陳英杰 雷 周 宋錦威 吳靜瑤

(燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北秦皇島066004)

直梁靠模成形變分原理問題的探討

陳英杰1)雷 周 宋錦威 吳靜瑤

(燕山大學(xué)建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北秦皇島066004)

對矩形截面的理想彈塑性直梁在靠模成形過程中邊界待定問題，用勢能變分原理推導(dǎo)出理想彈塑性材料的靠模懸臂梁彎曲成形的撓曲線方程，從而得到直梁靠模成形的彎曲問題的解.計算表明，推導(dǎo)出的直梁靠模成形的撓曲面方程可應(yīng)用于工程實際.

變分原理，靠模成形，懸臂直梁，邊界條件

塑性成形發(fā)展歷史可以追溯到1864年，當時法國工程師屈雷斯加(H.Tresca)提出了最大剪應(yīng)力屈服準則，即屈雷斯加屈服準則[1].較早把塑性理論用于材料成形的是德國的卡爾曼，他在1925年用初等方法分析了軋制時的應(yīng)力分布[2]，其后不久，薩克斯和齊別爾在研究變形過程中提出了相似的求解方法——切塊法，即后來的主應(yīng)力法[3].20世紀50年代中，蘇聯(lián)學(xué)者科索夫提出了一個實質(zhì)上與主應(yīng)力法相似的近似平衡和近似塑性條件聯(lián)解法[4].之后應(yīng)用滑移線理論來求解材料塑性成形問題的方法逐漸增多，英國學(xué)者希爾(R.Hill)1950年所著的《數(shù)學(xué)塑性理論》就反映了這方面的成就[5].直梁靠模彎曲成形問題在工程中經(jīng)常用到的計算方法有：有限差分法[6]和有限單元法[7-8].它們在工程中得到廣泛應(yīng)用.之后，很多學(xué)者又開始研究其他數(shù)值分析法求解直梁的彎曲成形問題，如無網(wǎng)格法[9-10]和小波邊界元法[11-13].

本文基于材料力學(xué)的基本假設(shè)，即梁在彎曲變形過程中，截面始終保持為平面——柏努利假設(shè)以及剪力及縱向纖維間的側(cè)向應(yīng)力可以忽略不計.應(yīng)用勢能變分原理對理想彈塑性材料懸臂梁的靠模成形問題進行研究，推導(dǎo)出理想彈塑性材料的靠模懸臂梁彎曲成形的撓曲線方程.

1 梁曲率與截面分布彎矩的關(guān)系

如圖1所示的理想彈塑性直梁兩端受到彎矩作用，h為梁截面高，寬為b.

圖1 理想彈塑性材料直梁彎曲示意圖

假設(shè)該梁的y方向撓度為w，向下為正，則得到撓度與對應(yīng)應(yīng)變的關(guān)系式

k為梁撓度曲線的曲率：曲率中心在梁軸線上方時為正.橫截面彎矩為

隨著彎矩值的逐漸增大，界面處于彈性狀態(tài)，所以

代入式(2)，得到

即

式中，ke取正值，對應(yīng)于ke的彎矩為Me，叫做彈性極限彎矩,σs為極限應(yīng)力.由式(4)及式(5)可得

當M＞Me時，梁截面的外層纖維的應(yīng)變繼續(xù)增大，但應(yīng)力值保持為σs，塑性區(qū)向截面內(nèi)擴展，設(shè)彈、塑性的交界為

在該處，|σ|=σs，于是對應(yīng)的曲率為

顯然，k是ξ的函數(shù)，其符號和M相同.與k(ξ)對應(yīng)的彎矩為

將式(8)代入到式(9)可以得到以下關(guān)系式

對于 ξ→ 0時，整個截面會出現(xiàn)全部進入塑性，這個時候，|k|→∞，對應(yīng)的塑性極限彎矩Ms.由式(10)可得

2 直梁彎曲的基本公式及泛函的變分計算

如圖2所示，在上下凹凸模中間的一端固定，另一端自由的理想彈塑性靠模懸臂梁實際系統(tǒng)，計算時可簡化為自由端受集中力作用的梁.R為凸模的曲率半徑.x1和ξ分別為直梁彎曲變形后的塑性段和彈塑性段長度，余下懸臂段即為彈性區(qū)段.當上面凹模向下移動時，可看作在梁的自由端受到一集中力p作用，此時直梁將會發(fā)生彎曲變形，在凸模的作用下，直梁的固定端附近會有一段長度為緊貼下面凸模的塑性變形區(qū)，該區(qū)域稱為靠模段.這樣靠模段就會形成一個曲率與凸模相同的彎曲變形，隨著凹模的向下移動，即p集中力的逐漸增大，直梁便會形成工程中所需要的彎曲成形產(chǎn)品.

圖2 靠模懸臂梁系統(tǒng)及其梁截面

對于圖2所示的彎曲梁，邊界條件待定問題的總勢能可表示為

其中Π1p,Π2p和Π3p分別表示直梁彎曲變形后變形能

式中，ke,k1,k2,k3分別為直梁彎曲后在塑性段和彈性段及載荷作用后的曲率.對式(12)取變分極值，則得

將式(17)和式(19)代入式(16)中，則得

根據(jù)變分法預(yù)備定理，得歐拉方程和自然邊界條件

由式(22)可得

式(31)可得ξ的值.

設(shè)

利用x1處撓度和轉(zhuǎn)角的連續(xù)條件則得

故有

利用x=ξ處的彎矩條件，則得

利用x=ξ處的切力條件，則得

于是有聯(lián)立方程 (38)，(39)，(40)和 (44)可分別求得A2,B2,C2,D2表達式

將求得的 A2,B2,C2,D2代入到式 (32)即得 x1≤x≤ξ段的撓曲線方程.

假設(shè)ξ-l段的撓曲線為

利用x=l處的靜力邊界條件，有

于是有

利用x=ξ處的撓度和轉(zhuǎn)角連續(xù)條件，則得

則有

聯(lián)立方程(65)，(66)可分別求得C2,D2的表達式

結(jié)合式 (59)，式 (60)，式 (67)和式 (68)便可得到ξ≤x≤l的撓曲線方程.

3 數(shù)值計算

選取適當尺寸的矩形截面直梁作為典型計算試件，且將模型中直梁上面的凹模作用簡化為在直梁的自由端施加一個豎直向下的集中力.這樣既能縮短計算時間，又形象完整地體現(xiàn)了直梁上面凹模的作用.

本文選取長度為 0.5m、截面寬 0.01m、高為0.012m的矩形截面理想彈塑性直梁作為數(shù)值算例，模型中直梁下面凸模曲率半徑設(shè)定1.5m.彈性模量E=206GPa，柏松比v=0.3.在直梁靠模成形的過程中，隨著p值的逐漸增大，靠模x1和ξ逐漸增大，且可由式(29)及其式(31)經(jīng)過Matlab軟件編程計算得出具體數(shù)值.在靠模x1和ξ之間的彈塑性區(qū)段可由式(32)推導(dǎo)出的曲率，經(jīng)過Matlab軟件編程計算得出在該區(qū)段靠模直梁各點的縱向撓度值，而在ξ之后的彈性區(qū)段可由式(49)得出具體的撓度值.當x=0的截面上出現(xiàn)塑性極限彎矩時有pl=1.5Me，此時p=147N，故當p＜147N時，該梁并沒有與模具進行接觸.表1給出該梁在不同p值作用下對應(yīng)的靠模段x1和彈塑性段ξ的x軸坐標值.在理論上，人們是無法將一整條梁單純的用法向載荷使它完全貼伏在下面的凸模上，當然這是指靠近梁自由端的很小一部分.這是因為在自由端上并沒有彎矩，這樣就無法滿足使其端點處那部分緊貼模具時發(fā)生的曲率變形所需要的彎矩.因此，本文的p值所取到的上限值為1500N,表2給出了不同集中力p值對應(yīng)的直梁上各點撓度值.

表1 不同p值對應(yīng)的x軸坐標值

表2 不同p值對應(yīng)的梁各點撓度值

本文采用 ANSYS有限元分析軟件對一端固定、另一端自由的理想彈塑性靠模成形懸臂直梁進行模擬分析并求解，分層計算所取各節(jié)點y方向的撓度值，最后取其算術(shù)平均值作為最終變形的y方向撓度值，驗證理論計算的準確性.

本文所取節(jié)點坐標值x與梁長l的比例分別為0,0.1,0.2,0.3,…,0.9,1.0.沿梁高方向分為2份，共計 3層，沿梁長度方向分為20份，這樣方便提取節(jié)點坐標值.ANSYS有限單元的模型采用solid45單元.

4 結(jié)果分析

前文計算了梁端受不同集中力作用后，彎曲梁在厚度b/2處沿長度方向各點在y方向的撓度理論解以及有限元分析計算值.理論解與ANSYS有限元計算值之間的差率，當p=147N時在x/l=0.1,0.2, 0.3,…,0.9,1.0處分別為 2.8%,2.1%,3.2%,2.6%, 1.5%,1.2%,1.8%,0.2%,1.6%,1%,3%，均在誤差范圍內(nèi)，從而驗證了本理論推導(dǎo)的正確性，也證明了變分原理應(yīng)用于理想彈塑性直梁靠模成形計算的可行性.圖3給出了不同力作用時梁上各點撓度的理論解與有限元解的分布曲線，兩者能夠較好地吻合.

圖3 不同力作用下b/2截面處的撓度分布曲線

圖3 不同力作用下b/2截面處的撓度分布曲線(續(xù))

5 結(jié) 論

本文從梁的基本公式出發(fā),應(yīng)用勢能變分原理推導(dǎo)出理想彈塑性材料直梁在靠模成形過程中的撓曲面方程，并在Matlab平臺上對其進行計算，得出理論解，同時應(yīng)用ANSYS有限元分析軟件對模型進行模擬分析，并將這兩個結(jié)果進行比較.比較結(jié)果表明：理論推導(dǎo)的結(jié)果和有限元解比較一致.

1 Ubbelohde AR.The Molten State of Matter：Melting and Crystal Structure.New York：Wiley,1978

2 Leu DK.Asimplif i ed approach for evaluating bend-ability and springback in plastic bending of an isotropic sheet metals.J Mats Processing Technology,1997,66：9-17

3 Zu FQ,Zhu ZG,Guo LJ,et al.Observation of anomalous discontinuous liquid structure change with temperature.Phys Rev Lett,2002,89(19)：94-99

4 Duncan JL,Bird JE.Approxi matecal culations for draw dieforming and their application toaluminumalloy sheet. Metal Forming Plasticity Symposium,Tu-taing Germany, 1978

5 Hill R.塑性數(shù)學(xué)理論.王仁等譯.北京：科學(xué)出版社,1966

6 LiuJK,YangY,CaiCW.Convergencestudieson static and dynamic analyses of plates by using the U-transformation and the f i nite dif f erence method.Journal of Sound and Vibration,2006,289(1)：66-76

7 Logan DL.A First Course in the Finite Element Method. New York：Thomson Learning,2007

8 Yang Y,Liu JK,Huang PY.Exact convergence studies on static and dynamic analyses of plates by using the double u-transformation and the f i nite element method.Journal of Sound and Vibration,2007,305(122)：85-96

9 王輝,劉偉.梁彎曲問題的無網(wǎng)格解法.中原工學(xué)院學(xué)報,2008, 19(2)：69-71

10 Xiao JR,McCarthy MA.Meshless analysis of the obstacle problem for beams by the mlpg method and subdomain variational.European Journal of Mechanics Solids,2003, 22(3)：385-399

11 楊德全,趙忠生.邊界元理論及應(yīng)用.北京：北京理工大學(xué)出版社,2002

12 蘇甘龍.梁彎曲問題的樣條小波邊界元法.廈門理工學(xué)院學(xué)報, 2008,16(4)：57-62

13 何正嘉,陳雪峰.小波有限元理論及其工程應(yīng)用.北京：科學(xué)出版社,2006

(責任編輯：劉希國)

THE VARIATIONAL PRINCIPLE FOR A PROFILING FORMING STRAIGHT BEAM

CHEN Yingjie1)LEI Zhou SONG JinweiWU Jingyao
(College of Civil Engineering and Mechanics,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,Hebei,China)

Based on the variational principle of unknown boundaries formed in the forming process of an ideal elastoplastic straight beam of rectangular section,this paper carries out the variational calculation of the potential energy to derive the deflection curve equation of a cantilever beam bending mode,and to obtain the solution to the bending of the prof i ling forming straight beam.According to the calculation results,the deflection equations of the prof i ling forming straight beam can be derived with the application of the variational principles of potential energy and complementary energy.

variational principle,prof i ling forming,straight cantilever beam,boundary conditions

O343

A

10.6052/1000-0879-16-234

2016-07-11收到第1稿，2016-09-08收到修改稿.

1)陳英杰，教授.E-mail：cyjysu@ysu.edu.cn

陳英杰,雷周,宋錦威等.直梁靠模成形變分原理問題的探討.力學(xué)與實踐,2017,39(1)：61-67

Chen Yingjie,Lei Zhou,Song Jinwei,et al.The variational principle for a prof i ling forming straight beam.Mechanics in Engineering,2017,39(1)：61-67