王憲成

一道課本習(xí)題的追問探究

王憲成

中考試題往往都能在課本例習(xí)題中找到“母題”，因?yàn)檎n本例習(xí)題具有典型性、示范性、基礎(chǔ)性、探究性、可生長性等特點(diǎn)，是很多學(xué)科專家經(jīng)過反復(fù)推敲、思考后的寶貴資源.重視課本例習(xí)題，善于追問、變式、改編是對課本例習(xí)題價(jià)值的提升，也是對課本例習(xí)題功能的再思考.

下面從一道課本習(xí)題出發(fā)加以追問、變式探究，以鞏固同學(xué)們對三角形、等腰三角形、直角三角形、四點(diǎn)共圓等核心知識(shí)及方法的掌握.

【習(xí)題1呈現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級上冊第74頁習(xí)題10：

已知：如圖1，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn).

求證：MN⊥BD.

圖1

【習(xí)題2呈現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第42頁習(xí)題4：

如圖2，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中點(diǎn).點(diǎn)B、C、D、E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上？為什么？

圖2

【習(xí)題解析】

這兩道課本習(xí)題都直接應(yīng)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一知識(shí)解決問題.習(xí)題1，點(diǎn)M是Rt△ABC和Rt△ADC公共斜邊的中點(diǎn)，連接BM、DM，則BM=DM=AC，于是△BMD是等腰三角形，點(diǎn)N是底邊BC的中點(diǎn)，顯然由“等腰三角形三線合一”性質(zhì)得知MN⊥BD成立.習(xí)題2，連接EM、DM，同理可得：EM=DM=BM=CM，于是，點(diǎn)B、C、D、E到點(diǎn)M的距離都相等，即點(diǎn)B、C、D、E是在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上.

基于八年級數(shù)學(xué)“等腰三角形”“勾股定理”核心知識(shí)，九年級“圓”相關(guān)知識(shí)、相似三角形、三角形內(nèi)心等知識(shí)的學(xué)習(xí)鞏固，及希望引導(dǎo)同學(xué)們站在“圓”的高度來回顧老問題，現(xiàn)將這兩個(gè)問題進(jìn)行整合，對問題不斷追問思考，以期同學(xué)們有新的收獲.

【追問1】如圖3，BD、CE都是銳角△ABC的高，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接EM、DM.

若∠A=60°，試判斷△MDE的形狀，并說明理由.

【解析】顯然，在課本習(xí)題的基礎(chǔ)上還是很快得到△MDE中EM=DM=BM=CM，

由∠A=60°可得∠ABC+∠ACB=120°，

而因?yàn)椤螦BC=∠BEM，∠ACB=∠MDC，

則有∠ABC+∠ACB+∠BEM+∠MDC=240°，

所以，∠BME+∠CMD=360°-240°=120°，則∠EMD=60°，而又因?yàn)镸E=MD，所以△MDE是等邊三角形.

圖3

【追問2】如圖3，BD、CE都是銳角△ABC的高，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，連接EM、DM.若有BC2=2DE2，求∠A的度數(shù).【解析】因?yàn)镋M=DM=BC，則2EM=2DM= BC，因?yàn)锽C2=2DE2，（2EM）2=2DE2，化簡整理得：2EM2=DE2，即有EM2+DM2=DE2成立.根據(jù)勾股定理逆定理得知：∠EMD=90°.由追問1反過來推得∠A=45°.

【追問3】基于以上的探究，如圖3，若設(shè)∠A=x°，∠DME=y°，直接寫出x與y的數(shù)量關(guān)系式.

【解析】∠ABC+∠ACB=180°-x°，∠ABC+∠ACB+∠BEM+∠MDC=360°-2x°

所以，∠BME+∠CMD=360°-（360°-2x°）= 2x°，則∠EMD=180°-2x°，即y=180-2x.

【追問4】結(jié)合前文習(xí)題2，站在九年級數(shù)學(xué)“圓”的知識(shí)高度，重新認(rèn)識(shí)上面問題中∠A與∠DME的數(shù)量關(guān)系.

圖4

【解析】點(diǎn)B、C、D、E是在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上.

由圓周角定理得知：∠EMD=2∠ABD，而∠ABD=90°-∠A.

于是，∠EMD=2（90°-∠A）=180°-2∠A.

【追問5】如圖5，四邊形ABCD中，BD⊥AD，AC⊥BC，且邊AB、CD滿足數(shù)量關(guān)系A(chǔ)B2= 2CD2.求∠DAB+∠ABC的值.

圖5

【解析】其實(shí)，有了前面系列追問的鋪墊，不難發(fā)現(xiàn)，取AB中點(diǎn)為M，連接DM、CM，則有DM=CM成立.

類似追問2，由條件AB2=2DC2可得：∠CMD=90°.因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C、D是在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上.由圓周角定理得知：∠CMD= 2∠DAC，所以，∠DAC=45°，延長AD、BC交于點(diǎn)G，則△GAC是等腰直角三角形，于是∠G=45°，故∠DAB+∠ABC=180°-45°=135°.

【追問6】如圖6，△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)H，且∠ABC=45°.

圖6

（1）證明：BH=AC；

（2）點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn)，連接EF、GE、FG，試判斷△EFG的形狀，并說明理由.

【解析】（1）要證明線段相等，可以考慮證明三角形全等，這是常用的方法，該題只要證明△BEH≌△CEA便能得到BH=AC成立.

（2）由第（1）小問的過渡，不難發(fā)現(xiàn)在Rt△BEH和Rt△CEA中，點(diǎn)F、G分別是BH、AC的中點(diǎn)，于是有EF=BH=EG=AC成立，即EF=EG.

易證：∠GEC=∠GCE，∠FEH=∠BHE，

又因?yàn)椤螧HE+∠ACE=90°，

所以∠FEH+∠GEC=90°，即∠FEG=90°，所以△EFG是等腰直角三角形.

【追問7】如圖7，△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)F，連接AF并延長交BC于點(diǎn)M，連接ED、EM、DM，則下列說法：①A、E、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上；②AM⊥BC；③EC平分∠DEM；④點(diǎn)F是△DEM的內(nèi)心.其中正確的是______（.填序號(hào)）

圖7

【解析】這一組問題都是基于前面基本問題自然生長的追問.如圖8，對于命題①的證法可類比習(xí)題2的證明思路，命題成立；②AM⊥BC成立，在點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓，點(diǎn)A、E、F、

圖8

【追問8】如圖9，△ABC的高BD、CE相交于點(diǎn)F，連接ED.若AE=3，AD=4，AC=6，則

圖9

【解析】事實(shí)上，習(xí)題2的基本圖形還蘊(yùn)含著相似三角形的經(jīng)典圖形——斜A型、8字型，本題可先證明△ABD∽△ACE，得，而∠DAE=∠BAC，由三角形的相似條件可知△ADE∽△ABC，故有AC=6，代入可求

由△ADE∽△ABC可知∠ADE=∠ABC，而∠ADE+∠BDE=90°，∠ABC+∠BCE=90°，所以可得∠BDE=∠BCE，∠DFE=∠BFC，進(jìn)一步可得△DFE∽△CFB，所以在Rt△BEF中，BE=8-3=5，設(shè)EF=x，則BF= 2x，由勾股定理可求

當(dāng)然，上述是通過證明三角形相似得到對應(yīng)的角相等，我們還可以通過四點(diǎn)共圓得圓周角相等，更快地得到三角形相似；還有圖中的∠A實(shí)際上是特殊角，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了嗎？

（作者單位：蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校）