)；最優(yōu)法的調(diào)節(jié)時(shí)間很好但是超調(diào)量過(guò)大，而且穩(wěn)定前階躍響應(yīng)曲線會(huì)出現(xiàn)震蕩；幅值相位裕量法的幅值裕量Am=6，相位裕量Φm=π/3。幅值相位裕量法的超調(diào)量很好，而且曲線很平穩(wěn)，但是調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，所以也不是最優(yōu)PID控制參數(shù)；CHR法調(diào)節(jié)時(shí)間為12.54s超調(diào)量為8.73%，相比于其他方法，系統(tǒng)輸出幾乎沒(méi)有超調(diào)，過(guò)渡時(shí)間顯著縮短，整個(gè)過(guò)渡過(guò)程變得更加平穩(wěn)，曲線爬升段更快，穩(wěn)定后曲線沒(méi)有震蕩很平穩(wěn)，所以通過(guò)比較七種整定方法的階躍響應(yīng)曲線和性能參數(shù)指標(biāo)，得到了結(jié)論：CHR法得到的控制器參數(shù)是這七種整定方法得到的參數(shù)中的最優(yōu)控制器參數(shù)。

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