萬(wàn)廣磊

“三角形”典型中考題剖析

萬(wàn)廣磊

“三角形”是多邊形中最基本的圖形，其中重要的知識(shí)包括三角形的內(nèi)角和定理、三邊不等關(guān)系、“五線”（高線、中線、角平分線、垂直平分線和中位線）的性質(zhì)、全等與相似的性質(zhì)與判定、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)與判定等，內(nèi)容豐富，題型新穎，解法靈活，一直是中考命題的核心內(nèi)容.

一、三角形的內(nèi)角和定理

例1（2016·鄂州）如圖1所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足為E，∠1=50°，則∠2的度數(shù)為（）.

圖1

A.50°B.40°C.45°D.25°

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)及垂直、三角形內(nèi)角和定理.因?yàn)镋F⊥BD，∠1=50°，所以在△DEF中，∠D=90°-50°=40°，又因?yàn)锳B∥CD，所以∠2=∠D=40°，故選B.

【評(píng)析】解決本類問(wèn)題常用的方法是利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同位角相等”轉(zhuǎn)移角度.

二、三角形的三邊關(guān)系

例2（2016·南京）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是（）.

A.3，4，4B.3，4，5

C.3，4，6D.3，4，7

【解析】本題考查了三角形三邊不等關(guān)系與勾股定理.運(yùn)用三角形三邊不等關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，判定各選項(xiàng)的三邊是否可以組成三角形.首先排除選項(xiàng)D，因?yàn)?+4=7，不能構(gòu)成三角形；然后再用勾股定理判斷，因?yàn)?和4的平方和等于5的平方，這是直角三角形，排除B選項(xiàng)；再觀察A選項(xiàng)，最長(zhǎng)邊為4，小于5，肯定是銳角三角形；而選項(xiàng)C中，最長(zhǎng)邊為6，大于5，一定是鈍角三角形，故選C.

【評(píng)析】對(duì)于三角形的形狀判定，除了用三角形中最大角的判定方法外，還可結(jié)合勾股定理判定：銳角三角形的兩條較短邊的平方和大于最長(zhǎng)邊的平方，直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，鈍角三角形的兩條較短邊的平方和小于最長(zhǎng)邊的平方.

三、三角形的“四線”

例3（2016·恩施）如圖2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，△ABC的周長(zhǎng)為19cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則AE的長(zhǎng)為（）.

A.3cmB.6cm

C.12cmD.16cm

圖2

【解析】本題考查線段垂直平分線的定義及性質(zhì).由DE是AC的垂直平分線，得AE=CE，AD=CD.因?yàn)椤鰽BD的周長(zhǎng)=AB+BD+AD=AB+ BD+CD=AB+BC=13cm，△ABC的周長(zhǎng)=AB+ BC+AC=19cm，所以AC=6cm，則AE=AC=×6=3cm，故選A.

【評(píng)析】線段的垂直平分線可以讓等長(zhǎng)線段通過(guò)旋轉(zhuǎn)移動(dòng)位置，而求與線段的垂直平分線有關(guān)的三角形的周長(zhǎng)、線段的長(zhǎng)時(shí)，常常會(huì)用到轉(zhuǎn)化和整體思想.

例4（2016·南充）如圖3，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D，E分別是直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（）.

圖3

A.1B.2C.3D.1+3

【解析】本題考查了三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì).因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C= 90°，A=30°，所以AB=2BC=2.而點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，△ACB的中位線DE=AB=1.故選A.

【評(píng)析】由三角形的中點(diǎn)條件計(jì)算線段的長(zhǎng)，可以考慮三角形的中位線定理.遇有銳角為30°的直角三角形要考慮30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

四、折疊三角形

例5（2016·南充）如圖4，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AB與DC重合得到折痕EF，將紙片展平，再一次折疊，使點(diǎn)D落到EF上G點(diǎn)處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，展平紙片后∠DAG的大小為（）.

圖4

A.30°B.45°C.60°D.75°

【解析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì).如圖5，由題意可得∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，則NG=AM=AN，得∠2=∠4，由EF∥AB，所以∠4=∠3，則∠1=∠2=∠3=×90°=30°，所以∠DAG=60°.故選C.

【評(píng)析】矩形的翻折通常和等腰三角形、等邊三角形相關(guān)，除了運(yùn)用全等三角形的知識(shí)，還要用到直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換.

五、等腰三角形

例6（2016·濱州）如圖6，△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且AC=CD=BD= BE，∠A=50°，則∠CDE的度數(shù)為（）.

圖6

A.50°B.51°

C.51.5°D.52.5°

【解析】本題考查等腰三角形的兩個(gè)底角相等和三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用.先根據(jù)AC=CD，得∠ADC=∠A=50°，再由CD=BD，可知∠B=∠BCD，從而求出∠B=∠ADC-∠BCD= 25°；由BD=BE，∠BDE=∠BED=77.5°，最后根據(jù)∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°，得∠CDE=180°-∠ADC-∠BDE=52.5°.

【評(píng)析】等腰三角形的“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)用來(lái)推導(dǎo)出兩角相等，然后再運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算相關(guān)角度．

六、直角三角形

例7（2016·東營(yíng)）在△ABC中，AB=10，AC=2 10，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（）.

A.10B.8C.6或10D.8或10

【解析】本題考查勾股定理和分類討論思想.如圖7所示，

在Rt△ABD中，

在Rt△ACD中，

所以BC=BD+CD=8+2=10.

如圖8所示，同理求出BD=8，CD=2，所以BC=BD-CD=8-2=6.故選C.

圖8

圖7

【評(píng)析】解答本題要根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形.易出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤：只考慮高在三角形內(nèi)部的情況，忽視高在外部的情況.

例8（2016·武漢）如圖9，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA= 5 5，則BD的長(zhǎng)為．

圖9

【解析】本題考查了勾股定理及其逆定理的運(yùn)用、相似三角形的構(gòu)造及其性質(zhì).

連接AC，過(guò)D作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

【評(píng)析】解答本題的關(guān)鍵是先要根據(jù)題中的已知線段的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)Rt△ACD，得到AC⊥CD，再利用一線三等角模型構(gòu)造相似三角形，從而將BD放到一個(gè)直角三角形中，最后利用勾股定理求解即可．

七、全等三角形

例9（2016·金華）如圖11，已知∠ABC=∠BAD，添加下列條件還不能判定△ABC≌△BAD的是（）.

圖11

A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA

C.∠C=∠DD.BC=AD

【解析】本題考查三角形全等的判定方法.題目中已給出一組角相等，圖形中有一條公共邊，即已有一邊及一角對(duì)應(yīng)相等，再需要一邊或一角相等即可.A選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成SSA，不能確定兩個(gè)三角形全等；B選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成ASA，能確定兩個(gè)三角形全等；C選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成AAS，能確定兩個(gè)三角形全等；D選項(xiàng)與兩已知條件構(gòu)成SAS，能確定兩個(gè)三角形全等.故選A．

【評(píng)析】本題容易出錯(cuò)的地方是誤以為有兩邊一角分別相等的兩個(gè)三角形全等而錯(cuò)選．

例10（2016·常德）如圖12，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OB于點(diǎn)C，且PC=3，點(diǎn)P到OA的距離為.

圖12

【解析】本題考查了角平分線的性質(zhì).如圖13，直接過(guò)P作PD⊥OA于D，根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”可得PD=PC，從而得解.故答案為3.

圖13

【評(píng)析】求角平分線上的點(diǎn)到角的一邊的距離，一般情況是過(guò)該點(diǎn)作這條邊的垂線段，利用角平分線性質(zhì)求解.

例11（2016·泰州）如圖14，在△ABC中，AB=AC，E在BA的延長(zhǎng)線上，AD平分∠CAE.

（1）求證：AD∥BC；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)G，若AF=4，求BC的長(zhǎng).

圖14

【評(píng)析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證得△GAF∽△GBC.問(wèn)題（1）是個(gè)基本問(wèn)題：等腰三角形頂角的外角的角平分線平行于底邊，比較容易解決.問(wèn)題（2）中，根據(jù)∠CAD=∠EAD和CG⊥AD，很容易發(fā)現(xiàn)△AFC≌△AFG，得CF=FG=CG，再利用問(wèn)題（1）所證“AD∥BC”得△GAF∽△GBC，問(wèn)題得解.

揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校）