鄧魁英 楚天廣

?(河北大學(xué)工程力學(xué)系,河北保定071002)?(北京大學(xué)工學(xué)院,北京100871)

洛倫茲變換的幾何導(dǎo)出1)

鄧魁英?,2)楚天廣?,3)

?(河北大學(xué)工程力學(xué)系,河北保定071002)?(北京大學(xué)工學(xué)院,北京100871)

狹義相對論是牛頓力學(xué)的重要發(fā)展,因其概念抽象,國內(nèi)力學(xué)專業(yè)的教學(xué)中鮮有涉及.洛倫茲變換在相對論力學(xué)中處于核心地位,由其可導(dǎo)出相對論運(yùn)動(dòng)學(xué)的全部重要結(jié)論.本文首先介紹洛倫茲變換的一種典型的代數(shù)導(dǎo)出方式,然后利用閔可夫斯基時(shí)空圖以完全幾何的方式給出一種不同的更為直觀的導(dǎo)出方式.希望能以一種簡潔明了的方式引導(dǎo)力學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)狹義相對論.

相對論,洛倫茲變換,閔可夫斯基時(shí)空圖,經(jīng)典力學(xué)

力學(xué)是處理宏觀物體運(yùn)動(dòng)問題的一門學(xué)科,它包括愛因斯坦相對論 (theory of relativity)[1].狹義相對論是牛頓力學(xué)在高速運(yùn)動(dòng)極限的發(fā)展,是現(xiàn)代物理理論的基石[2-3],歐美的經(jīng)典力學(xué)教材中一般都會(huì)講解[4],但國內(nèi)力學(xué)專業(yè)的教學(xué)中鮮有涉及,一定程度上與相對論的主要概念比較抽象、與直覺相悖、難于教學(xué)等因素有關(guān).洛倫茲變換在相對論力學(xué)中處于核心地位,可以通過多種途徑導(dǎo)出[4-9].本文首先介紹了洛倫茲變換的一種典型的代數(shù)導(dǎo)出方式,然后利用閔可夫斯基時(shí)空圖以完全幾何的方式給出一種不同的更為直觀的導(dǎo)出方式.這兩種導(dǎo)出方式簡潔明了,且互為補(bǔ)充,本文旨在由此引導(dǎo)力學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)狹義相對論.

狹義相對論的出發(fā)點(diǎn)是相對性原理和光速不變原理兩條基本假定.相對性原理即假定一切物理定律在所有慣性參考系中具有形式不變性,與觀測者的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān).光速不變原理即假定光子在真空中以恒定速率c傳播,與觀測者的運(yùn)動(dòng)速度無關(guān).由這兩條基本假定即可導(dǎo)出洛倫茲變換,進(jìn)而導(dǎo)出諸如動(dòng)尺收縮、動(dòng)鐘變慢、質(zhì)速關(guān)系及質(zhì)能關(guān)系等相對論力學(xué)的全部重要結(jié)論.在低速運(yùn)動(dòng)時(shí),洛倫茲變換可用伽利略變換來近似,相對論力學(xué)可用牛頓力學(xué)來近似[2-5].

現(xiàn)給定任意兩個(gè)慣性參考系S(x,ct) 和S′(x′,ct′),并假定空間軸x和x′的正方向一致.慣性系S′相對于慣性系S以速率u沿空間軸x的正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),且當(dāng)t=t′=0時(shí),x=x′=0.同一事件在兩個(gè)慣性系S和S′中可以分別表示為E(xE,ctE)和E(x′E,ct′E),在下文中非特指某一事件時(shí)將省略下標(biāo).

根據(jù)相對性原理假定,若任意一個(gè)事件E(x,ct)在慣性系S中做勻速直線運(yùn)動(dòng),則同一事件E(x′,ct′)在慣性系S′中仍做勻速直線運(yùn)動(dòng),故二者之間存在線性映射關(guān)系

由于慣性系S′相對于慣性系S以速率u做勻速直線運(yùn)動(dòng),也即式(1)定義的線性映射將x=ut映射為x′=0,代入式 (1)中的第 1式可得α2=-α1u/c.重新記α1=γ,且u/c=β(0≤β≤1),則可將式(1)中的第1式表示為

同時(shí),相對于慣性系S′中的觀測者,慣性系S以速率u沿空間軸x′的負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),故由式(2)可得

根據(jù)光速不變原理假定,光子在慣性系S中的運(yùn)動(dòng)軌跡為x=ct,在慣性系S′中的運(yùn)動(dòng)軌跡為x′=ct′,二者互為映射,分別代入式(2)和式(3)得

將式(4)中的第1式代入第2式,且空間軸x和x′的正方向一致這一條件決定了γ不能取負(fù)值,于是得到

文獻(xiàn)中通常將γ稱為膨脹系數(shù)[2].

再將式(2)代入式(3),并考慮到式(5)給出的γ與β之間的關(guān)系式,可以直接導(dǎo)出

也即在式(1)的第2式中α3=-γβ,α4=γ.

至此,將式(5)代入式(2)和式(6),便得到了以速率u做相對運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性參考系S(x,ct)和S′(x′,ct′)之間的線性映射關(guān)系式

這就是洛倫茲變換(Lorentz transformation),其中β為慣性系S′相對于慣性系S的運(yùn)動(dòng)速率u與光速c之比.在式 (7)的變換式中,慣性參考系S(x,ct)的空間軸x與時(shí)間軸ct處于完全對稱的位置.當(dāng)u?c時(shí),式(7)可用伽利略相對性變換來近似,即

此時(shí),慣性系S的空間軸x與時(shí)間軸t的位置就不再具有對稱性了.

由式(7)中的第2式和式(8)中的第2式可知,相對論力學(xué)相對于牛頓力學(xué)的革新,關(guān)鍵在于不再采用絕對同時(shí)性假定,而假定同時(shí)(simultaneity)也具有相對性,即對于在一個(gè)慣性參考系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件,在另一個(gè)做相對運(yùn)動(dòng)的慣性參考系中觀測,二者就不再是同時(shí)發(fā)生的了.

由式(7)的洛倫茲變換可知,在兩個(gè)慣性系S和S′中分別觀測同一事件E時(shí),其時(shí)空坐標(biāo)滿足條件

此式蘊(yùn)含著相對論時(shí)空的一個(gè)重要不變量,即閔可夫斯基距離測度.歐氏空間中的距離測度在相對論時(shí)空中不再適用.另外,式(7)的雅各比行列式的值等于1,即

也即做相對運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性參考系之間的洛倫茲變換是保面積的.

由式(7)可知,洛倫茲變換將慣性系S中的運(yùn)動(dòng)軌跡x=βct和ct=βx分別映射為慣性系S′中的x′=0和ct′=0.若將慣性參考系S(x,ct)的空間軸x和時(shí)間軸ct用平面內(nèi)的兩條互相垂直的坐標(biāo)軸來表示,則光子的運(yùn)動(dòng)軌跡沿著各象限的角平分線,而慣性參考系S′(x′,ct′)的空間軸x′=0和時(shí)間軸ct′=0則關(guān)于光子的運(yùn)動(dòng)軌跡對稱.此即為閔可夫斯基時(shí)空圖(圖1).

圖1 閔可夫斯基時(shí)空圖與光錐

在閔可夫斯基時(shí)空圖中,因果律決定了可能事件E(xE,ctE)只能發(fā)生在以光子的運(yùn)動(dòng)軌跡為邊界且以ct為軸的光錐內(nèi)(圖1).勻速直線運(yùn)動(dòng)的軌跡是位于光錐內(nèi)的一條直線,如慣性系S′的時(shí)間軸ct′即為在慣性系S中觀測到的慣性系S′的運(yùn)動(dòng)軌跡.

閔可夫斯基時(shí)空圖為相對論運(yùn)動(dòng)學(xué)的討論提供了一種非常直觀簡明的方式.但就我們所知,文獻(xiàn)中尚未見到如何從閔可夫斯基時(shí)空圖出發(fā)利用幾何方式導(dǎo)出式(7)中的洛倫茲變換,此即為我們在下文中的主要工作.

在圖2所示的閔可夫斯基時(shí)空圖中,慣性系S的空間軸x和時(shí)間軸ct互相垂直,作菱形OADB.在圖3所示的閔可夫斯基時(shí)空圖中,慣性系S′的空間軸x′和時(shí)間軸ct′互相垂直,則菱形OADB相應(yīng)變換為正方形O′A′D′B′.那么,圖2中等腰三角形OAD內(nèi)的任意一個(gè)事件E(xE,ctE)總與圖3中等腰直角三角形O′A′D′中的一個(gè)事件E(x′E,ct′E)對應(yīng),故可認(rèn)為二者的面積相等,表示為

也即假定慣性參考系S(x,ct)和S′(x′,ct′)之間的線性變換是保面積的.這是我們以幾何方式導(dǎo)出洛倫茲變換的出發(fā)點(diǎn).

圖2 閔可夫斯基時(shí)空圖與菱形OADB

圖3 閔可夫斯基時(shí)空圖與正方形O′A′D′B′

在圖2所示的閔可夫斯基時(shí)空圖中,作AK垂直于OB,則菱形OADB的面積

設(shè)事件A在慣性系S中可以表示為A(xA,ctA),則由圖2中的幾何關(guān)系及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系xA=utA顯然可得

和

再由式(14)通過三角關(guān)系可得

將式(13)和式(15)代入式(12)中,得到在圖2所示的閔可夫斯基時(shí)空圖中菱形OADB的面積

而在圖 3所示的閔可夫斯基時(shí)空圖中,正方形O′A′D′B′的面積顯然為

于是由式(11)可知

此式對于在慣性系S′中觀測時(shí)靜止于原點(diǎn)O′處的任意事件A′(0,ct′A′)均成立,也即式 (18)為式 (9)的特例.從由式(12)導(dǎo)出式(18)的過程我們可以非常直觀地看出,式(9)中的閔可夫斯基距離測度與式(10)中洛侖茲變換的保面積性是完全等價(jià)的.

設(shè)事件E在慣性系S和S′中可以分別表示為E(x,ct)和E(x′,ct′).由圖4可知,慣性系S′中的同時(shí)線EA與慣性系S中的空間軸x的夾角也為θ,并注意到運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系xA=utA,則

結(jié)合式(14)中已知的關(guān)系式tanθ=β,可以解得

又由式(18)及xA=utA可知

將式(20)代入式(21),便導(dǎo)出了

此即為式(7)中洛倫茲變換的第2式.

圖4 閔可夫斯基時(shí)空圖與事件E

再注意到圖4中慣性系S′中的同地線EG與慣性系S中的時(shí)間軸ct的夾角也為θ,由幾何關(guān)系還可知

于是有

同樣結(jié)合式(14)中的tanθ=β,可以得到

又由式(18)及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系xF=utF可得

將式(25)代入式(26),便導(dǎo)出了

此即為式(7)中洛倫茲變換的第1式.

至此,我們便通過幾何的方式導(dǎo)出了由式 (22)和式(27)表示的洛倫茲變換,其中起關(guān)鍵作用的是式(18)蘊(yùn)含的相對論時(shí)空中的閔可夫斯基距離測度.

由圖4可知,事件E(x,ct)在慣性系S中的速率為v=x/t,同一事件E(x′,ct′)在慣性系S′中的速率為v′=x′/t′.將式(27)與式(22)相比可得

再將u/c=β代入其中即可得

此即為相對論運(yùn)動(dòng)學(xué)中同一事件在不同慣性參考系中運(yùn)動(dòng)速率之間的關(guān)系式.當(dāng)u?c時(shí),式(29)即可用牛頓力學(xué)中同一動(dòng)點(diǎn)在不同慣性參考系中運(yùn)動(dòng)速率之間的關(guān)系式來近似,即

由式(29)可知,當(dāng)v=c時(shí),v′=c,即光子在所有慣性參考系中的速率保持不變,這就是作為狹義相對論出發(fā)點(diǎn)的兩個(gè)基本假設(shè)之一.值得一提的是,不少工作指出,光速不變原理假定對于導(dǎo)出洛倫茲變換并不是必要的[6-9].任何非伽利略時(shí)空線性變換必然要求存在一個(gè)速率上限,以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出的廣義洛倫茲變換使得相對論的理論基礎(chǔ)更為穩(wěn)固,即使將來發(fā)現(xiàn)超光速粒子的存在,相對論中以光速不變原理假定為前提導(dǎo)出的相關(guān)結(jié)論經(jīng)適當(dāng)調(diào)整后仍然成立[8-9].

洛倫茲變換在狹義相對論中處于核心地位,可用其將相對性原理假定更具體地表述為：一切物理定律的方程式在洛倫茲變換下具有形式不變性[2].由洛倫茲變換出發(fā),便可導(dǎo)出諸如動(dòng)尺收縮、動(dòng)鐘變慢、質(zhì)速關(guān)系及質(zhì)能關(guān)系等相對論力學(xué)的全部重要結(jié)論.同樣也可以利用閔可夫斯基時(shí)空圖從幾何的角度為這些重要結(jié)論給出更為直觀的解釋[10].

從本文以幾何方式導(dǎo)出洛倫茲變換的過程可以清楚地看出,狹義相對論仍然假定空間是平直、均勻和各向同性的,時(shí)間是均勻流逝的,而牛頓力學(xué)是相對論力學(xué)在低速運(yùn)動(dòng)極限的近似.但牛頓萬有引力公式在洛倫茲變換下不具有形式不變性,愛因斯坦為解決這個(gè)困難建立起來的廣義相對論則是一種彎曲時(shí)空引力理論[3-5],該理論預(yù)言的引力波(gravitational waves)于整整100年后的2015年9月14日第一次被科學(xué)家直接探測到[11].

綜上所述,本文利用閔可夫斯基時(shí)空圖從幾何的角度導(dǎo)出了洛倫茲變換,與其代數(shù)導(dǎo)出互為補(bǔ)充,有利于學(xué)習(xí)者從更直觀的角度理解狹義相對論的平直時(shí)空假定和非歐距離測度等概念,以及相對論力學(xué)相對于牛頓力學(xué)的關(guān)鍵革新,即不再采用絕對同時(shí)性假定,而是利用光速不變性定義了同時(shí)的相對性.本文在導(dǎo)出洛倫茲變換的過程中只應(yīng)用了基本的線性代數(shù)和平面幾何知識,希望能以這種簡潔明了的方式引導(dǎo)力學(xué)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)狹義相對論.

1 錢學(xué)森．我對今日力學(xué)的認(rèn)識．力學(xué)與實(shí)踐,1995,17(4)：1-1

2 張?jiān)伲畯呐ｎD力學(xué)到狹義相對論．力學(xué)與實(shí)踐,2005,27(4)：1-7

3 張?jiān)伲畯V義相對論的產(chǎn)生與發(fā)展．力學(xué)進(jìn)展,2002,32(4)：495-504

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11 Abbott BP,et al.Observation of gravitational waves from a binary black hole merger.Phys Rev Lett,2016,116：061102

(責(zé)任編輯：胡 漫)

O412.1

A

10.6052/1000-0879-16-125

2016-04-13收到第1稿，2016-06-05收到修改稿.

1)河北大學(xué)優(yōu)秀博士引進(jìn)人才項(xiàng)目(2014-304)和國家“973計(jì)劃”項(xiàng)目(2012CB821200)資助.

2)鄧魁英，博士，副教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制.E-mail：RossDeng@pku.edu.cn

3)楚天廣，博士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制.E-mail：chutg@pku.edu.cn

鄧魁英,楚天廣.洛倫茲變換的幾何導(dǎo)出.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(1)：82-86

Deng Kuiying,Chu Tianguang.Geometric derivation of the Lorentz transformation.Mechanics in Engineering,2017, 39(1)：82-86