徐永軍

“特殊的平行四邊形”易錯(cuò)點(diǎn)剖析

徐永軍

特殊的平行四邊形作為平行四邊形的一部分，在歷年中考中也占有非常重要的地位，但是本塊內(nèi)容概念多，性質(zhì)定理和判定方法多樣化，同學(xué)們?nèi)菀谆煜稿e(cuò)，所以下面就一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤舉例并加以分析.

一、不能正確理解特殊的平行四邊形的概念和識(shí)別方法

例1給出下列結(jié)論：

①有一組對(duì)邊平行，且兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形；②兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；③兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是矩形；④有一個(gè)角是60°的平行四邊形是菱形；⑤有兩邊相等的平行四邊形是菱形；⑥有一組鄰邊相等的矩形是正方形；⑦有三邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形；⑧對(duì)角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形.其中正確的有（）.

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【錯(cuò)解】B或C.

【正解】A.

【錯(cuò)解辨析】解決本題的關(guān)鍵是正確理解各種特殊的平行四邊形的概念和識(shí)別方法.①是錯(cuò)誤的.如圖1-1所示，∠A=∠B=90°，AD∥BC，由圖形可知完全符合條件，但它不是矩形.②是錯(cuò)誤的.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，對(duì)角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，因此，只有當(dāng)對(duì)角線相等且互相平分時(shí)，這個(gè)四邊形才是矩形.③是錯(cuò)誤的.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，而矩形是特殊的平行四邊形，即有一個(gè)角是直角的平行四邊形.④是錯(cuò)誤的.有一個(gè)角是60°的平行四邊形不能保證鄰邊相等.⑤是錯(cuò)誤的.只有鄰邊相等的平行四邊形才是菱形.⑥是正確的.⑦是錯(cuò)誤的.如圖1-2所示，AB=AD=BC，∠B=90°，由圖形可知四邊形ABCD并不是正方形.⑧是正確的.

圖1-1

圖1-2

二、在證明過(guò)程中忽視條件

例2如圖2，在平行四邊形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，OE=OF.為什么？

圖2

【錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，OA=OC.∵AD∥BC，∴∠3=∠4.

∵∠1=∠2，∴△AOE≌△COF（ASA）.

∴OE=OF.

【正解】證法1：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OA=OC.

∵AD∥BC，∴∠3=∠4.

∵OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，

∴∠AEO=∠CFO=90°.

∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE=OF.

證法2：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC.∵OE⊥AD，∴OE⊥BC.

又OF⊥BC，∴直線OE與OF重合，即E、O、F三點(diǎn)共線，∴∠1=∠2.

又∵OA=OC，∠AEO=∠CFO=90°，

∴△AOE≌△COF（AAS）.∴OE=OF.

【錯(cuò)解辨析】本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是直接使用∠1=∠2證明△AOE≌△COF，這樣就默認(rèn)了E、O、F三點(diǎn)共線，而已知條件中并沒(méi)有這個(gè)結(jié)論，因此E、O、F三點(diǎn)共線在證明過(guò)程中必須加以說(shuō)明，否則就是錯(cuò)誤的.

三、混淆特殊平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性

例3下列所述圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）.

A.矩形B.平行四邊形

C.菱形D.正方形

【錯(cuò)解】A、C或D.

【正解】B.

【錯(cuò)解辨析】錯(cuò)解的原因是混淆特殊平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性.平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線交點(diǎn)，因?yàn)榫匦?、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以它們都是中心?duì)稱(chēng)圖形.很多同學(xué)誤以為平行四邊形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線所在直線是其對(duì)稱(chēng)軸，其實(shí)只要親自操作一次就不難發(fā)現(xiàn)平行四邊形并不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，而矩形、菱形、正方形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其中矩形、菱形有兩條對(duì)稱(chēng)軸，正方形有四條對(duì)稱(chēng)軸.

四、不能準(zhǔn)確識(shí)別中點(diǎn)四邊形形狀

例4順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)所得四邊形一定是（）.

A.矩形B.平行四邊形

C.菱形D.正方形

【錯(cuò)解】B、C或D.

【正解】A.

【錯(cuò)解辨析】許多同學(xué)搞不清楚中點(diǎn)四邊形如何判定，其實(shí)識(shí)別方法并不難，總結(jié)規(guī)律如下：①順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形；②順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；③順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；④順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；⑤順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；⑥順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形.由以上規(guī)律，我們還可以得出一般性結(jié)論：①當(dāng)原四邊形對(duì)角線相等時(shí)，順次連接四邊中點(diǎn)所得四邊形是菱形；②當(dāng)原四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，順次連接四邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形；③當(dāng)原四邊形對(duì)角線既相等又垂直，則順次連接四邊中點(diǎn)所得四邊形既是菱形又是矩形，也就是正方形.

五、問(wèn)題考慮不夠全面

例5長(zhǎng)為30，寬為a的矩形紙片（15＜a＜30），如圖3-1那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱(chēng)為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖3-2那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱(chēng)為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去.若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止.當(dāng)n=3時(shí)，a的值為_(kāi)_____.

圖3-2

圖3-1

【錯(cuò)解】18.

【正解】18或22.5.

【錯(cuò)解辨析】根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)都等于原矩形的寬.所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬.當(dāng)15＜a＜30時(shí)，矩形的長(zhǎng)為30，寬為a，所以第一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a.由30-a＜a可知，第二次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)為30-a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30-a，a-（30-a）=2a-30.由于（30-a）-（2a-30）= 60-3a，所以（30-a）與（2a-30）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論.又因?yàn)榭梢赃M(jìn)行三次操作，故分兩種情況：①30-a＞2a-30；②30-a＜2a-30.對(duì)于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值.

江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）